1、第二章 点、直线、平面之间的位置关系 2.1 空间点、直线、平面之间的位置关系 2.1.1 平 面 1.平面的概念 几何里所说的“平面”,是从课桌面、黑板面、海面这样的一些物体中抽象出来的.几何里的平面是无限延展的.2.平面的画法(1)水平放置的平面通常画成一个平行四边形,它的锐角通常画成45,且横边长等于其邻边长的2倍.如图.(2)如果一个平面被另一个平面遮挡住,为了增强它的立体感,把被遮挡部分用虚线画出来.如图.【思考】类比直线的画法,想一想为什么“通常”画“平行四边形”表示平面?提示:通常画的平行四边形表示的是整个平面.需要时,可以把它延展开来,如同在平面几何中画直线一样,直线是可以无限
2、延伸的,但在画直线时却只画一条线段(无端点)来表示.加“通常”二字的意思是因为有时根据需要也可用其他平面图形表示,如用三角形、矩形、圆等平面图形来表示平面.3.平面的表示法(1)用希腊字母表示,如平面,平面,平面.(2)用表示平面的平行四边形的四个顶点的大写字母表示,如平面ABCD.(3)用表示平面的平行四边形的相对的两个顶点表示,如平面AC,平面BD.4.平面的基本性质 公理 文字语言 图形语言 符号语言 公理1 如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线在此平面内 Al,Bl,且A,Bl 公理 文字语言 图形语言 符号语言 公理2 过不在一条直线上的三点,有且只有一个平面 A,B,C三
3、点不共线存在惟一的平面 使A,B,C 公理3 如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线 P 且P =l,且Pl【思考】用数学符号“”、“”“”或“”表示点和直线、平面的位置关系的依据是什么?这些符号分别适用于什么情况?提示:(1)直线可以看成无数个点组成的集合,故点与直线的关系是元素与集合的关系,用“”或“”表示.(2)平面也可以看成点集,故点与平面的关系也是元素与集合的关系,用“”或“”表示.(3)直线和平面都是点集,它们之间的关系可看成集合与集合的关系,故用“”或“”表示.直线与平面的交点,平面与平面的交线可看成两个集合的“交集”,故用“”表示.【素养小测】1
4、.思维辨析(对的打“”,错的打“”)(1)几何里的平面是有厚度的,有边界的.()(2)若线段AB在平面 内,则直线AB在平面 内.()(3)平面 与平面 相交,它们只有有限个公共点.()(4)如果两个平面有三个公共点,则这两个平面重合.()提示:(1).几何里的平面是没有厚度,无限延展而没有边界的.(2).直线AB在平面内,因为线段AB在平面内,所以线段AB上的所有点都在平面内,故线段AB上A,B两点一定在平面内,由公理1可知直线AB在平面内.(3).平面与平面相交,它们有无限个公共点,这些点都在同一条直线上.(4).如三点共线,这两个平面有可能相交,也可能重合,所以该命题错误.2.如果空间四
5、点A,B,C,D不共面,那么下列判断中正确的是()A.A,B,C,D四点中必有三点共线 B.A,B,C,D四点中不存在三点共线 C.直线AB与CD相交 D.直线AB与CD平行【解析】选B.两条平行直线、两条相交直线、直线及直线外一点都分别确定一个平面.3.已知如图,试用适当的符号表示下列点、直线和平面之间的关系:(1)点C与平面:_.(2)点A与平面:_.(3)直线AB与平面:_.(4)直线CD与平面:_.(5)平面 与平面:_.【解析】(1)C.(2)A.(3)AB=B.(4)CD.(5)=BD.答案:(1)C(2)A(3)AB=B(4)CD(5)=BD 类型一 文字语言、图形语言、符号语言
6、的相互转化【典例】1.文字语言叙述:“平面内有一条直线,则这条 直线上的点必在这个平面内”改成符号语言是()A.a,AaA B.a,AaA C.a,AaA D.a,AaA 2.下列四个选项中的图形表示两个相交平面,其中画法正确的是()3.如图所示,根据图形用符号表示下列点、直线、平面之间的关系.(1)点P与直线AB.(2)点C与直线AB.(3)点A1与平面AC.(4)直线AB与直线BC.(5)直线AB与平面AC.(6)平面A1B与平面AC.【思维引】1.点看作元素,直线和平面看作点的集合,据此选择恰当的数学符号.2.注意被遮挡的线画成虚线.3.判断点、直线和平面的位置关系,选择恰当的数学符号表
