1、2.2.2等差数列的性质一、学习目标在理解等差数列定义、如何判定等差数列及学习等差数列通项公式的基础上,掌握等差中项的定义及应用,明确等差数列的性质,并运用其进行一些等差数列的相关计算.合作学习二、设计问题,创设情境在上一节我们已经学习了等差数列,掌握了等差数列的定义、通项公式与公差,作为一类特殊的数列,是否具有某些特殊的性质?又如何去证明或判定一个数列是等差数列呢?三、信息交流,揭示规律1.对于三个数成等差数列,我们定义等差中项在如下的两个数之间,插入一个什么数后这三个数就会成为一个等差数列.(1)2,(),4; (2)-12,(),0; (3)a,(),b.2.等差中项定义由三个数a,A,
2、b组成的等差数列可以看成最简单的等差数列.这时A叫做a与b的等差中项.符号表示:2A=a+bA=.【思考】(1)在等差数列an中,是否有2an+1=an+an+2成立?等差数列又可以怎么叙述?从第2项起,每一项是它的前一项和后一项的等差中项.(2)等差中项可应用于判断一个数列是否为等差数列.3.等差数列的性质问题1:列举几个数列,观察数列的特点,研究公差与数列单调性的关系.性质1:若数列an是等差数列,公差为d.若d0,则an是递增数列;若d1), 求差得an-an-1=(pn+q)-p(n-1)+q=pn+q-(pn-p+q)=p,它是一个与n无关的常数,所以an是等差数列.5.解:a1+a
3、7=2a4,a1+a4+a7=3a4=15,由此得到a4=5.又a2a4a6=45,a2a6=9,即(a4-2d)(a4+2d)=9,(5-2d)(5+2d)=9.得d=2.当d=2时,an=a4+(n-4)d=2n-3; 当d=-2时,an=a4+(n-4)d=13-2n.五、变式训练,深化提高6.解:设这三个数分别为x-d,x,x+d. 则解得；相应地,所求三个数为3,5,7或7,5,3.7.证明:a,b,c成等差数列,2b=a+c. (b+c)+(a+b)=a+2b+c=a+(a+c)+c=2(a+c),b+c,c+a,a+b成等差数列.说明:如果a,b,c成等差数列,常化成2b=a+c的形式去运用;反之,如果求证a,b,c成等差数列,常改证2b=a+c成立.
