1、 2.1 函 数 概 念 基础认知自主学习 1函数的有关概念【思考】(1)对应关系f一定是解析式吗？提示：不一定对应关系f可以是解析式、图像、表格，或文字描述等形式(2)f(x)与f(a)有何区别与联系？提示：f(x)与f(a)的区别与联系：f(a)表示当xa时，函数f(x)的值，是一个常量，而f(x)是自变量x的函数，一般情况下，它是一个变量，f(a)是f(x)的一个特殊值 2区间的有关概念 设a，b是两个实数，而且aax|xax|xa符号(，)a，)(a，)(，a(，a)【思考】(1)区间是数集的另一种表示方法，那么任何数集都能用区间表示吗？提示：不是任何数集都能用区间表示，如集合0就不能
2、用区间表示(2)“”是数吗？以“”或“”作为区间一端时，这一端可以是中括号吗？提示：“”读作“无穷大”，是一个符号，不是数以“”或“”作为区间一端时，这一端必须是小括号【基础小测】1辨析记忆(对的打“”，错的打“”)(1)任何两个非空集合之间都可以建立函数关系()提示：(1)由函数的定义知，只有非空数集间才可能建立函数关系(2)定义域和对应关系确定后，函数值域也就确定了()提示：因为由函数定义知，定义域内的任意一个数，在确定的对应关系下，都有唯一确定的数与之对应，这些数构成函数的值域，故定义域和对应关系确定后，值域随之确定(3)区间表示数集，数集一定能用区间表示()提示：根据区间的概念，只有所
3、含元素是“连续不间断”的实数的集合，才适合用区间表示 2函数yx1 1x3 的定义域为()A3，B1，C1，3D1，33，【解析】选D.依题意得x10，x30，解得，x1且x3，所以函数的定义域为1，33，.3函数yf(x)的定义域是R，则在同一坐标系中yf(x)的图象与直线x1的公共点的个数为()A0 B1 C2 D0或1【解析】选B.由于1R，所以由函数的定义知：在值域中有唯一的像与之对应能力形成合作探究类型一 函数的概念(数学抽象)【典例】1.下列四个图像中，是函数图像的是()A B C D【思路导引】判断给定一个x的值，y有几个值与之对应即可【解析】选B.根据函数的定义，对于x在某一范
4、围内的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与它对应，所以不是函数图像2判断下列对应关系是否为函数(1)AR，BR，f：xy1x2.(2)AN，BR，f：xy x.(3)AN，BN*，f：xy|x2|.(4)A1，2，3，BR，f(1)f(2)3，f(3)4.【思路导引】判断对于A中的每一个x，在B中是否有唯一的值与之对应【解析】(1)因为AR，BR，对于A中的元素x0，在对应关系f：xy1x2 之下，在B中没有元素与之对应，因而不能构成函数(2)对于A中的元素，如x9，y的值为y 9 3，即在对应关系f之下，B中有两个元素与之对应，不符合函数定义，故不能构成函数(3)对于A中的元素x2，在对应关
5、系f的作用下，|22|0B，从而不能构成函数(4)依题意，f(1)f(2)3，f(3)4，即A中的每一个元素在对应关系f之下，在B中都有唯一的元素与之对应，虽然B中有很多元素在A中无元素与之对应，但依函数的定义，仍能构成函数1判断一个对应关系是否为函数的步骤(1)判断A，B是否为非空数集(2)判断A中任意一个元素在B中是否有元素与之对应(3)判断A中任意一个元素在B中是否有唯一确定的元素与之对应2判断一个对应关系是否为函数的关注点利用定义判断一个对应关系是否为函数关系，应注意题中的两变量x，y的对应关系是“一对一”或者是“多对一”，而不能是“一对多”1设Mx|0 x2，Ny|0y2，给出下列四
