1、2.3.3 直线与平面垂直的性质 直线与平面垂直的性质定理 文字语言 垂直于同一个平面的两条直线平行 符号语言 ab 图形语言 【思考】线面垂直的性质定理提供了“垂直”与“平行”关系转化的依据,你能想到其他转化依据吗?提示:【素养小测】1.思维辨析(对的打“”,错的打“”)(1)三角形的两边可以垂直于同一个平面.()(2)垂直于同一个平面的两条直线一定共面.()(3)过一点有且仅有一条直线与已知平面垂直.()提示:(1).若三角形的两边垂直于同一个平面,则这两条边平行,不能构成三角形.(2).由线面垂直的性质定理可知这两条直线是平行的,故能确定一个平面.(3).假设过一点有两条直线与已知平面垂
2、直,由直线与平面垂直的性质定理可得这两条直线平行,应无公共点,这与过同一点相矛盾,故只有一条直线.2.在圆柱的一个底面上任取一点(该点不在底面圆周上),过该点作另一个底面的垂线,则这条垂线与圆柱的母线所在直线的位置关系是()A.相交 B.平行 C.异面 D.相交或平行【解析】选B.由于这条垂线与圆柱的母线都垂直于底面,所以它们平行.3.直线n平面,nl,直线m,则l,m的位置关系是()A.相交 B.异面 C.平行 D.垂直 【解析】选D.因为直线n平面,nl,所以l平面,又因为直线m,所以lm.类型一 直线与平面垂直的性质的应用 【典例】如图所示,正方体ABCD-A1B1C1D1中,EF与异面
3、直线AC,A1D都垂直相交.求证:EFBD1.【思维引】证明EF与BD1都与平面AB1C垂直.【证明】连接AB1,B1C,BD,B1D1,如图所示.因为DD1平面ABCD,AC平面ABCD,所以DD1AC.又因为ACBD,BDDD1=D,所以AC平面BDD1B1,所以ACBD1.同理BD1B1C,又ACB1C=C,所以BD1平面AB1C.因为EFA1D,且A1DB1C,所以EFB1C.又因为EFAC,ACB1C=C,所以EF平面AB1C,所以EFBD1.【素养探】在与线面垂直性质应用有关的问题中,经常利用核心素养中的逻辑推理,通过判定直线与平面的垂直,得到直线与直线平行,实现“平行”与“垂直”
4、的转化.将本例正方体满足的条件改为“M是AB上一点,N是A1C的中点,MN平面A1DC”求证:MNAD1.【证明】因为ADD1A1为正方形,所以AD1A1D.又因为CD平面ADD1A1.所以CDAD1.因为A1DCD=D,所以AD1平面A1DC.又因为MN平面A1DC,所以MNAD1.【类题通】证明线线平行常用的方法(1)利用线线平行定义:证共面且无公共点.(2)利用三线平行公理:证两线同时平行于第三条直线.(3)利用线面平行的性质定理:把证线线平行转化为证线面平行.(4)利用线面垂直的性质定理:把证线线平行转化为证线面垂直.(5)利用面面平行的性质定理:把证线线平行转化为证面面平行.【习练破
5、】在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是矩形,AB平面PAD,AD=AP,E是PD的中点,M,N分别在AB,PC上,且MNAB,MNPC.求证:AEMN.【证明】因为AB平面PAD,AE平面PAD,所以AEAB,又ABCD,所以AECD.因为AD=AP,E是PD的中点,所以AEPD.又CDPD=D,所以AE平面PCD.因为MNAB,ABCD,所以MNCD.又因为MNPC,PCCD=C,所以MN平面PCD,所以AEMN.【加练固】如图,已知平面 平面=l,EA,垂足为A,EB,B为垂足,直线a,aAB.求证:al.【证明】因为EB,a,所以EBa.又因为aAB,ABEB=B,所以a平面ABE.因
