1、温馨提示： 此套题为Word版，请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，答案解析附后。关闭Word文档返回原板块。课时提升作业 三十数列的概念与简单表示法(25分钟45分)一、选择题(每小题5分,共30分)1.下列说法正确的是()A.数列1,3,5,7可表示为1,3,5,7B.数列1,0,-1,-2与数列-2,-1,0,1是相同的数列C.数列的第k项为1+D.数列0,2,4,6,可记为2n【解析】选C.根据数列的定义与集合定义的不同可知A,B不正确,D项2n中首项为2,故不正确,C中an=,所以ak=1+.【加固训练】已知数列的通项公式为an=n2-8n+15,则3()A.不是数列a
2、n中的项B.只是数列an中的第2项C.只是数列an中的第6项D.是数列an中的第2项或第6项【解析】选D.令an=3,即n2-8n+15=3,解得n=2或6,故3是数列an中的第2项或第6项.2.(2016济宁模拟)数列0,的一个通项公式为()A.an=(nN*)B.an=(nN*)C.an=(nN*)D.an=(nN*)【解析】选C.将0写成,观察数列中每一项的分子、分母可知,分子为偶数列,可表示为2(n-1),nN*;分母为奇数列,可表示为2n-1,nN*.3.(2016洛阳模拟)已知数列an的前n项和为Sn,且Sn=2(an-1),则a2等于()A.4B.2C.1D.-2【解析】选A.由
3、题可知Sn=2(an-1),所以S1=a1=2(a1-1),解得a1=2.又S2=a1+a2=2(a2-1),解得a2=a1+2=4.4.数列an中,a1=1,对所有的nN*,都有a1a2a3an=n2,则a3+a5=()A.B.C.D.【解析】选D.因为a1a2a3an=n2,所以a1a2a3an-1=(n-1)2(n2),所以an=(n2),所以a3=,a5=,所以a3+a5=+=+=.5.(2016威海模拟)在数列an中,a1=1,anan-1=an-1+(-1)n(n2,nN*),则的值是()A.B.C.D.【解析】选C.由已知得a2=1+(-1)2=2.所以a3a2=a2+(-1)3
4、,所以a3=.所以a4=+(-1)4,所以a4=3.所以3a5=3+(-1)5,所以a5=.所以=.【加固训练】已知数列an的通项公式是an=,那么这个数列是()A.递增数列B.递减数列C.摆动数列D.常数列【解析】选A.因为an+1-an=-=0,所以an+1an,数列an为递增数列.6.已知数列an中,an=n2-kn(nN*),且an单调递增,则k的取值范围是()A.(-,2B.(-,3)C.(-,2)D.(-,3【解析】选B.因为an=n2-kn(nN*),且an单调递增,所以an+1-an0对nN*都成立,又an+1-an=(n+1)2-k(n+1)-n2+kn=2n+1-k,所以由
5、2n+1-k0,即k2n+1恒成立可知k(2n+1)min=3.【误区警示】本题在求解过程中常犯“an是关于n的二次函数,若an单调递增,则必有1,k2”的错误.出错的原因是忽视了数列作为函数的特殊性即自变量是正整数.【加固训练】1.(2016长春模拟)设数列的前n项和为Sn,且a1=1,为常数列,则an=()A.B.C.D.【解题提示】将Sn转化为an与an-1,再求解.【解析】选B.由题意知,Sn+nan=2,当n2时,Sn-1+(n-1)an-1=2,两式相减得(n+1)an=(n-1)an-1,即=,从而=,有an=,当n=1时上式成立,所以an=.2.(2016大连模拟)已知a1=1
6、,an=n(an+1-an)(nN*),则数列an的通项公式是()A.an=2n-1B.an=C.an=n2D.an=n【解析】选D.方法一:由已知整理得(n+1)an=nan+1,所以=.所以数列是常数列,且=1.所以an=n.方法二(累乘法):n2时,=,=,=,=,以上各式两边分别相乘,得=n.又因为a1=1,所以an=n.二、填空题(每小题5分,共15分)7.(2016德州模拟)已知数列an的首项a1=1,且an=2an-1+1(n2),则a5=.【解析】a5=2a4+1=2(2a3+1)+1=4a3+3=4(2a2+1)+3=8a2+7=8(2a1+1)+7=16a1+15=31.答