6、个图像：能表示从集合M到集合N的函数关系的个数是()A0 B1 C2 D3【解析】选B.中，因为在集合M中，当1x2时，在N中无元素与之对应，所以不是；中，对于集合M中的任意一个数x，在N中都有唯一的数与之对应，所以是；中，x2对应元素y3N，所以不是；中，当x1时，在N中有两个元素与之对应，所以不是因此只有是2下列对应是从集合A到集合B的函数的是()AAR，BxR|x0，f：x 1|x|BAN，BN*，f：x|x1|CAxR|x0，BR，f：xx2DAR，BxR|x0，f：x x【解析】选C.因为A中集合A中x0时，集合B中没有元素与之对应；B中集合A中x1时，|x1|0，集合B中没有0；C
7、正确；D中，集合A中的负数在集合B中没有数与之对应 【补偿训练】1.下图中能表示函数关系的是_【解析】由于中的2与1和3同时对应，故不是函数 答案：2如图所示，能够作为函数yf(x)的图像的有_【解析】由函数的定义知，自变量x与因变量y的对应关系可以一对一、多对一，但不能一对多所以能够作为函数的图像，不能作为函数的图像答案：类型二 相等函数的判断(逻辑推理)【典例】1.下列各组函数表示同一个函数的是()Af(x)x2，g(x)(x)2Bf(x)1，g(x)x0Cf(x)3 x2，g(x)(3 x)2Df(x)x1，g(x)x21x1【思路导引】根据相等函数的意义，定义域和对应关系都相同的函数是
8、相等函数进行判断【解析】1.选C.A中两函数f(x)x2，g(x)(x)2的定义域不同；B中两函数f(x)1，g(x)x0(x0)的定义域不同；C中两函数f(x)3 x2，g(x)(3 x)2的定义域相同，对应关系也相同，是同一函数；D中两函数f(x)x1，g(x)x21x1(x1)定义域不同2下列各组函数是否表示同一个函数？(1)f(x)2x1与g(x)4x24x1.(2)f(x)x2xx与g(x)x1.(3)f(x)|x1|与g(t)t1，t1，1t，t1.(4)f(n)2n1与g(n)2n1(nZ).【解析】(1)g(x)|2x1|，f(x)与g(x)的对应关系不同，因此是不同的函数(2
9、)f(x)x1(x0)，f(x)与g(x)的定义域不同，因此是不同的函数(3)f(x)x1，x1，1x，x0，f(x)g(x)1，所以表示同一个函数；D中：f()xx29x3 x3x3，与g(x)不是同一函数2哪个函数与函数yx相同()Ay x2 Byx2xCy()x2Dy3 x3【解析】选D.对于A：y|x；对于B：yx(x0)；对于C：yx，x 0，)；对于D：yx.显然只有D与函数yx的定义域和值域相同类型三 函数的定义域与值域(数学抽象)角度1 函数的定义域问题【典例】1.函数f(x)1x x1x 的定义域为()Ax|x1 Bx|x1CRDx|x1且x1【思路导引】函数f(x)的解析式
10、中，被开方式中有x，分式的分子、分母中都有x；使解析式有意义，列出x所满足的条件求解【解析】选D.由题意得1x0，1x0 x1且x1.故函数的定义域为x|x1且x12已知函数f(x)的定义域为x|1x1，则函数f(2x1)的定义域为()Ax|1x1 Bx|1x0Cx|0 x1 Dx12x1【思路导引】准确理解定义域就是对应关系“f”的适用范围【解析】选B.因为函数f(x)的定义域为x|1x1，所以12x11，解得1x0，故函数f(2x1)的定义域为x|1x0角度2 函数的值域问题【典例】1.设f(x)2x22，g(x)1x2，求f(2)，f(a3)，g(a)g(0)(a2)，g(f(2).【思
