1、第2课时 等比数列的性质 必备知识自主学习 1.等比数列的增减性(1)q0时,an是摆动数列.(2)0q0,则an是减数列,若a11时,若a10,则an是增数列,若a11,则数列an是单调递增数列吗?2.任意两个数都有等差中项,任意两个数都有等比中项吗?【思考】等比数列的公比对等比数列项的符号有怎样的影响?提示:由等比数列的定义可知:(1)当q=1时,等比数列是一个常数列,各项都等于首项a1.(2)当q=-1时,等比数列是一个摆动数列,奇数项为a1,偶数项为-a1.一般地,q0时,等比数列各项的符号相同;q0时,等比数列各项的符号正负交替.2.等比中项(1)前提:在a与b中插入一个数G,使得a
2、,G,b成等比数列.(2)结论:_叫作a,b的等比中项.(3)满足关系式:G2=_.G ab【思考】“G是a与b 的等比中项”的等价形式有哪些?提示:G是a与b 的等比中项,等价于a,G,b(或b,G,a)成等比数列,等价于G2=ab.【基础小测】1.辨析记忆(对的打“”,错的打“”).(1)等差数列的增减性只由公差决定,等比数列的增减性也只由公比决定.()(2)任意两个数都有等差中项,也都有等比中项.()(3)等差中项是唯一的,等比中项也是唯一的.()(4)若G2=ab,则a,G,b一定成等比数列.()提示:(1).还必须考虑首项的符号.(2).只有两个同号的数才有等比中项.(3).若两个数
3、有等比中项,一定是互为相反数的两个.(4).当a,G,b都不为零时,a,G,b才成等比数列.2.已知等比数列an,a1=1,a3=,则a5等于()A.B.-C.D.【解析】选C.根据等比数列的性质可知,a1a5=,a5=191811811811223a231a1.a813.等比数列an的公比q=-,a1=,则数列an是()A.递增数列 B.递减数列 C.常数数列 D.摆动数列【解析】选D.因为公比q=-0,要使an是递增数列,则需公比q1.答案:(1,+)关键能力合作学习 类型一 等比数列性质的应用(逻辑推理)【题组训练】1.在等比数列an中,a3=16,a1a2a3a10=265,则a7等于
4、 .【解析】因为a1a2a3a10=(a3a8)5=265,所以a3a8=213,又因为a3=16=24,所以a8=29.因为a8=a3q5,所以q=2.所以a7=256.答案:256 8aq2.在各项均为正数的等比数列an中,若a3a5=4,则a1a2a3a4a5a6a7=.【解析】因为a3a5=4,an0,所以a4=2.所以a1a2a3a4a5a6a7=(a1a7)(a2a6)(a3a5)a4=432=128.答案:128 42a3.(2020余姚高一检测)已知等比数列 ,若a5=2,a9=32,则a4a10=()A.16 B.16 C.64 D.64 na【解析】选D.因为 为等比数列,
5、且a5=2,a9=32,由等比数列的性质得,a4a10=a5a9=232=64.na4.已知等比数列 ,满足log2a3+log2a10=1,且a3a6a8a11=16,则数列 的公比 为()A.4 B.2 C.2 D.4 na na【解析】选B.等比数列 中,log2a3+log2a10=1log2(a3a10)=1a3a10=2,a3a6a8a11=16 =16,由等比数列各项正负性的性质可知:a3,a11同号,故 a3a11=4,除以,得:等比数列的公比q=2.na2311a a311310a aa a【解题策略】等比数列的常用性质 性质1:通项公式的推广:an=amqn-m(n,mN+
6、).性质2:若an为等比数列,且k+l=m+n(k,l,m,nN+),则akal=aman.性质3:若an,bn(项数相同)是等比数列,则 an,anbn,仍是等比数列.1an2nannab类型二 等比中项的应用(逻辑推理)【典例】三个正数成等差数列,它们的和等于15,如果它们分别加上1,3,9就成等比数列,求这三个数.【思路导引】设成等差数列的数为未知数,然后利用等比数列的知识建立方程组求解.另外,对本题若设所求三数为a,b,c,则列出三个方程求解,运算过程冗繁,因此在计算过程中,设的未知数个数应尽可能少.【解析】设所求之数为a-d,a,a+d,则由题设得 解此方程组,得 或 又三个数为正数
7、,所以d=2所以所求三数为3,5,7.2adaad 15a3ad 1 ad9.，（）a5d2，a5d10.，【解题策略】应用等比中项解题的两个注意点(1)要证三个数a,G,b成等比数列,只需证明G2=ab,其中a,b,G均不为零.(2)已知等比数列中的相邻三项an-1,an,an+1,则an是an-1与an+1的等比中项,即 =an-1an+1,运用等比中项解决问题,会大大减少运算过程.【跟踪训练】(2020包头高一检测)已知等比数列 满足a1=,a3a5=4 ,则a2=()A.2 B.1 C.D.14 na4a11218【解析】选C.由题意可得a3a5=4 a4=2,所以q3=8q=2,故