6、为=l,所以l,l.因为EA,EB,所以EAl,EBl.又因为EAEB=E,所以l平面ABE.所以al.类型二 直线与平面垂直的判定与性质的综合应用 【典例】(2019赣州高一检测)如图,直三棱柱ABC-A1B1C1中,AC=BC=1,ACB=90,AA1=,D,F分别是 A1B1,BB1的中点.世纪金榜导学号(1)求证:C1DAB1.(2)求证:AB1平面C1DF.2【思维引】(1)要证C1DAB1,需证C1D平面AA1B1B,需证C1DA1B1,C1DAA1,由已知可证.(2)要证AB1平面C1DF,需证AB1DF,需证A1BAB1,需证四边形AA1B1B为正方形,由已知可证.【证明】(1
7、)因为ABC-A1B1C1是直三棱柱,所以A1C1=B1C1=1,且A1C1B1=90.又 D是A1B1的中点,所以C1DA1B1,因为AA1平面A1B1C1,C1D平面A1B1C1,所以AA1C1D,又因为AA1A1B1=A1,所以C1D平面AA1B1B,又因为AB1平面AA1B1B,所以C1DAB1.(2)连接A1B,因为D,F分别是A1B1,BB1的中点,所以DFA1B.又直角三角形A1B1C1中,所以A1B1=,所以A1B1=AA1,即四边形AA1B1B为正方形,所以AB1A1B,即AB1DF,222111111A BA CB C，2又(1)已证C1DAB1,又DFC1D=D,所以AB
8、1平面C1DF.【素养探】在与线面垂直判定和性质综合应用有关的问题中,经常利用核心素养中的逻辑推理,常见的推理形式有:(1)l,m lm.(2)la,lb,ab=A,a,b l.(3)l,lmm.(4)l,m lm等.将本例直三棱柱满足的条件改为“E,F分别在BC,B1B上,且B1EC1F,A1C1B1C1”求证:B1E平面A1C1F.【证明】因为直三棱柱ABC-A1B1C1中,A1C1CC1,又因为A1C1B1C1.B1C1CC1=C1,所以A1C1平面BCC1B1,因为B1E 平面BCC1B1,所以A1C1B1E,因为B1EC1F,A1C1C1F=C1,所以B1E平面A1C1F.【类题通】
9、线线、线面垂直问题的解题策略(1)证明线线垂直,一般通过证明一条直线垂直于经过另一条直线的平面,为此分析题设,观察图形找到是哪条直线垂直于经过哪条直线的平面.(2)证明直线和平面垂直,就是要证明这条直线垂直于平面内的两条相交直线,这一点在解题时一定要体现出来.【习练破】如图,四边形ABCD为矩形,AD平面ABE,F为CE上的点,且BF平面ACE.求证:AEBE.【证明】因为AD平面ABE,ADBC,所以BC平面ABE.又AE平面ABE,所以AEBC.因为BF平面ACE,AE平面ACE,所以AEBF.因为BF平面BCE,BC平面BCE,BFBC=B,所以AE平面BCE.又BE平面BCE,所以AE
10、BE.【加练固】如图,在四面体PABC中,PA平面ABC,PA=1,AB=1,AC=2,BC=.(1)求四面体PABC的四个面的面积中,最大的面积是多 少?(2)证明:在线段PC上存在点M,使得ACBM,并求 的值.3PMMC【解析】(1)由题设AB=1,AC=2,BC=,可得AB2+BC2=AC2,所以ABBC,由PA平面ABC,BC,AB,AC平面ABC,所以PABC,PAAB,PAAC,3所以PB=.又由于PAAB=A,故BC平面PAB,PB平面PAB,所以BCPB,所以ACB,PAC,PAB,PCB均为直角三角形,且PCB的面积最大,SPCB=21623.22(2)在平面ABC内,过点B作BNAC,垂足为N.在平面PAC内,过点N作MNPA 交PC于点M,连接BM.由PA平面ABC知PAAC,所以MNAC.由于BNMN=N,故AC平面MBN.又BM平面MBN,所以ACBM.因为ABN与ACB相似,AN=从而NC=AC-AN=由MNPA,得 AB AB1AC2，3.2PMAN1.MCNC3