11、路导引】把自变量代入对应函数解析式求值即可【解析】因为f(x)2x22，所以f(2)222210，f(a3)2(a3)222a212a20.因为g(x)1x2，所以g(a)g(0)1a2 102 1a2 12(a2).g(f(2)g(10)1102 112.2求下列函数的值域：y2x1.y3x2x2.yx22x3(5x2).yx2x1.【思路导引】先确定函数的定义域，分析解析式的结构特征，选取适当的方法求解【解析】(观察法)因为xR，所以2x1R，故函数的值域为R.(分离常数法)因为y3x2x2（3x6）8x23 8x2，又因为 8x2 0，所以y3.所以函数y3x2x2 的值域是y|yR，且
12、y3(配方法)因为yx22x3(x1)24，x5，2，所以其图像是开口向下，顶点为(1，4)，在x5，2上对应的抛物线上的一段弧根据x5，2时的抛物线上升，则当x5时，y取最小值，且ymin12；当x2时，y取最大值，且ymax3.故yx22x3(5x2)的值域是12，3.(换元法)设u2x1 x12，则x1u22(u0)，于是y1u22u（u1）22(u0).由u0知(u1)21，则y12.故函数yx2x1 的值域为12，.1已知函数解析式求定义域的类型及求解策略(1)整式：若yf(x)为整式，则函数的定义域是实数集R.(2)分式：若yf(x)为分式，则函数的定义域为使分母不为0的实数集(3
13、)偶次根式：若yf(x)为偶次根式，则函数的定义域为被开方数非负的实数集(特别注意0的0次幂没有意义).(4)几部分组成：若yf(x)是由几部分数学式子的和、差、积、商组成的形式，定义域是使各部分都有意义的集合的交集.(5)实际问题：若yf(x)是由实际问题确定的，其定义域要受实际问题的约束提醒：由于原函数与化简后的解析式的自变量取值范围有可能不同，故一般情况下不可对原函数化简后求定义域2求函数值域的方法(1)图像法：借助于函数值域的几何意义，利用函数的图像求值域(2)观察法：对于解析式比较简单的函数，利用常见的结论如x20，|x|0，x 0等观察出函数的值域(3)求yaxcxb这种类型的函数
14、的值域，应采用分离常数法，将函数化简为yd nxb 的形式(4)配方法：遇到求解一般二次函数yax2bxc(a0)的值域时，应采用配方法，将函数化简为ym(xn)2d的形式，从而轻易找出函数的最值，进而求得函数的值域(5)换元法：求解带根号且被开方式为一次式的函数的值域，直接求解很困难，既费时又费力，所以遇到这样的问题，我们要想到用一个字母代换掉带根号的式子值得注意的是，在代换过程中，要注意根号下变量的取值范围1函数y3x212x(2x1)0的定义域为()Axx12 Bxx12 Dxx12且x12【解析】选B.要使函数有意义，则12x0，2x10，即x12，x12，故函数的定义域为xx12且x
15、12.2函数y4x21x1的定义域为_【解析】依题意4x20，x10，1x10，2x2，x1，x0，解得x1，00，2.答案：1，00，23已知函数f(x)x21x21.(1)求f(2)和f(f(2).(2)若f(x)12，求x.(3)求函数f(x)的值域【解析】(1)因为f(2)221221 35，所以f(f(2)f353521352116253425 817.(2)由f(x)12，得x21x21 12，x23，所以x 3.(3)f(x)12x21.因为x211，所以22x21 0，所以112x21 1.所以函数f(x)的值域为1，1).4(1)求函数f(x)x1 12x 的定义域(2)求函
16、数f(x)2x21x2 的值域【解析】(1)要使函数f(x)有意义，则x10，2x0，解得x1且x2.所以函数的定义域为1，22，.(2)因为f(x)2x21x2 131x2，1x21，所以011x2 1，则031x2 3，所以1131x2 2，即函数f(x)2x21x2 的值域为1，2.【补偿训练】1.函数f(x)x26，xR的值域为_.【解析】因为xR，x266，所以函数f(x)x26的值域为6，).答案：6，)2已知集合Ax|0 x2，By|0y4，则下列对应关系能够构成A为定义域，B为值域的函数是_(填满足条件中的所有函数的序号).y2x yx2 y|42x|yx5y(x2)2【解析】
