1、若直线l的方向向量与平面的法向量的夹角等于120，则直线l与平面所成的角等于()A120B60C30 D以上均错答案：C在长方体ABCDA1B1C1D1中，AB2，BC2，DD13，则AC与BD1所成角的余弦值为()A0 B.C D.解析：选A.建立如图所示的坐标系，则D1(0，0，3)，B(2，2，0)，A(2，0，0)，C(0，2，0)，(2，2，3)，(2，2，0)cos，0.，90，其余弦值为0.已知直线l1的一个方向向量为a(1，2，1)，直线l2的一个方向向量为b(2，2，0)，则两直线所成角的余弦值为_解析：cosa，b.答案：平面的法向量为(1，0，1)，平面的法向量为(0，1
2、，1)，则平面与平面所成二面角的大小为_解析：设u(1，0，1)，v(0，1，1)，则cos|cosu，v|.或.答案：或A级基础达标设ABCD，ABEF都是边长为1的正方形，FA面ABCD，则异面直线AC与BF所成的角等于()A45 B30C90 D60解析：选D.以B为原点，BA所在直线为x轴，BC所在直线为y轴，BE所在直线为z轴建立空间直角坐标系(图略)，则A(1，0，0)，C(0，1，0)，F(1，0，1)，(1，1，0)，(1，0，1)cos，.，120.AC与BF所成的角为60.在正方体ABCDA1B1C1D1中，E是C1C的中点，则直线BE与平面B1BD所成的角的正弦值为()A
3、 B.C D.解析：选B.建立如图空间直角坐标系，设正方体的棱长为2，则D(0，0，0)，B(2，2，0)，B1(2，2，2)，E(0，2，1)(2，2，0)，(0，0，2)，(2，0，1)设平面B1BD的法向量为n(x，y，z)n，n，令y1，则n(1，1，0)cosn，设直线BE与平面B1BD所成角为，则sin |cosn，|.在直角坐标系中，已知A(2，3)，B(2，3)，沿x轴把直角坐标系折成平面角为的二面角AOxB，使AOB90，则cos为()A B.C. D解析：选C.过A、B分别作x轴垂线，垂足分别为A、B(图略)则AA3，BB3，AB4，OAOB，折后，AOB90，AB.由，得
4、|2|2|2|22|cos()269429233cos()，cos.直线l的方向向量a(2，3，2)，平面的一个法向量n(4，0，1)，则直线l与平面所成角的正弦值为_解析：设直线l与平面所成的角是，a，n所成的角为，则sin|cos|.答案：已知在棱长为a的正方体ABCDABCD中，E是BC的中点则直线AC与DE所成角的余弦值为_解析：如图所示建立空间直角坐标系，则A(0，0，a)，C(a，a，0)，D(0，a，0)，E，(a，a，a)，cos，.答案：如图，在正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，AB2，AA14，E为BC的中点，F为CC1的中点(1)求EF与平面ABCD所成的角的余弦值；(
5、2)求二面角FDEC的余弦值解：建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz，则D(0，0，0)，A(2，0，0)，C(0，2，0)，B(2，2，0)，E(1，2，0)，F(0，2，2)(1)(1，0，2)易得平面ABCD的一个法向量为n(0，0，1)，设与n的夹角为，则cos，EF与平面ABCD所成的角的余弦值为 .(2)(1，0，2)，(0，2，2)设平面DEF的一个法向量为m，则m0，m0，可得m(2，1，1)，cosm，n，二面角FDEC的余弦值为.B级能力提升已知平面的一个法向量n(2，2，1)，点A(1，3，0)在内，则P(2，1，4)到的距离为()A10 B3C. D.解析：选D.(1，
6、2，4)，P到平面的距离d.正方体ABCDA1B1C1D1中，BB1与平面ACD1所成角的余弦值为()A. B.C. D.解析：选D.不妨设正方体的棱长为1，如图建立空间直角坐标系，则D(0，0，0)，B(1，1，0)，B1(1，1，1)，平面ACD1的法向量为(1，1，1)，又(0，0，1)，cos，.BB1与平面ACD1所成角的余弦值为.正ABC与正BCD所在平面垂直，则二面角ABDC的正弦值为_解析：取BC中点O，连接AO，DO，建立如图所示的坐标系：设BC1，则A，B，D.所以，.由于为平面BCD的法向量，设平面ABD的法向量n(x，y，z), 则所以取x1，则y，z1，所以n(1，1
7、)，所以cosn，sinn，.答案：(2011高考课标全国卷)如图，四棱锥PABCD中，底面ABCD为平行四边形，DAB60，AB2AD，PD底面ABCD.(1)证明：PABD；(2)若PDAD，求二面角APBC的余弦值解：(1)证明：因为DAB60，AB2AD，由余弦定理得BDAD.从而BD2AD2AB2，故BDAD.又PD底面ABCD，可得BDPD.所以BD平面PAD，故PABD.(2)如图，以D为坐标原点，AD的长为单位长，射线DA为x轴的正半轴，建立空间直角坐标系Dxyz.则A(1，0，0)，B(0，0)，C(1，0)，P(0，0，1)(1，0)，(0，1)，(1，0，0)设平面PAB
8、的法向量为n(x，y，z)，则即因此可取n(，1，)设平面PBC的法向量为m，则可取m(0，1，)cosm，n.故二面角APBC的余弦值为.(创新题)如图，四棱锥PABCD中， 底面ABCD是平行四边形，PG平面ABCD，垂足为G，G在AD上，且AGGD，BGGC，GBGC2，E是BC的中点，四面体PBCG的体积为.(1)求异面直线GE与PC所成的角的余弦值；(2)求点D到平面PBG的距离解：(1)由已知VPBGCSBGCPGBGGCPG，PG4.如图所示，以G点为原点建立空间直角坐标系，则B(2，0，0)，C(0，2，0)，P(0，0，4)故E(1，1，0)，(1，1，0)，(0，2，4)，cos，异面直线GE与PC所成的角的余弦值为.(2)平面PBG的单位法向量n(0，1，0)|，CGD45，.点D到平面PBG的距离为d.