8、a2=a1q=.24a4a141aa12类型三 等差数列与等比数列的综合应用(逻辑推理)角度1 求通项公式 【典例】已知an是各项均为正数的等差数列,公差为2.对任意的nN+,bn是an 和an+1的等比中项.cn=,nN+.(1)求证:数列cn是等差数列;(2)若c1=16,求数列an的通项公式.22n 1nbb【思路导引】(1)利用条件化简cn-cn-1=常数,证明cn为等差数列.(2)求得a1进而求an.【解析】(1)因为 =anan+1,所以cn-cn-1=()-()=(an+1an+2-anan+1)-(anan+1-an-1an)=an+1(an+2-an)-an(an+1-an-
9、1)=an+12d-an2d=2d(an+1-an)=2d2=8(常数),所以数列cn是等差数列.22n 1nbb 22nn 1bb 2nb(2)c1=16,则 -=16,所以a2a3-a1a2=16,a2(a3-a1)=16,(a1+d)2d=16,解得a1=2,所以an=2+(n-1)2=2n.22b21b【变式探究】已知数列an为等差数列,a1,a2,a3成等比数列,a1=1,则a2 020=()A.5 B.1 C.0 D.-1【解析】选B.设等差数列an的公差为d,则由a1,a2,a3成等比数列得(1+d)2=1+2d,解得d=0,所以a2 020=a1=1.角度2 求前n项的和 【典
10、例】已知首项为 的等比数列an是递减数列,且a1,a2,2a3成等差数 列;数列bn的前n项和为Sn,且Sn=n2+n,nN+.(1)求数列an,bn的通项公式;(2)已知cn=log2an,求数列 的前n项和Tn.1232n 1b21cn【思路导引】(1)由a1,a2,2a3成等差数列求q,可得an通项公式;由 Sn=n2+n,nN+利用bn=求得bn通项公式.(2)整理 ,可用裂项相消法求和.321nn 1S n1,SSn2（）（）n11cnn1（）【解析】(1)设等比数列an的公比为q,由题知a1=,又因为a1,a2,2a3成等差数列,所以3a2=a1+2a3,所以 q=+q2,解得q=
11、1或q=.又由an是递减数列,所以q=.所以an=a1qn-1=,当n=1时,b1=2,当n2时,bn=Sn-Sn-1=n2+n-(n-1)2+(n-1)=2n.又b1=2满足该式,所以数列bn的通项公式为bn=2n(nN+).1232321212n1212(2)由于cn=log2an=-n(n+1),所以 所以Tn=-=-,故Tn=-(nN+).n 1b2n1111cnn1nn1，（）11111111223n 1nnn11n1n1n1nn1【解题策略】求解等差、等比数列综合问题的技巧(1)理清各数列的基本特征量,明确两个数列间各量的关系.(2)发挥两个数列的基本量a1,d或a1,q的作用,并
12、用好方程这一工具.(3)结合题设条件对求出的量进行必要的检验.【题组训练】1.在等比数列an中,若a7=-2,则此数列的前13项之积等于 .【解析】因为an是等比数列,所以a1a13=a2a12=a3a11=a4a10=a5a9=a6a8=,所以a1a2a3a13=()6a7=,又a7=-2,所以a1a2a3a13=(-2)13=-213.答案:-213 27a27a137a2.已知等差数列an的公差d0,且a1,a3,a9成等比数列,则 的值 为 .1392410aaaaaa 【解析】因为a1,a3,a9成等比数列,所以 =a1a9;所以(a1+2d)2=a1(a1+8d),解得d=a1,所
13、以 答案:23a139111124101111aaaaa2da8d13a13.aaaada3da9d16a16 13163.已知等差数列an的公差为2,前n项和为Sn,且S1,S2,S4成等比数列.(1)求数列an的通项公式;(2)令bn=(-1)n-1 ,求数列bn的前n项和Tn.nn 14na a【解析】(1)因为S1=a1,S2=2a1+2=2a1+2,S4=4a1+2=4a1+12,由题意,得(2a1+2)2=a1(4a1+12),解得a1=1,所以an=2n-1.2 124 32(2)bn=(-1)n-1 =(-1)n-1 =(-1)n-1 当n为偶数时,Tn=+当n为奇数时,Tn=
14、+=1+nn 14na a 4n2n1 2n1112n 12n1，111133511112n32n 12n 12n11111335111112n12n32n 12n 12n12n12n1；12n22n12n1，所以Tn=n 12n2,n2n12n2n11,nTn.2n12n1 为奇数，（）为偶数 或1.等比数列an中,a2=4,a7=,则a3a6+a4a5的值是()A.1 B.2 C.D.课堂检测素养达标 1161214【解析】选C.a3a6=a4a5=a2a7=4 =,所以a3a6+a4a5=.11612142.公比为 的等比数列an的各项都是正数,且a3a11=16,则log2a16=()
