1、第 7 讲 抛物线 A 级训练(完成时间：10 分钟)1.抛物线 x24y 的焦点坐标是()A(1,0)B(0,1)C(116，0)D(0，116)2.经过抛物线 y24x 的焦点且平行于直线 3x2y0 的直线 l 的方程是()A3x2y30B6x4y30C2x3y20D2x3y10 3.已知双曲线y29x2161，抛物线 y22px(p0)，若抛物线的焦点到双曲线的渐近线的距离为 3，则 p()A.154B5C.152D10 4.顶点在坐标原点，对称轴是坐标轴，且经过点 M(2，4)的抛物线方程是_ 5.抛物线 x2ay 过点 A(1，14)，则点 A 到此抛物线的焦点的距离为_ 6.(2
2、013北京)若抛物线 y22px 的焦点坐标为(1,0)，则 p 2，准线方程为 x1.7.求满足下列条件的抛物线的标准方程，并求对应抛物线的准线方程：(1)过点(3,2)；(2)焦点在直线 x2y40 上B 级训练(完成时间：21 分钟)1.限时 2 分钟，达标是()否()已知 A(x1，y1)，B(x2，y2)是抛物线 y24x 上的两个动点，且|AB|8，则 x1x2 的最小值是()A4B6C8D10 2.限时 3 分钟，达标是()否()已知抛物线 y24x 的焦点 F，A，B 是抛物线上横坐标不相等的两点，若 AB 的垂直平分线与 x 轴的交点是(4,0)，则|AB|是最大值为()A2
3、B4C6D10 3.限时 3 分钟，达标是()否()(2013课标)O 为坐标原点，F 为抛物线 C：y24 2x 的焦点，P 为 C 上一点，若|PF|4 2，则POF 的面积为()A2B2 2C2 3D4 4.限时 2 分钟，达标是()否()(2013天津)已知抛物线 y28x 的准线过双曲线x2a2y2b21(a0，b0)的一个焦点，且双曲线的离心率为 2，则该双曲线的方程为_ 5.限时 2 分钟，达标是()否()若抛物线 y22px(p0)的焦点与双曲线x212y241 的右焦点重合，则 p 的值为 8.6.限时 2 分钟，达标是()否()(2014湖南)平面上一机器人在行进中始终保持
4、与点 F(1,0)的距离和到直线 x1 的距离相等若机器人接触不到过点P(1,0)且斜率为k的直线，则k的取值范围是_ 7.限时 7 分钟，达标是()否()(2013福建)如图，在抛物线 E：y24x 的焦点为 F，准线 l 与 x 轴的交点为 A.点 C 在抛物线 E 上，以 C 为圆心|OC|为半径作圆，设圆 C 与准线 l 交于不同的两点 M，N.(1)若点 C 的纵坐标为 2，求|MN|；(2)若|AF|2|AM|AN|，求圆 C 的半径C 级训练(完成时间：20 分钟)1.限时 8 分钟，达标是()否()已知 A、B 两点在抛物线 C：x24y 上，点 M(0,4)满足MA BM.(
5、1)求证：OA OB；(2)设抛物线 C 过 A、B 两点的切线交于点 N.()求证：点 N 在一条定直线上；()设 49，求直线 MN 在 x 轴上截距的取值范围限时 12 分钟，达标是()否()(2014广东广州二模)已知点 A(2,1)在抛物线 E：x2ay 上，直线 l1：ykx1(kR，且k0)与抛物线 E 相交于 B，C 两点，直线 AB，AC 分别交直线 l2：y1 于点 S，T.(1)求 a 的值；(2)若|ST|2 5，求直线 l1 的方程；(3)试判断以线段 ST 为直径的圆是否恒过两个定点？若是，求这两个定点的坐标；若不是，说明理由第 7 讲 抛物线【A 级训练】1B 解
6、析：因为抛物线 x24y 中，p2，p21，焦点在 y 轴上，开口向上，所以焦点坐标为(0,1)2A 解析：因为抛物线 y24x 的焦点是(1,0)，直线 3x2y0 的斜率是32，所以直线 l 的方程是 y32(x1)，即 3x2y30，所以选 A.3D 解析：因为双曲线方程为y29x2161，所以令y29x2160，得双曲线的渐近线方程为 y34x，即 3x4y0.因为抛物线 y22px(p0)的焦点坐标为 F(p2，0)，所以 F 到渐近线的距离为 d|32p0|9163，解之得 p10(负值舍去)4y28x 或 x2y 解析：满足题意的抛物线应有两条，设为 y2ax 或 x2by，将点
7、 M(2，4)的坐标代入求得 y28x 或 x2y.5.54 解析：由已知可得 114a，所以 a4，所以 x24y.由抛物线的定义可知 A 点到焦点距离为 A 到准线的距离：yAp214154.62 x1 解析：因为抛物线 y22px 的焦点坐标为(1,0)，则p21，故 p2，抛物线的方程为 y24x，所以其准线方程为 x1.7解析：(1)设所求的抛物线方程为 y22px 或 x22py(p0)，因为过点(3,2)，所以 42p(3)或 92p2.所以所求的抛物线方程为 y243x 或 x292y，前者的准线方程是 x13，后者的准线方程是 y98.(2)令 x0 得 y2，令 y0 得
8、x4，所以抛物线的焦点为(4,0)或(0，2)当焦点为(4,0)时，p24，所以 p8，此时抛物线方程 y216x；焦点为(0，2)时，p22，所以 p4，此时抛物线方程为 x28y.所以所求的抛物线的方程为 y216x 或 x28y，对应的准线方程分别是 x4，y2.【B 级训练】1B 解析：设抛物线的焦点为 F，则|AF|BF|AB|，由抛物线的定义，可得 x1x2p|AB|，因为|AB|8，p2，所以 x1x26，所以 x1x2 的最小值是 6.2C 解析：因为抛物线 y24x 的焦点 F(1,0)，设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，因为线段 AB 的垂直平分线恰过点 M(4,0)
