1、2.1.2 椭圆的简单几何性质 课后篇巩固提升基础巩固1.若椭圆22+25=1(a5)的长轴长为 6,则它的焦距为()A.4B.3C.2D.1解析椭圆22+25=1(a5)的长轴长为 6,则 2a=6,即 a=3,由于 b2=5,则 c2=a2-b2=4,即 c=2,则它的焦距为 2c=4,故选 A.答案 A2.已知椭圆 C 的短轴长为 6,离心率为45,则椭圆 C 的焦点 F 到长轴的一个端点的距离为()A.9B.1C.1 或 9D.以上都不对解析因为椭圆 C 的短轴长为 6,所以 b=3,又因为离心率为 e=45,a2=b2+c2,所以 a=5,c=4,所以椭圆 C 的焦点 F 到长轴的一
2、个端点的距离为 a+c=9 或 a-c=1,故选 C.答案 C3.已知椭圆中心在原点,一个焦点为(-3,0),且长轴长是短轴长的 2 倍,则该椭圆的标准方程是()A.24+y2=1B.x2+24=1C.23+y2=1D.x2+23=1解析一个焦点为(-3,0),焦点在 x 轴上且 c=3.长轴长是短轴长的 2 倍,2a=22b,即 a=2b,(2b)2-b2=3.b2=1,a2=4,故所求椭圆的标准方程为24+y2=1.答案 A4.已知椭圆22+x2=1(a1)的离心率 e=255,P 为椭圆上的一个动点,若定点 B(-1,0),则|PB|的最大值为()A.32B.2C.52D.3解析由题意可
3、得2-12=(255)2,解得 a2=5,所以椭圆的标准方程为25+x2=1.设椭圆上点的坐标为 P(x,y),且-1x1,-5 y 5,则 y2=5(1-x2),故|PB|=(+1)2+2=(+1)2+5(1-2)=-42+2+6=-4(-14)2+254,当 x=14时满足条件,所以|PB|max=52.答案 C5.曲线225+29=1 与曲线 225-+29-=1(k9)的()A.长轴长相等B.短轴长相等C.离心率相等D.焦距相等解析由于 kb0)的左、右焦点,P 为直线 x=32 上一点,F2PF1是底角为 30的等腰三角形,则 E 的离心率为()A.12B.23C.34D.45解析由
4、题意得|PF2|=|F1F2|,所以 2(32-)=2c,所以 3a=4c,所以 e=34.答案 C7.以椭圆上一点和两个焦点为顶点的三角形的面积的最大值为 2,则椭圆长轴长的最小值为 .解析由题意知,当椭圆上点在短轴端点时,三角形的面积取最大值,即有 bc=2,a2=b2+c22bc=4(其中 b0,c0),a2,当且仅当 b=c=2时取“=”.2a4,即椭圆长轴长的最小值为 4.答案 48.椭圆的一个焦点将长轴长分成 32 两部分,则这个椭圆的离心率为 .解析依题意有(a+c)(a-c)=32,所以 a=5c,故离心率为 e=15.答案159.(1)已知椭圆 C:22+22=1(ab0)的
5、离心率为63,右焦点为(2,0),求椭圆 C 的方程;(2)已知椭圆 C:22+22=1(ab0)经过 1,32,一个焦点为(3,0),求椭圆 C 的方程.解(1)由右焦点为(2,0),则 c=2,又 e=63,所以 a=3,b2=a2-c2=1,椭圆 C 的方程为23+y2=1.(2)由题意得12+342=1,2-2=3,解得 a=2,b=1,所以椭圆 C 的方程是24+y2=1.10.已知椭圆24+23=1,试问在椭圆上是否存在点 M,使得点 M 到椭圆的右焦点 F 与到直线 x=4 的距离相等?解由已知得 c2=4-3=1,所以 c=1,故 F(1,0).假设在椭圆上存在点 M,使得点
6、M 到椭圆的右焦点 F 与到直线 x=4 的距离相等.设 M(x,y)(-2x2),则(-1)2+2=|x-4|,两边平方得 y2=-6x+15.又由24+23=1,得 y2=3(1-24),代入 y2=-6x+15,得 x2-8x+16=0,于是 x=4.但由于-2x2,所以符合条件的点 M 不存在.能力提升1.若点 A(1,m)在椭圆 C:24+22=1 的内部,则实数 m 的取值范围是()A.(-6,6)B.-62,62C.-,-6262,+D.-32,32解析由题意知,124+22 0,k1,a0)表示椭圆,费马所依据的是椭圆的重要性质:若从椭圆上任意一点 P 向长轴 AB(异于 A,
7、B 两点)引垂线,垂足为 Q,则 2为常数.据此推断,此常数的值为()A.椭圆的离心率B.椭圆离心率的平方C.短轴长与长轴长的比D.短轴长与长轴长比的平方解析设椭圆方程为22+22=1(ab0),取 P 为椭圆的上顶点,则 Q 为原点.PQ=b,AQ=BQ=a,则 2=22.故选 D.答案 D4.已知以坐标原点为中心的椭圆,一个焦点的坐标为 F(2,0),给出下列四个条件:短半轴长为 2;长半轴长为 22;离心率为22;一个顶点坐标为(2,0).其中可求得椭圆方程为28+24=1 的条件有 (填序号).解析只需保证 a=22,b=2,c=2 即可,而椭圆的顶点坐标为(0,2),(22,0),故
8、可求得椭圆方程为28+24=1.答案5.若分别过椭圆22+22=1(ab0)的左、右焦点 F1,F2所作的两条互相垂直的直线 l1,l2的交点在椭圆上,则此椭圆的离心率的取值范围是 .解析设两直线的交点为 M,令|MF1|=d1,|MF2|=d2.由椭圆的定义,可得 d1+d2=2a.MF1MF2,12+22=4c2.(d1+d2)2=12+22+2d1d22(12+22),当且仅当 d1=d2=a 时等号成立,即 4a22(4c2),a 2c,22,即 e22.又 e1,22 eb0)的两个焦点,P 为椭圆上一点,且1 2=c2,求椭圆离心率的取值范围.解设 P(x0,y0),则1=(-c-x0,-y0),2=(c-x0,-y0),所以1 2=(-c-x0)(c-x0)+(-y0)2=02-c2+02.因为 P(x0,y0)在椭圆上,所以022+022=1.所以02=b2(1-022),所以1 2=02-c2+b2(1-022)=c2,解得02=(32-2)22.因为 x0-a,a,所以02 0,a2,即 0(32-2)22a2,所以 2c2a23c2.即13 22 12,所以33 22,即椭圆离心率的取值范围是33,22.