7、示出来.【解析】1.选B.直线在平面内用“”,点在直线上和点在平面内用“”.2.选D.画两个相交平面时,被遮住的部分用虚线表示,只有D画法正确.3.(1)点P直线AB.(2)点C直线AB.(3)点A1平面AC.(4)直线AB直线BC=点B.(5)直线AB平面AC.(6)平面A1B平面AC=直线AB.【内化悟】在用符号表示点、线、面之间的关系时,如何区别“”与“”?提示:可借助集合的观点区分“”与“”.点与直线(或平面)的位置关系,用“”或“”表示;直线与平面的位置关系,用“”或“”表示;直线与直线相交、平面与平面相交要类比集合与集合交集说明交点或交线.【类题通】三种语言的转换方法(1)用文字语
8、言、符号语言表示一个图形时,首先仔细观察图形有几个平面、几条直线且相互之间的位置关系如何,试着用文字语言表示,再用符号语言表示.(2)要注意符号语言的意义.如点与直线的位置关系只能用“”或“”,直线与平面的位置关系只能用“”或“”.【习练破】根据下列符号表示的语句,说明点、线、面之间的位置关系,并画出相应的图形:(1)A,B.(2)l,m=A,Al.(3)Pl,P,Ql,Q.【解析】(1)点A在平面 内,点B不在平面 内,如图所示.(2)直线l在平面 内,直线m与平面 相交于点A,且点A不在直线l上,如图所示.(3)直线l经过平面 外一点P和平面 内一点Q,如图所示.【加练固】将下列符号语言转
9、化为图形语言.(1)a,b=A,Aa.(2)=c,a,b,ac,bc=P.【解析】(1)(2)类型二 点、线共面问题【典例】证明两两相交且不共点的三条直线在同一平面内.【思维引】用纳入法证明,即先由两条相交直线确定一个面,再证第三条直线在这个平面内.【证明】已知:如图所示,l1l2=A,l2l3=B,l1l3=C.求证:直线l1,l2,l3在同一平面内.证明:方法一:因为l1l2=A,所以l1和l2确定一个平面.因为l2l3=B,所以Bl2.又因为l2,所以B.同理可证C.又因为Bl3,Cl3,所以l3.所以直线l1,l2,l3在同一平面内.方法二:因为l1l2=A,所以l1,l2确定一个平面
10、.因为l2l3=B,所以l2,l3确定一个平面.因为Al2,l2,所以A.因为Al2,l2,所以A.同理可证B,B,C,C.所以不共线的三个点A,B,C既在平面内,又在平面内.所以平面和重合,即直线l1,l2,l3在同一平面内.【素养探】在点、线共面问题中,经常利用核心素养中的逻辑推理,通过研究点、直线和平面之间的基本位置关系,从已知定理出发,依据逻辑规则推出一个命题.将本例的条件“两两相交且不共点的三条直线”改为“和同一条直线相交的两条平行直线”,试证明这三条直线在同一平面内.【证明】已知l1l2,l1l3=A,l2l3=B,求证:l1,l2,l3共面.证明:因为l1l2,所以l1与l2确定
11、一个平面,设该平面为,则l1,l2,又因为l1l3=A,l2l3=B,所以Al1,Bl2,即A,B,而Al3,Bl3,所以l3,因此l1,l2,l3共面.【类题通】1.证明点、线共面问题的理论依据(1)公理1和公理2(2)公理2的推论 经过一条直线和直线外的一点有且只有一个平面.经过两条相交直线有且只有一个平面.经过两条平行直线有且只有一个平面.2.证明点、线共面的两种常用方法(1)纳入法:先由部分点、线确定一个面,再证其余的点、线都在这个平面内.(2)重合法:先由其中一部分点、线确定一个平面,其余点、线确定另一个平面,再证平面 与 重合.【习练破】已知直线l与四边形ABCD的三边AB,AD,
12、CD所在的直线分别相交于点E,F,G.求证:四边形ABCD是平面四边形.【证明】设AB,AD确定的平面为,则E,F,于是l.因为Gl,所以G.所以DG,即DC.所以C.故A,B,C,D四点共面,即四边形ABCD为平面四边形.【加练固】已知:Al,Bl,Cl,Dl,如图所示.求证:直线AD,BD,CD共面.【证明】因为Dl,所以l与D可以确定平面,因为Al,所以A,又D,所以AD.同理,BD,CD,所以AD,BD,CD在同一平面内,即它们共面.类型三 点共线、线共点问题【典例】1.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,设线段A1C与平面ABC1D1交于点Q,求证:B,Q,D1三点共线.2.
