1、第三课时参数方程和普通方程的互化考纲定位重难突破1.掌握参数方程化为普通方程的方法.2.理解参数方程与普通方程互相转化的原理及其应用.重点：把参数方程化为普通方程. 难点：掌握消参的方法及把普通方程化为参数方程.授课提示：对应学生用书第23页自主梳理1曲线的普通方程和参数方程一般地，设曲线上的动点为M(x，y)，则动点的坐标满足的方程f(x，y)0称为曲线的普通方程，方程(t为参数)，称为曲线的参数方程2参数方程和普通方程的互化(1)曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式一般地，可以通过消去参数而从参数方程得到普通方程(2)如果知道变数x，y中的一个与参数t的关系，例如xf(t)，把它代
2、入普通方程，求出另一个变数与参数的关系yg(t)，那么就是曲线的参数方程在参数方程与普通方程的互化中，必须使x，y的取值范围保持一致双基自测1将参数方程(为参数)化为普通方程为()Ayx2Byx2Cyx2(2x3)Dyx2(0y1)解析：把sin2y代入x2sin2中得，x2y，即yx2，其中2x3，所以应选C.答案：C2曲线的参数方程为(t为参数)，则曲线是()A线段B双曲线的一支C圆 D射线解析：将t2y1代入x3t22中，得x3(1y)2，即x3y50.yt211，曲线是一条射线答案：D3下列参数方程(t为参数)与普通方程x2y0表示同一曲线的是()A. B.C. D.解析：普通方程x2
3、y0中的xR，y0，A中x|t|0，B中xcos t1,1，故排除A和B，C中y，即x2y1，故排除C.选D.答案：D4将参数方程(为参数)化为普通方程为_解析：由两式平方相加，得(x1)2y24.答案：(x1)2y24授课提示：对应学生用书第23页探究一普通方程化为参数方程例1根据所给条件，把曲线的普通方程化为参数方程(1)1，xcos 1(为参数)；(2)x2yx10，xt1(t为参数)解析(1)将xcos 1代入1，得y2sin .所以(为参数)，这就是所求的参数方程(2)将xt1代入x2yx10，得yx2x1(t1)2t11t23t1.所以(t为参数)，这就是所求的参数方程求曲线的参数
4、方程的方法(1)如果已知曲线的普通方程，根据所选参数可利用代入法确定其参数方程(2)求动点的轨迹的参数方程时，应先根据题意选择适当的参数，利用已知条件求参数方程1把下面曲线的普通方程化为参数方程，设xacos2，为参数解析：把xacos2代入普通方程，得|cos |，所以(1|cos |)，所以ya(1|cos |)2，所以普通方程化为参数方程为(为参数)探究二把参数方程化为普通方程例2将下列参数方程化为普通方程，并说明方程表示的曲线(1)(t为参数)；(2)(t为参数，0t)；(3)(为参数)解析(1)由已知得t，代入y4t中，得4x3y40，它就是所求的普通方程，它表示的是一条直线(2)0
5、t，3x5，2y2，(x1)2(y2)216cos2t16sin2t16，(x1)2(y2)216(3x5，2y2)它表示的曲线是以(1，2)为圆心，半径为4的上半圆(3)由y1cos 2可得y2sin2，将sin2x2代入y2sin2可得y2(x2)，即2xy40.又2x2sin23，2y1cos 20，所求的普通方程是2xy40(2x3)，它表示一条线段参数方程化为普通方程需注意的事项(1)参数方程化为普通方程后，x，y的取值范围要保持绝对一致，否则就不等价，如本例(2)中3x5与y2在普通方程中已经隐含着，可以不作标注，但是普通方程中没有隐含2y，因此这一条标注是必不可少的(2)参数方程
6、与普通方程是否等价，还可以研究图形而得出本例(2)中的参数方程表示的图形是直线y2上方的半圆，因此求出的普通方程(x1)2(y2)216，必须要标注y2. 2将下列参数方程化为普通方程，并说明它们表示什么曲线(1)(t为参数)；(2)(为参数，0)解析：(1)由yt1，得ty1，将它代入方程x4t2，得x4(y1)2，即普通方程为(y1)2x.方程表示的曲线是顶点为(0,1)，对称轴平行于x轴，开口向左的抛物线(2)将两式平方相加，得x2y24.0，2x2,0y2.普通方程为x2y24(0y2)，曲线表示圆心为O(0,0)，半径为2的上半圆参数方程化普通方程的应用典例(本题满分12分)已知曲线
7、C1：(t为参数)，C2：(为参数)(1)化C1，C2的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；(2)若C1上的点P对应的参数t，Q为C2上的动点，求PQ中点M到直线C3：(t为参数)距离的最小值及此时Q点坐标解析(1)由C1：(t为参数)，则由sin2tcos2t1得(x4)2(y3)21，即为曲线C1的普通方程C1表示的是圆心为(4,3)，半径为1的圆.2分由C2：(为参数)，则由cos2sin21得1，即为曲线C2的普通方程C2表示的是中心在坐标原点，焦点在x轴上，长半轴长为8，短半轴长为3的椭圆.5分(2)当t时，P(4,4)，Q(8cos ，3sin )，故M，6分C3为直线x2
8、y70.7分则点M到直线C3的距离d|4cos 3sin 13|5cos()13|，9分从而当cos ，sin 时，d取得最小值.11分此时，Q点的坐标为.12分规律探究(1)强化规范答题意识，在利用参数方程与普通方程互化的过程中，若化参数方程为普通方程，则既要掌握几种常见的消参方法，又要注明未知数的取值范围；若化普通方程为参数方程，则既要根据选取参数的条件，把变量x，y表示为关于参数的函数，又要注明参数及其取值范围，做到规范答题(2)强化方程之间的互化意识，在解题过程中，当一种方程形式不利于解题时就应设法转化为另一种形式，这是解决此类问题的基本思想随堂训练对应学生用书第24页1与普通方程x2
9、y10等价的参数方程为(t为参数)()A.B.C. D.解析：所谓与方程x2y10等价，是指若把参数方程化为普通方程，形式一致，且x，y的变化范围对应相同，按照这一标准逐一验证方程x2y10，xR，y(，1，显然与之等价的参数方程是B.答案：B2方程(t为参数)表示的曲线是()A双曲线 B双曲线的上支C双曲线的下支 D圆解析：把方程化为我们熟悉的普通方程，再去判断它表示的曲线类型注意到2t与2t互为倒数，故将参数方程的两个等式两边分别平方，再相减，即可消去含t的项：x2y2(2t2t)2(2t2t)24，即y2x24.又注意到2t0,2t2t22，即y2.可见与参数方程等价的普通方程为y2x24(y2)，显然它表示焦点在y轴上，以原点为中心的双曲线的上支，选B.答案：B3与参数方程(t为参数)等价的普通方程为()Ax21Bx21(0x1)Cx21(0y2)Dx21(0x1,0y2)解析：因为将代入化简得，x21，由t0,01t1，得0x1,0y2.答案：D4已知F是曲线(R)的焦点，A(1,0)，则|AF|的值等于_解析：曲线的参数方程即曲线的普通方程为x24y.焦点F(0,1)，由于A(1,0)，则|AF|.答案：
