1、第70讲圆锥曲线的综合应用(三)(与直线、圆及其他知识的交汇与综合)1(经典真题)设F1，F2分别是椭圆C：1(ab0)的左、右焦点，M是C上一点且MF2与x轴垂直，直线MF1与C的另一个交点为N.(1)若直线MN的斜率为，求C的离心率；(2)若直线MN在y轴上的截距为2，且|MN|5|F1N|，求a，b. (1)根据c及题设知M(c，)，因为，所以2b23ac，将b2a2c2代入2b23ac，得2c23ac2a20，解得或2(舍去)故C的离心率为.(2)由题意，原点O为F1F2的中点，MF2y轴，所以直线MF1与y轴的交点D(0,2) 是线段MF1的中点，故4，即b24a，由|MN|5|F1
2、N|得|DF1|2|F1N|.设N(x1，y1)，由题意知y1b0)的右顶点为A，上顶点为B，已知椭圆的离心率为，|AB|.(1)求椭圆的方程(2)设直线l：ykx(k0)与椭圆交于P，Q两点，l与直线AB交于点M，且点P，M均在第四象限若BPM的面积是BPQ面积的2倍，求k的值 (1)设椭圆的焦距为2c，由已知有，又由a2b2c2，可得2a3b.又|AB|，从而a3，b2.所以，椭圆的方程为1.(2)设点P的坐标为(x1，y1)，点M的坐标为(x2，y2)，由题意知，x2x10，点Q的坐标为(x1，y1)由BPM的面积是BPQ面积的2倍，可得|PM|2|PQ|，从而x2x12x1(x1)，即
3、x25x1.易知直线AB的方程为2x3y6，由方程组消去y，可得x2.由方程组消去y，可得x1.由x25x1，可得5(3k2)，两边平方，整理得18k225k80，解得k，或k.当k时，x290，得m且m0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x22，x1x22m，因为点N，A，B在直线l上，所以|NA|x1(m2)|，|NB|x2(m2)|，所以|NA|NB|2|x1(m2)|x2(m2)|2|x1x2(m2)(x1x2)(m2)2|2|2m2(m2)(m2)2|2m2，所以|NT|2|NA|NB|.4(2018全国卷)已知斜率为k的直线l与椭圆C：1交于A，B两点，线段AB的中点为
4、M(1，m)(m0)(1)证明：k；(2)设F为C的右焦点，P为C上一点，且0.证明：|，|，|成等差数列，并求该数列的公差 (1)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则1，1.两式相减，并由k得k0.由题设知1，m，于是k.由题设得0m，故k.(2)由题意得F(1，0)设P(x3，y3)，则(x31，y3)(x11，y1)(x21，y2)(0，0)由(1)及题设得x33(x1x2)1，y3(y1y2)2m0.又点P在C上，所以m，从而P(1，)，|，于是| 2.同理|2.所以|4(x1x2)3.故2|，即|，|，|成等差数列设该数列的公差为d，则2|d|x1x2|.将m代入得k1，所以l的方程为yx，代入C的方程，并整理得7x214x0.故x1x22，x1x2，代入解得|d|.所以该数列的公差为或.
