1、4.3 空间直角坐标系 4.3.1 空间直角坐标系 1.空间直角坐标系(1)定义:如图,OABC-DABC为单位正方体,以O为原点,分别以射线OA,OC,OD的方向 为正方向,以线段OA,OC,OD的长为单位长,建立三条 数轴:x轴、y轴、z轴,即建立了空间直角坐标系Oxyz.(2)构成要素:坐标原点:O;坐标轴:x轴、y轴、z轴;坐标平面:xOy平面,yOz平面,xOz平面.(3)右手直角坐标系:右手拇指指向x轴的正方向,食指指向y轴的正方向,中指指向z轴的正方向.【思考】(1)空间直角坐标系中x轴、y轴、z轴上的单位长度什么关系?提示:相等.(2)在平面上画空间直角坐标系Oxyz时,一般x
2、Oy,yOz分别是多少度?提示:xOy=135,yOz=90.2.空间直角坐标系中点的坐标 其中x横坐标,y纵坐标,z竖坐标.【思考】空间中点的坐标x,y,z的顺序能互换吗?提示:不能,点的坐标为有序实数组,顺序不能互换.【素养小测】1.思维辨析(对的打“”,错的打“”)(1)每两条坐标轴确定的平面相互垂直.()(2)x轴上的点的坐标一定为(0,y,z).()(3)坐标平面xOy上的点的坐标一定是(x,0,z).()提示:(1).因为坐标轴两两垂直,故由坐标轴确定的平面两两垂直.(2).x轴上的点的坐标一定为(x,0,0).(3).坐标平面xOy上的点的坐标一定是(x,y,0).2.z轴上点的
3、坐标的特点是()A.z坐标为0 B.x坐标,y坐标都是0 C.x坐标为0,y坐标不为0 D.x,y,z坐标不可能都是0【解析】选B.z轴上点的x坐标,y坐标都是0.3.如图所示,已知长方体中OA=AB=2,AA1=3,则点C1的坐标为_.【解析】因为长方体中OA=AB=2,AA1=3,所以点C1的坐标为(0,2,3).答案:(0,2,3)类型一 确定空间中点的坐标【典例】1.如图,在棱长为2的正方体 OABC-DABC中,点M在BC 上,且M为BC的中点,若以O为坐标 原点,建立空间直角坐标系,则点M的坐标为_.2.在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,老师让同学们自主建立空间直角坐
4、标系 写出八个顶点的坐标.小明同学建立了 如图所示的空间直角坐标系,但写坐标时感觉有困难,请你帮小明写出八个顶点的坐标.【思维引】1.先向xOy面作垂线,再过垂足分别向x轴,y轴作垂线,利用垂足、高度分别确定x,y,z.2.先根据位置确定A,B,C,D的坐标,再根据高度确定A1,B1,C1,D1的坐标.【解析】1.由图形可知,M点在正方体的上底面上,所以M点的纵坐标同B的纵坐标,M在面BCCB上,得到点的竖坐标为2,因为CM=MB,所以M点的横坐标是1,所以M点的坐标是(1,2,2),答案:(1,2,2)2.因为底面正方形ABCD的中心为O,边长为2,所以 OB=.所以点B(,0,0),C(0
5、,0),D(-,0,0),A(0,-,0),B1(,0,2),C1(0,2),D1(-,0,2),A1(0,-,2).222222222【内化悟】在已知空间直角坐标系中确定点的坐标时,主要关注哪几方面?提示:过点向平面xOy作垂线,利用垂足的位置确定x,y值,利用垂线段的高度确定z的值.【类题通】确定空间中点M的坐标的方法(1)作垂直平面:过点M分别作x轴、y轴、z轴的垂面,依次交于点P,Q,R,根据三个点的坐标确定点M的坐标.(2)作垂线:过点M作xOy的垂线,垂足为P,过点P分别作x轴,y轴的垂线,垂足分别为Q,N,根据点Q,N的坐标确定x,y,根据PM的高度确定z.【习练破】如图,在正方
6、体ABCD-ABCD中,棱长为1,|BP|=|BD|,则P点的坐标为()131 1 12 2 2A.(,)B.(,)3 3 33 3 31 2 12 2 1C.(,)D.(,)3 3 33 3 3设点P(x,y,z),且点B(1,1,0),B(1,1,1),D(0,0,1);因为点P在正方体ABCD-ABCD的对角线BD上,所以x=y,又|PB|=|BD|,所以 解得:z=,解得:x=,故 131z31，132x31，232 2 1P(,).3 3 3【解析】选D.【加练固】在空间直角坐标系中,已知点P(1,),过P作平面 yOz的垂线PQ,则垂足Q的坐标为()A.(0,0)B.(0,)C.(
7、1,0,)D.(1,0)23，223，32【解析】选B.由于垂足Q在yOz平面内,可设Q(0,y,z),因为直线PQyOz平面,所以P,Q两点的纵坐标、竖坐标 都相等,因为P的坐标为(1,),所以 可得Q(0,).23，y2z3，23，类型二 空间两点的中点问题【典例】1.棱长为2个单位的正方体ABCD-A1B1C1D1中,以D为坐标原点,以DA,DC,DD1分别为x,y,z坐标轴,则B1C与BC1的交点E的坐标为_.2.已知ABCD为平行四边形,且A(4,1,3),B(2,-5,1),C(3,7,-5),则点D的坐标为_.【思维引】1.点E为线段BC1的中点,先求出点B,C1的坐标,再利用中