9、，所以|MA|2|MB|2，即(4x1)2y21(4x2)2y22，又 y214x1，y224x2，代入并展开得：16x218x14x1x228x2164x2，即 x21x224x14x2，又 x1x2，x1x24，所以线段 AB 中点的横坐标为12(x1x2)2，所以 ABAFBF(x1p2)(x2p2)426(当 A，B，F 三点共线时取等号)即|AB|是最大值为 6.3C 解析：抛物线 C 的方程为 y24 2x，所以 2p4 2，可得p2 2，得焦点 F(2，0)设 P(m，n)，根据抛物线的定义，得|PF|mp24 2，即 m 24 2，解得 m3 2.因为点 P 在抛物线 C 上，
10、得 n24 23 224，所以 n 242 6，因为|OF|2，所以POF 的面积为 S12|OF|n|12 22 62 3.4x2y231 解析：由抛物线 y28x，可得p22，故其准线方程为 x2.由题意可得双曲线x2a2y2b21(a0，b0)的一个焦点为(2,0)，所以 c2.又双曲线的离心率为 2，所以ca2，得到 a1，所以 b2c2a23.所以双曲线的方程为 x2y231.58 解析：因为双曲线x212y241 的右焦点坐标为(4,0)，所以p24，解得 p8.6(，1)(1，)解析：由题意知机器人行进轨迹为以 F(1,0)为焦点，x1 为准线的抛物线，其方程为 y24x.设过点
11、(1,0)且斜率为 k 的直线方程为 yk(x1)代入 y24x，得 k2x2(2k24)xk20.因为机器人接触不到该直线，所以(2k24)24k40，所以 k21.所以 k1 或 k1.7解析：(1)抛物线 y24x 的准线 l 的方程为 x1，由点 C 的纵坐标为 2，得点 C 的坐标为(1,2)，所以点 C 到准线 l 的距离 d2，又|CO|5.所以|MN|2|CO|2d22 542.(2)设 C(y204，y0)，则圆 C 的方程为(xy204)2(yy0)2y4016y20，即 x2y202xy22y0y0.由 x1，得 y22y0y1y2020，设 M(1，y1)，N(1，y2
12、)，则4y2041y2022y2040y1y2y2021).由|AF|2|AM|AN|，得|y1y2|4，所以y20214，解得 y0 6，此时 0，所以圆心 C 的坐标为(32，6)或(32，6)，从而|CO|2334，|CO|332，即圆 C 的半径为 332.【C 级训练】1解析：设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，lAB：ykx4，与 x24y 联立得 x24kx160，(4k)24(16)16k2640，x1x24k，x1x216.(1)证明：OA OB x1x2y1y2x1x2(kx14)(kx24)(1k2)x1x24k(x1x2)16(1k2)(16)4k(4k)160，所
13、以OA OB.(2)()证明：过点 A 的切线：y12x1(xx1)y112x1x14x21，过点 B 的切线为 y12x2x14x22.联立得点 N(x1x22，4)，所以点 N 在定直线 y4 上()因为MA BM，所以(x1，y14)(x2，4y2)，联立x1x2x1x24kx1x216)，可得 k21222112(49)，所以94k2649.直线 MN：y82k x4 在 x 轴的截距为 k，所以直线 MN 在 x 轴上截距的取值范围是83，3232，832解析：(1)因为点 A(2,1)在抛物线 E：x2ay 上，所以 a4.(2)由(1)得抛物线 E 的方程为 x24y.设点 B，
14、C 的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，依题意，x214y1，x224y2，ykx1 代入抛物线方程，消去 y 得 x24kx40，所以 x1x24k，x1x24.直线 AB 的斜率 kABy11x12x2141x12x124，故直线 AB 的方程为 y1x124(x2)令 y1，得 x28x12，所以点 S 的坐标为(28x12，1)同理可得点 T 的坐标为(28x22，1)所以|ST|28x12(28x22)|8x1x2x12x22|8x1x2x1x22x1x24|8x1x28k|x1x2k|.因为|ST|2 5，所以|x1x2|2 5|k|.|x1x2|2(x1x2)24x1x2，得 20k216k216，解得 k2，或 k2，所以直线 l1 的方程为 y2x1，或 y2x1.(3)设线段 ST 的中点坐标为(x0，1)，则 x012(28x1228x22)2 4x1x24x12x22244k4x1x22x1x24244k48k2k.而|ST|2x1x22k2x1x224x1x2k216k21k2，所以以线段 ST 为直径的圆的方程为(x2k)2(y1)214|ST|24k21k2.展开得 x24kx(y1)24k21k24k24.令 x0，得(y1)24，解得 y1 或 y3.所以以线段 ST 为直径的圆恒过两个定点(0,1)，(0，3)