15、A.4 B.5 C.6 D.7 3 2【解析】选B.a3a11=16 =16a7=4a16=a7q9=32log2a16=5.27a3.已知等差数列an的公差为2,若a1,a3,a4成等比数列,则a2=.【解析】由已知,a3=a1+4,a4=a1+6.因为a1,a3,a4成等比数列,所以 =a1a4,所以(a1+4)2=(a1+6)a1,解得a1=-8,所以a2=-6.答案:-6 23a4.在1与2之间插入6个正数,使这8个数成等比数列,则插入的6个数的积为 .【解析】设这8个数组成的等比数列为an,则a1=1,a8=2.插入的6个数的积为a2a3a4a5a6a7=(a2a7)(a3a6)(a
16、4a5)=(a1a8)3=23=8.答案:8 5.(教材二次开发:习题改编)已知数列 为等比数列,其中a5,a9为方程x2+2 019x+9=0的两个根,则a7的值为()A.-3 B.3 C.3 D.9 na【解题指南】由根与系数的关系求得a5a9,再利用等比数列的下标和性质,即可 求得a7.【解析】选A.因为a5,a9为方程x2+2 019x+9=0的两个根,故可得a5a9=9,a5+a9=-2 019,故a50,a90,根据等比数列的下标和性质a5a9=9,解得a7=3.又因为a7=a5q2,a50,故可得a70,所以a4a5a6=5 .224a225a26a25.在等比数列an中,a2a
17、10=16,a4+a8=8,则 =.【解析】由题意可得a2a10=a4a8=16,又a4+a8=8,所以a4=a8,即数列an为常数列,所以 =1.答案:1 2010aa2010aa6.已知各项都为正数的等比数列an满足 a3是3a1与2a2的等差中项,且a1a2=a3.(1)求数列an的通项公式;(2)设bn=log3an,且Sn为数列bn的前n项和,求数列 的前n项和Tn.12nn12SS【解析】(1)设等比数列的公比为q,由题意知q0,且3a1+2a2=a3,所以 解得a1=q=3,故an=3n.(2)由(1),得bn=log3an=n,所以Sn=.所以 +2=2 +2,故数列 的前n项
18、和为Tn=.211121113a2a qa q,a a qa q.gn(n1)2nn12S2Sn(n1)11()nn1nn12SS111112(1)()()2n223nn1L212n4n2(1)2nn1n1【补偿训练】已知数列an的前n项和为Sn,满足Sn=2an-2n(nN+).(1)证明:an+2是等比数列,并求an的通项公式.(2)数列bn满足bn=log2(an+2),Tn为数列 的前n项和,若Tn0),aq3222a27a()a(aq)91q，21q829所以9t2-82t+9=0,得t1=9,t2=.所以q=3或q=.(1)当q=3时,此数列为1,3,9;(2)当q=-3时,此数列
19、为-1,3,-9;(3)当q=时,此数列为9,3,1;(4)当q=-时,此数列为-9,3,-1.1913131310.在公差为d(d0)的等差数列an和公比为q的等比数列bn中,已知a1=b1=1,a2=b2,a8=b3.(1)求d,q的值;(2)是否存在常数a,b,使得对于一切自然数n,都有an=logabn+b成立?若存在,求出a,b的值;若不存在,请说明理由.【解析】(1)由a2=b2,a8=b3,得 即 解方程组得 或 (舍去)11211adb qa7db q，21dq17dq，d5q6，d0q1.，(2)由(1)知an=1+(n-1)5=5n-4,bn=b1qn-1=6n-1.由an
20、=logabn+b,得5n-4=loga6n-1+b,即5n-4=nloga6+b-loga6.比较系数得 解得a=,b=1,使得对一切自然数n,都有 an=logabn+b成立.aalog 65blog 64 ，156【创新迁移】1.已知等比数列an中,各项都是正数,且a1,a3,2a2成等差数列,则 等于()A.1+B.1-C.3+2 D.3-2 1291078aaaa2222【解析】选C.设等比数列an的公比为q,因为a1,a3,2a2成等差数列,所以a3=a1+2a2,a1q2=a1+2a1q,q2-2q-1=0,q=1 .因为an0,所以q0,q=1+.所以 =q2=(1+)2=3+
21、2 .123291078aaaa222.在由实数组成的等比数列an中,a3+a7+a11=28,a2a7a12=512,求q.【解析】方法一:由已知 由得 =512,即a7=8.将其代入得2q8-5q4+2=0.解得q4=或q4=2,即q=或q=.37a124124 2方法二:因为a3a11=a2a12=,所以 =512,即a7=8.所以 即a3和a11是方程x2-20 x+64=0的两根,解此方程得x=4或x=16.所以 或 又因为a11=a3q8,所以q=,即q=或q=.311311aa20a a64，27a311a4a16，311a16a4.，11183a()a1844 2181()4412