17、关键从函数定义入手，对于，当定义域为Ax|0 x2时，显然值域为By|0y4，满足条件，对于，当定义域为A时，显然求得值域也为B，满足条件，而对于，值域为y|5y7不满足答案：3已知f(x)11x(xR，且x1)，g(x)x22(xR).(1)求f(2)，g(2)的值(2)求f(g(3)的值(3)求函数g(x)的值域【解题指南】(1)将x2分别代入f(x)与g(x)的函数表达式中求f(2)，g(2).(2)先求g(3)，再求f(g(3).(3)利用x20求值域【解析】(1)因为f(x)11x，所以f(2)112 13.又g(x)x22，所以g(2)2226.(2)因为g(3)32211，所以f
18、(g(3)f(11)1111 112.(3)因为x20，所以x222，所以g(x)的值域为2，).备选类型 抽象函数的定义域(数学抽象)【典例】1.若函数yf(x)的定义域是0，2，则函数g(x)f（2x）x1的定义域为_【思路导引】函数g(x)的定义域是函数f(2x)的定义域与x10的解集的交集【解析】因为yf(x)的定义域为0，2，所以要使g(x)有意义应满足02x2，x10，解得0 x1.所以g(x)的定义域是0，1).答案：0，1)2若函数f(x1)的定义域为2，2，则函数f(2x1)f(2x1)的定义域是_【思路导引】先根据已知求出f(x)的定义域，然后求f(2x1)与f(2x1)的
19、定义域的交集【解析】因为2x2，所以1x13，所以由12x13，12x13，得0 x1，所以所求函数的定义域为0，1.答案：0，1求抽象函数定义域的方法(1)若已知函数f(x)的定义域为a，b，则复合函数f(g(x)的定义域可由不等式ag(x)b求出(2)若已知函数f(g(x)的定义域为a，b，则f(x)的定义域为g(x)在xa，b上的值域已知f(x2)的定义域为2，2，则f(2x)f(x3)的定义域为_【解析】由于f(x2)中x2，2，所以0 x24，所以f(2x)f(x3)中：02x4，0 x34，所以0 x1.答案：0，11下列函数的定义域为正实数集的是()Ayx2 Byx1Cy xDy
20、 1x学情诊断课堂测评【解析】选D.函数yx2的定义域为R，函数yx1的定义域为(，0)(0，)，函数y x 的定义域为0，)，函数y 1x 的定义域为(0，).2给出下列四个说法：函数就是两个集合之间的对应关系；若函数的值域只含有一个元素，则定义域也只含有一个元素；若f(x)5(xR)，则f()5一定成立；若定义域和对应关系确定，值域也就确定了其中正确说法的个数为()A1个 B2个 C3个 D4个【解析】选B.不正确函数是定义在两个非空数集上的对应关系不正确如函数f(x)0(xR)，值域为0正确3下列各组函数中，表示同一个函数的是()Ayx1和yx21x1Byxx 与yx1x1Cf(x)x2和g(x)(x1)2Df(x)x21x和g(t)t21t【解析】选D.因为A中的函数定义域不同；B中y xx 中x0，而yx1x1 中x1；C中两函数的对应关系不同，所以A，B，C中两函数不是同一个函数4函数f()xx09x2，则其定义域为_【解析】因为函数f()xx09x2，所以x0，9x20，解得3x3且x0；所以函数f(x)的定义域是3，0)(0，3.答案：3，0)(0，35函数f(x)x22x，x2，1，0，1的值域为_【解析】因为f(2)(2)22(2)8，f(1)(1)22(1)3，f(0)02200，f(1)122 11，所以f(x)的值域为8，3，0，1答案：8，3，0，1