7、案:318.如图是用同样规格的黑、白两色正方形瓷砖铺设的若干图案,则按此规律第(n)个图案中需用黑色瓷砖块.(用含n的代数式表示)【解析】第(1),(2),(3)个图案黑色瓷砖数依次为:15-3=12;24-8=16;35-15=20;由此可猜测第(n)个图案黑色瓷砖数为:12+(n-1)4=4n+8.答案:4n+89.在数列an中,a1=1,a2=5,an+2=an+1-an(nN*),则a2016等于.【解析】由a1=1,a2=5,an+2=an+1-an(nN*)可得该数列为1,5,4,-1, -5,-4,1,5,4,.由此可得a2016=a3366=a6=-4.答案:-4【一题多解】本
8、题还可以采用如下解法:an+2=an+1-an,an+3=an+2-an+1,两式相加可得an+3=-an,an+6=an.所以a2016=a3366=a6=-4.答案:-4【加固训练】已知数列an中,a1=b(b为任意正数),an+1=-(n=1,2,3,),能使an=b的n的数值是()A.14B.15C.16D.17【解析】选C.a1=b,a2=-,a3=-,a4=b,所以此数列的周期为3,故选C.(20分钟40分)1.(5分)(2016淄博模拟)已知数列an中,a1=,an+1=则a2016等于()A.B.C.D.【解析】选C.因为an+1=又a1=,所以a2=2-1=,a3=2-1=,
9、a4=2=,a5=2=,所以数列an以4为周期,因为=504,所以a2016=a4=.2.(5分)(2016天津模拟)已知数列an的前n项和为Sn,首项a1=-,且满足Sn+2=an(n2),则S2016等于()A.-B.-C.-D.- 【解析】选D.因Sn+2=an=Sn-Sn-1(n2)Sn-1+=-2(n2),由已知可得, S1+=-2S2=-,S2+=-2S3 =-,S3+=-2S4=-,可归纳出S2016=-.3.(5分)(2016长安模拟)设数列an满足:a1=1,a2=4,a3=9,an=an-1+an-2-an-3(n=4,5,),则a2017=.【解析】由于a1=1,a2=4
10、,a3=9,则a4=a3+a2-a1=12,a5=a4+a3-a2=17, a6=a5+a4-a3=20,a7=a6+a5-a4=25,归纳可知an=an-2+8,即数列an的奇数项、偶数项均是以公差为8的等差数列,则a2017=a1+1008d=8065.答案:80654.(12分)已知数列an的通项an=(n+1)(nN*).试问该数列an有没有最大项?若有,求出最大项和最大项的项数;若没有,说明理由.【解析】因为an+1-an=(n+2)-(n+1)=,所以当n0,即an+1an;当n=9时,an+1-an=0,即an+1=an;当n9时,an+1-an0,即an+1an;故a1a2a3
11、a11a12.所以数列an有最大项a9或a10,其值为10,其项数为9或10.【加固训练】若数列中的最大项是第k项,求k的值.【解析】方法一:由题意知,解得k1+.因为kN*,所以k=4.方法二:设an=n(n+4),则an+1-an=(n+1)(n+5)-n(n+4)=.当n3时,an+1-an0,即an+1an,当n4时,an+1-an0,即an+1an,故a1a2a3a5a6所以数列中最大项是第4项,即k=4.【方法技巧】数列an的最大(小)项的求法:(1)函数法:借助数列的单调性或图象来解决.(2)利用转折项法:利用不等式组找到数列的最大项;利用不等式组找到数列的最小项.5.(13分)(2016枣庄模拟)已知数列an中,a1=1,前n项和Sn=an.(1)求a2,a3.(2)求数列an的通项公式.【解析】(1)由S2=a2得3(a1+a2)=4a2,解得a2=3a1=3;由S3=a3得3(a1+a2+a3)=5a3,解得a3=(a1+a2)=6.(2)由题设知a1=1.当n1时,有an=Sn-Sn-1=an-an-1,整理得=.于是a1=1,=,=,=,=,将以上n个等式两端分别相乘,整理得an=.综上可知,数列an的通项公式an=.关闭Word文档返回原板块