8、点坐标公式求点E的坐标.2.平行四边形的对角线互相平分,可利用对角线的交点求点D的坐标.【解析】1.棱长为2个单位的正方体ABCD-A1B1C1D1中,B1C与BC1的交点E是BC1的中点,因为B(2,2,0),C1(0,2,2),所以E(1,2,1).答案:(1,2,1)2.因为ABCD为平行四边形,且A(4,1,3),C(3,7,-5),所 以线段AC的中点坐标为 设点D的坐标为(x,y,z),则对角线BD的中点坐标也为 7(41).2，7(41).2，所以 解得 所以点D的坐标为(5,13,-3).答案:(5,13,-3)2x7,22y54,2z 112 ，x5,y 13,z3.【内化悟
9、】怎样利用公式求中点的坐标?提示:先求出线段两端点的坐标,再利用中点坐标公式计算中点坐标.【类题通】空间两点的中点坐标 点 中点P的坐标为 已知端点坐标可以求中点坐标,也可已知一个 端点及中点坐标求另一个端点的坐标.111222A(x,y,z)B(x,y,z)，1212xxyy(,22，12zz),2【习练破】点A(3,-2,4)关于点(0,1,-3)的对称点的坐标是()A.(-3,4,-10)B.(-3,2,-4)C.D.(6,-5,11)31 1(,)22 2【解析】选A.设点A关于点(0,1,-3)的对称点为A(x,y,z),则(0,1,-3)为线段AA的中点,即 解得x=-3,y=4,
10、z=-10,所以A(-3,4,-10).x3y20122，4z32，【加练固】已知A(3,2,-4),B(5,-2,2),则线段AB中点的坐标为_.【解析】设中点坐标为(x0,y0,z0),则x0=4,y0=0,z0=-1,所以中点坐标为(4,0,-1).答案:(4,0,-1)352222422 类型三 空间中点的对称问题 角度1 关于坐标平面的对称点问题【典例】在空间直角坐标系Oxyz中,点M的坐标是(2,4,6),则其关于yOz平面的对称点的坐标是()世纪金榜导学号 A.(-2,4,6)B.(-2,-4,6)C.(2,-4,-6)D.(-2,-4,-6)【思维引】点M与关于yOz平面的对称
11、点坐标的横坐标互为相反数,纵坐标、竖坐标相等.【解析】选A.在空间直角坐标系Oxyz中,点M的坐标是(2,4,6),可得点M(2,4,6)关于yOz平面的对称点的坐标是(-2,4,6).【素养探】在求关于坐标平面的对称点坐标时,常常用到核心素养中的直观想象,通过对称点间坐标的关系解题.本例中,试求点M关于xOz平面的对称点的坐标.【解析】在空间直角坐标系Oxyz中,点M的坐标是(2,4,6),可得点M(2,4,6)关于xOz平面的对称点的坐标是(2,-4,6).角度2 关于坐标轴的对称点问题【典例】(2019台州高一检测)在空间直角坐标系Oxyz中,点M(1,2,3)关于x轴对称的点N的坐标是
12、()A.(-1,2,3)B.(1,-2,3)C.(1,2,-3)D.(1,-2,-3)【思维引】点M与关于x轴的对称点的横坐标不变,纵坐标、竖坐标互为相反数.【解析】选D.一个点关于x轴对称的点的坐标是只有横坐标不变,纵坐标和竖坐标改变,因为点M(1,2,3),所以点M(1,2,3)关于x轴对称的点的坐标为(1,-2,-3).【类题通】在空间直角坐标系中,点P(x,y,z)关于坐标轴和坐标平面的对称点的坐标特点如下:关于xOy 平面对称关于yOz 平面对称关于xOz 平面对称关于原 点对称(x,y,-z)(-x,y,z)(x,-y,z)(-x,-y,-z)关于x轴对称关于y轴对称关于z轴对称(
13、x,-y,-z)(-x,y,-z)(-x,-y,z)其中的记忆方法为“关于谁谁不变,其余的相反”.如关于横轴(x轴)的对称点,横坐标不变,纵坐标、竖坐标变为原来的相反数;关于xOy坐标平面的对称点,横坐标、纵坐标不变,竖坐标变为原来的相反数.【习练破】1.在空间直角坐标系中,点A(1,-2,3)与点B(-1,-2,-3)关于_对称()A.x轴 B.y轴 C.z轴 D.原点【解析】选B.因为在空间直角坐标系中,点(x,y,z)关于y轴的对称点的坐标为:(-x,y,-z),所以点A(1,-2,3)与点B(-1,-2,-3)关于y轴对称.2.点P(1,1,1)关于xOy平面的对称点为P1,则点P1关
14、于z轴的对称点P2的坐标是()A.(1,1,-1)B.(-1,-1,-1)C.(-1,-1,1)D.(1,-1,1)【解析】选B.因为点P(1,1,1)关于xOy平面的对称点为P1,所以P1(1,1,-1),所以点P1关于z轴的对称点P2的坐标是(-1,-1,-1).【加练固】在空间直角坐标系O-xyz中,点P(-2,4,-3)关于yOz平面的对称点的坐标为()A.(2,4,-3)B.(-2,-4,3)C.(2,-4,-3)D.(-2,4,3)【解析】选A.设所求对称点为P(x,y,z),因为关于坐标平面yOz对称的两个点,它们的纵坐标、竖坐标相等,而横坐标互为相反数,点P(-2,4,-3),所以x=-2,y=4,z=-3,即点P关于坐标平面yOz的对称点的坐标为P(2,4,-3).