13、如图,已知平面,且 =l,设梯形ABCD中,ADBC,且AB,CD.求证:AB,CD,l共点.世纪金榜导学号【思维引】1.注意到平面ABC1D1与平面A1BCD1相交于直线BD1,可知利用公理3证明点Q同时在这两个平面内.2.基本思路是证明其中两条直线的交点在第三条直线上.【证明】1.如图,连接A1B,CD1,BD1显然B平面A1BCD1,D1平面A1BCD1,所以BD1平面A1BCD1.同理,BD1平面ABC1D1,所以平面ABC1D1平面A1BCD1=BD1.因为A1C平面ABC1D1=Q,所以Q平面ABC1D1.又因为A1C平面A1BCD1,所以Q平面A1BCD1.所以Q在平面A1BCD
14、1与平面ABC1D1的交线上,即QBD1,所以B,Q,D1三点共线.2.因为梯形ABCD中,ADBC,所以AB,CD是梯形ABCD的两腰,所以AB,CD必定相交于一点,如图,设ABCD=M.又因为AB,CD,所以M,且M.又因为=l,所以Ml.即AB,CD,l共点.【内化悟】1.证明点共线、线共点问题最终都可以归结为什么问题?提示:最终都可以归结为利用公理3证明点在直线上的问题.2.利用公理3证明点在直线上的关键是什么?提示:关键是恰当选择平面,把直线看作这两个平面的交线.【类题通】(1)证明三点共线的方法(2)证明三线共点的步骤【习练破】1.已知ABC在平面 外,其三边所在的直线满足AB=P
15、,BC=Q,AC=R,如图所示.求证:P,Q,R三点共线.【证明】方法一:因为AB=P,所以PAB,P平面.又AB平面ABC,所以P平面ABC.所以由公理3可知:点P在平面ABC与平面的交线上,同理可证Q,R也在平面ABC与平面的交线上.所以P,Q,R三点共线.方法二:因为APAR=A,所以直线AP与直线AR确定平面APR.又因为AB=P,AC=R,所以平面APR平面=PR.因为B平面APR,C平面APR,所以BC平面APR.因为QBC,所以Q平面APR,又Q,所以QPR,所以P,Q,R三点共线.2.如图,ABC与A1B1C1不全等,且A1B1AB,B1C1BC,C1A1CA.求证:AA1,B
16、B1,CC1交于一点.【证明】如图所示,因为B1C1BC,所以B1C1与BC确定一个平面,记为平面.同理,将C1A1与CA所确定的平面记为平面.易知=C1C.因为ABC与A1B1C1不全等,且A1B1AB,所以AA1与BB1相交,设交点为P,PAA1,PBB1.而AA1,BB1,所以P,P,所以P在平面与平面的交线上.又=C1C,所以PC1C,所以AA1,BB1,CC1交于一点.【加练固】如图,在四边形ABCD中,已知ABCD,直线AB,BC,AD,DC分别与平面 相交于点E,G,H,F.求证:E,F,G,H四点必定共线.【证明】因为ABCD,所以AB,CD确定一个平面(即平面ABCD),又因为AB=E,AB,所以E,E,即E为平面与的一个公共点.同理可证F,G,H均为平面与的公共点,两个平面有公共点,它们有且只有一条通过公共点的公共直线,所以E,F,G,H四点必定共线.
