1、1.2 空间几何体的三视图和直观图 1.2.1 中心投影与平行投影 1.2.2 空间几何体的三视图 1.投影 定义 由于光的照射,在不透明物体后面的屏幕上可以留下这个物体的影子,这种现象叫做投影.有关 概念投影线:光线 投影面:留下物体影子的屏幕2.中心投影与平行投影 投影定义特征分类中心 投影光由一点向 外散射形成 的投影投影线交于 一点平行 投影在一束平行 光线照射下 形成的投影投影线互相 平行正投影和斜 投影【思考】依据投影的特征,想一想两种投影下,与投影面平行的平面图形留下的影子,与这个平面图形的形状和大小相同吗?提示:平行投影下,与投影面平行的平面图形留下的影子,与这个平面图形的形状
2、和大小完全相同;中心投影下,与投影面平行的平面图形留下的影子,与这个平面图形相似,大小不相同.3.三视图【思考】上图是一个长方体的正视图、侧视图和俯视图,它们分别是什么图形?分别表示长方体的长度、宽度和高度中的哪些量?提示:正视图是一个矩形,表示长方体的长度和高度;它的俯视图也是一个矩形,它表示长方体的长度和宽度;它的侧视图同样还是一个矩形,它表示长方体的宽度和高度.4.三视图的画法规则(1)侧视图与正视图高度一样;(2)俯视图与正视图长度一样;(3)侧视图与俯视图宽度一样;(4)能看见的轮廓线和棱用实线表示,不能看见的轮廓和棱用虚线表示.【素养小测】1.思维辨析(对的打“”,错的打“”)(1
3、)中心投影得到的图形大小与原图形距离光源的远近有关.当原图形距离光源越近,则其投影图形越大,反之越小.()(2)在平行投影下,与投影面平行的平面图形,它的投影与这个图形全等.()(3)球的三视图形状都相同,大小均相等.()(4)圆锥的正视图一定是等腰三角形.()提示:(1).由中心投影的定义可知,此说法正确;(2).由平行投影的定义可知,此说法正确;(3).根据球的结构特征可知,此说法正确;(4).与圆锥的位置有关,当底面水平放置时,正视图才是等腰三角形.2.一条直线在平面上的正投影是()A.直线 B.点 C.线段 D.直线或点【解析】选D.当直线与平面垂直时,其正投影为点,其他位置关系时的正
4、投影均为直线.3.如图,该几何体的俯视图是_.(填序号)【解析】由题意知,该几何体的俯视图是矩形,且中间有一条实线,即图.答案:类型一 中心投影与平行投影【典例】1.下列光线所形成的投影不是中心投影的是()A.太阳光线 B.台灯的光线 C.手电筒的光线 D.路灯的光线 2.(2019哈尔滨高一检测)如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M为DD1的中点,则图中阴影部分BC1M在平面BCC1B1上的正投影是()【思维引】1.判断是否是在一束平行光线照射下形成的投影.2.只需要找到点M,B,C1在平面BCC1B1上的正投影.【解析】1.选A.A.太阳距离地球很远,我们认为是平行光线,因此
5、不是中心投影;B.台灯的光线是由台灯光源发出的光线,是中心投影;C.手电筒的光线是由手电筒光源发出的光线,是中心投影;D.路灯的光线是由路灯光源发出的光线,是中心投影.综上可知:只有A不是中心投影.2.选D.由题意,点M在平面BCC1B1上的投影是CC1的中点,B,C1在平面BCC1B1上的投影是它本身,所以BC1M在平面BCC1B1上的正投影是选项D中阴影部分.【内化悟】平行投影和中心投影有什么区别和联系?提示:平行投影和中心投影都是空间图形的一种画法,但二者又有区别:中心投影的投影线交于一点,平行投影的投影线互相平行.画实际效果图时,一般用中心投影法,画立体几何中的图形时,一般用平行投影法
6、.【类题通】判断几何体投影形状及画投影的方法(1)判断一个几何体的投影是什么图形,先分清楚是平行投影还是中心投影,投影面的位置如何,再根据平行投影或中心投影的性质来判断.(2)画出一个图形在一个平面上的投影的关键是确定该图形的关键点,如顶点、端点等,方法是先画出这些关键点的投影,再依次连接各投影点即可得出此图形在该平面上的投影.【习练破】下列说法正确的是()A.矩形的平行投影一定是矩形 B.梯形的平行投影一定是梯形 C.两条相交直线的平行投影可能平行 D.若一条线段的平行投影是一条线段,则中点的平行投影仍为这条投影线段的中点【解析】选D.对于选项A,矩形的平行投影可以是线段、矩形、平行四边形,
