1、第五节椭圆1椭圆的定义平面内到两定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫椭圆两定点F1，F2叫椭圆的焦点集合PM|MF1|MF2|2a，|F1F2|2c，其中a0，c0，且a，c为常数(1)当2a|F1F2|时，P点的轨迹是椭圆；(2)当2a|F1F2|时，P点的轨迹是线段；(3)当2a0)的左焦点为F1(4，0)，则m()A2B3C4D9解析：由左焦点为F1(4，0)知c4.又a5，25m216，解得m3或3.又m0，故m3.答案：B3已知中心在原点的椭圆C的右焦点为F(1，0)，离心率等于，则C的方程是()A.1 B.1C.1 D.1解析：椭圆的焦点在x轴上；c1.
2、又离心率为，故a2，b2a2c2413，故椭圆的方程为1.答案：D4(2014大纲全国卷)已知椭圆C：1(ab0)的左、右焦点为F1、F2，离心率为，过F2的直线l交C于A、B两点若AF1B的周长为4，则C的方程为()A.1 B.y21C.1 D.1解析：1(ab0)的离心率为，.又过F2的直线l交椭圆于A，B两点，AF1B的周长为4，4a4，a.b，椭圆方程为1.答案：A5(2016课标全国卷)直线l经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到l的距离为其短轴长的，则该椭圆的离心率为()A. B. C. D.【解析】利用椭圆的几何性质列方程求离心率不妨设直线l经过椭圆的一个顶点B(0，b)和一
3、个焦点F(c，0)，则直线l的方程为1，即bxcybc0.由题意知2b，解得，即e.故选B.【答案】B一条规律椭圆焦点位置与x2，y2系数之间的关系:给出椭圆方程1时，椭圆的焦点在x轴上mn0；椭圆的焦点在y轴上0mn.两种方法求椭圆标准方程的方法:1定义法：根据椭圆定义，确定a2，b2的值，再结合焦点位置，直接写出椭圆方程2待定系数法：设出椭圆的标准方程，运用方程思想求出a2，b2.三种技巧与椭圆性质、方程相关的三种技巧:1求椭圆离心率e时，只要求出a，b，c的一个齐次方程，再结合b2a2c2就可求得e(0e0)，则此椭圆的离心率为()A. B. C. D.解析：由1c2a2b2.e2，e.
4、答案：B4已知圆M：x2y22mx30(m0)的半径为2，椭圆C：1的左焦点为F(c，0)，若垂直于x轴且经过F点的直线l与圆M相切，则a的值为()A. B1 C2 D4解析：圆M的方程可化为(xm)2y23m2，则由题意得m234，即m21(m5)，它的两个焦点分别为F1，F2，且|F1F2|8，弦AB(椭圆上任意两点的线段)过点F1，则ABF2的周长为_解析：a5，椭圆的焦点在x轴上，|F1F2|8，c4，a225c241，则a.由椭圆定义，|AF1|AF2|BF2|BF1|2a，ABF2的周长为4a4.答案：47已知椭圆C：1(ab0)的两焦点F1(4，0)，F2(4，0)，点P在椭圆C
5、上若0，PF1F2的面积为9，则b_解析：设|PF1|m，|PF2|n，由0知PF1PF2，m2n2|F1F2|264.又SPF1F2mn9，则mn18.由，得(mn)2100，2amn10，所以a5.又c4，得b3.答案：38过椭圆C：1(ab0)的左顶点A且斜率为k的直线交椭圆C于另一个点B，且点B在x轴上的射影恰好为右焦点F2，若k，则椭圆的离心率的取值范围是_解析：如图所示，|AF2|ac，|BF2|，ktanBAF21e.又k，1e.解得eb0)，点O为坐标原点，点A的坐标为(a，0)，点B的坐标为(0，b)，点M在线段AB上，满足|BM|2|MA|，直线OM的斜率为.(1)求E的离
6、心率e；(2)设点C的坐标为(0，b)，N为线段AC的中点，证明：MNAB.解：(1)由题设条件知，点M的坐标为，又kOM，从而.进而ab，c2b，故e.(2)证明：由N是AC的中点知，点N的坐标为，可得.又(a，b)，从而有a2b2(5b2a2)由(1)的计算结果可知a25b2，所以0，故MNAB.B级能力提升1设F1，F2分别是椭圆E：1的左、右焦点，过F1的直线l与E相交于A，B两点，且|AF2|，|AB|，|BF2|成等差数列，则|AB|()A. B3 C. D2解析：依题意得|AF1|AF2|BF1|BF2|(|AF1|BF1|)(|AF2|BF2|)|AB|(|AF2|BF2|)3
7、|AB|42，|AB|，故选C.答案：C3(2015陕西卷)如图，椭圆E：1(ab0)经过点A(0，1)，且离心率为.(1)求椭圆E的方程；(2)经过点(1，1)，且斜率为k的直线与椭圆E交于不同的两点P，Q(均异于点A)，证明：直线AP与AQ的斜率之和为2.(1)解：由题设知，b1，结合a2b2c2，解得a.所以椭圆的方程为y21.(2)证明：由题设知，直线PQ的方程为yk(x1)1(k2)，代入y21，得(12k2)x24k(k1)x2k(k2)0.由已知0，设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，x1x20，则x1x2，x1x2.从而直线AP，AQ的斜率之和kAPkAQ2k(2k)2k(2k)2k(2k)2k2(k1)2.