7、主要与矩形的放置及投影面的位置有关;同理,对于选项B,梯形的平行投影可以是梯形或线段;对于选项C,平行投影把两条相交直线投射成两条相交直线或一条直线;选项D正确.【加练固】如图,E,F分别为正方体的面ADD1A1,面BCC1B1的中心,则四边形BFD1E在该正方体的面上的平行射影可能是_.(把可能的序号都填上)【解析】四边形BFD1E在面BCC1B1或面ADD1A1上的射影应是E与F重合,D1与C1重合,A与B重合,所以正确;在下底面射影是B与B重合,D1与D重合,E,F的射影分别为AD与BC的中点,所以正确.在上底面、前后两面的射影也是.答案:类型二 画空间几何体的三视图【典例】画出图中两个
8、几何体的三视图.【思维引】先弄清正视方向,然后根据三视图的画法规则画出三视图.【解析】(1)如图(2)如图【素养探】在画空间几何体的三视图时,经常利用核心素养中的直观想象,通过识图、作图研究空间几何体的结构特征.将本例几何体改为“四棱柱”如图所示,试画其三视图.【解析】【类题通】画三视图应遵循的原则和注意事项:(1)务必做到“长对正,高平齐,宽相等”.(2)三视图的排列方法是正视图与侧视图在同一水平位置,且正视图在左,侧视图在右,俯视图在正视图的正下方.(3)在三视图中,要注意实、虚线的画法.(4)画完三视图草图后,要再对照实物图来验证其正确性.【习练破】1.(2018全国卷)中国古建筑借助榫
9、卯将木构件连接起来,构件的凸出部分叫榫头,凹进部分叫卯眼,图中木构件右边的小长方体是榫头.若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体,则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是()【解析】选A.由直观图可知选A.2.画出如图所示纺锤的三视图.【解析】纺锤的三视图如图.【加练固】画出如图所示几何体的三视图.【解析】此几何体的三视图如图所示:类型三 由三视图联想实物图【典例】1.如图所示为一个简单几何体的三视图,则其对应的实物图是()2.一个几何体的三视图如图所示,其中正视图和侧视图是腰长为4的两个全等的等腰直角三角形.世纪金榜导学号(1)试在棱长为4的正方体中画出此几何体.(2)用多少个这样的
10、几何体可以拼成一个棱长为4的正方体?【思维引】1.在三视图中三个矩形的对角线都是实线,结合这三条实线的方向逐项判断.2.在正方体中确定该几何体顶点的位置,画出此几何体.【解析】1.选A.A项,该几何体的三视图满足题中所给 出的三视图的要求,故A项正确;B项,该几何体的正视图 中的矩形的对角线为虚线,侧视图正确,俯视图中矩形 的对角线位置与题中所给出的三视图均不相符,故B项 错误;C项,该几何体的正视图对角线的位置、侧视图中 矩形的对角线为虚线和俯视图中对角线的位置均与题中的三视图不符,故C项错误;D项,正视图中矩形对角线是虚线及位置和侧视图中矩形对角线是虚线,均与题中的三视图不符,故D项错误.
11、2.该几何体是四棱锥,其底面是边长为4的正方形,高等于4,如图所示的四棱锥A-A1B1C1D1,观察图形可知,三个相同的四棱锥A-A1B1C1D1,A-BB1C1C,A-DD1C1C可以拼成一个棱长为4的正方体.【类题通】1.由三视图还原空间几何体的策略(1)通过正视图和侧视图确定是柱体、锥体还是台体.若正视图和侧视图为矩形,则原几何体为柱体;若正视图和侧视图为等腰三角形,则原几何体为锥体;若正视图和侧视图为等腰梯形,则原几何体为台体.(2)通过俯视图确定是多面体还是旋转体.若俯视图为多边形,则原几何体为多面体;若俯视图为圆,则原几何体为旋转体.2.由三视图还原空间几何体的步骤【习练破】已知某几何体的三视图如图所示,则该几何体的最长棱为()A.4 B.2 C.D.2 7【解析】选B.由三视图可知几何体为四棱锥S-ABCD,由 侧视图可知棱锥底面ABCD是边长为2的正方形,顶点S在 底面ABCD上的射影M为CD的中点,由正视图可知SM=,所以AM=,SA=2 ,3522AMSM2由对称性可知SB=SA=2 ,所以几何体最长的棱为2 .22【加练固】如图所示是一个物体的三视图,则此三视图所描述的物体是下列哪个几何体()【解析】选D.由俯视图可知该几何体为旋转体,由正视图、侧视图可知该几何体是由圆锥、圆柱组合而成的组合体.
