1、15.1曲边梯形的面积15.2汽车行驶的路程明目标、知重点1了解“以直代曲”、“以不变代变”的思想方法 2会求曲边梯形的面积和汽车行驶的路程1曲边梯形的面积(1)曲边梯形：由直线xa，xb(ab)，y0和曲线yf(x)所围成的图形称为曲边梯形(如图所示)(2)求曲边梯形面积的方法把区间a，b分成许多小区间，进而把曲边梯形拆分为一些小曲边梯形，对每个小曲边梯形“以直代曲”，即用矩形的面积近似代替小曲边梯形的面积，得到每个小曲边梯形面积的近似值，对这些近似值求和，就得到曲边梯形面积的近似值(如图所示)(3)求曲边梯形面积的步骤：分割，近似代替，求和，取极限2求变速直线运动的(位移)路程如果物体做变
2、速直线运动，速度函数为vv(t)，那么也可以采用分割、近似代替、求和、取极限的方法，求出它在atb内所作的位移s.情境导学任何一个平面图形都有面积，其中矩形、正方形、三角形、平行四边形、梯形等平面多边形的面积，可以利用相关公式进行计算如图所示的平面图形，是由直线xa，xb(ab)，y0和曲线yf(x)所围成的，称之为曲边梯形，如何计算这个曲边梯形的面积呢？探究点一求曲边梯形的面积思考1如何计算下列两图形的面积？答直接利用梯形面积公式求解转化为三角形和梯形求解问题如图，如何求由抛物线yx2与直线x1，y0所围成的平面图形的面积S?思考2图中的图形与我们熟悉的“直边图形”有什么区别？答已知图形是由
3、直线x1，y0和曲线yx2所围成的，可称为曲边梯形，曲边梯形的一条边为曲线段，而“直边图形”的所有边都是直线段思考3能否将求曲边梯形的面积问题转化为求“直边图形”的面积问题？(归纳主要步骤)答(如图)可以通过把区间0,1分成许多小区间，将曲边梯形拆分为一些小曲边梯形，对每个小曲边梯形“以直代曲”，即用矩形的面积近似代替小曲边梯形的面积，得到每个小曲边梯形面积的近似值，对这些近似值进行求和，就得到曲边梯形面积的近似值，随着拆分越来越细，近似程度会越来越好SnSi()2x()2(i1,2，n)0()2()21222(n1)2(1)(1)SSn (1)(1).求曲边梯形的面积可以通过分割、近似代替、
4、求和、取极限四个步骤完成思考4在“近似代替”中，如果认为函数f(x)x2在区间，(i1,2，n)上的值近似地等于右端点处的函数值f()，用这种方法能求出S的值吗？若能求出，这个值也是吗？取任意i，处的函数值f(i)作为近似值，情况又怎样？其原理是什么？答以上方法都能求出S.我们解决此类问题的原理是“近似代替”和“以直代曲”，在极限状态下，小曲边梯形可以看做小矩形例1求由直线x0，x1，y0和曲线yx2所围成的图形的面积解(1)分割将区间0,1等分为n个小区间：0，1，每个小区间的长度为x.过各分点作x轴的垂线，把曲边梯形分成n个小曲边梯形，它们的面积分别记作S1，S2，Sn.(2)近似代替在区
5、间，(i1,2，n)上，以的函数值2作为高，小区间的长度x作为底边的小矩形的面积作为第i个小曲边梯形的面积，即Si()2.(3)求和曲边梯形的面积近似值为SSi()20()2()2()21222(n1)2(1)(1)(4)取极限曲边梯形的面积为S (1)(1).反思与感悟求曲边梯形的思想及步骤：(1)思想：以直代曲、逼近；(2)步骤：分割近似代替求和取极限；(3)关键：近似代替；(4)结果：分割越细，面积越精确跟踪训练1求由抛物线yx2与直线y4所围成的曲边梯形的面积解yx2为偶函数，图象关于y轴对称，所求曲边梯形的面积应为抛物线yx2(x0)与直线x0，y4所围图形面积S阴影的2倍，下面求S
6、阴影由，得交点为(2,4)，如图所示，先求由直线x0，x2，y0和曲线yx2围成的曲边梯形的面积(1)分割将区间0,2 n等分，则x， 取i.(2)近似代替求和Sn2122232(n1)2(1)(1)(3)取极限SSn (1)(1).所求平面图形的面积为S阴影24.2S阴影，即抛物线yx2与直线y4所围成的图形面积为.探究点二求变速运动的路程思考利用导数我们解决了“已知物体运动路程与时间的关系，求物体运动速度”的问题反之，如果已知物体的速度与时间的关系，如何求其在一定时间内经过的路程呢？答物体以速度v做匀速直线运动时，经过时间t所行驶的路程为svt.如果物体做变速直线运动，与求曲边梯形面积类似
7、，我们采取“以不变代变”的方法，把时间t分割成许多“小段”，在每一“小段”时间内物体的运动可以看做匀速直线运动，于是把求变速直线运动的路程问题，化归为求匀速直线运动的路程问题例2汽车以速度v做匀速直线运动时，经过时间t所行驶的路程svt.如果汽车做变速直线运动，在时刻t的速度为v(t)t22(单位：km/h)，那么它在0t1这段时间行驶的路程是多少？解分割将时间区间0,1分成n个小区间，0，1，则第i个小区间为，(i1,2，n)(2)近似代替第i个小矩形的高为v()，siv()()22.(3)求和sn()22021222(n1)222(1)(1)2.(4)取极限ssn(1)(1)2.这段时间行
8、驶的路程为 km.反思与感悟(1)把变速直线运动的路程问题化归为匀速直线运动的路程问题，通过分割、近似代替、求和、取极限四步解决(2)从函数的角度来看，求变速运动的路程，就是求速度函数v(t)t22在t0，t1，v(t)0形成的曲边梯形的面积，这就是数学方法在物理应用中的体现跟踪训练2有一辆汽车在笔直的公路上变速行驶，在时刻t的速度为v(t)3t22(单位：km/h)，那么该汽车在0t2(单位：h)这段时间内行驶的路程s(单位：km)是多少？解(1)分割在时间区间0,2上等间隔地插入n1个分点，将它分成n个小区间，记第i个小区间为，(i1,2，n)，其长度为t.每个时间段上行驶的路程记为si(
9、i1,2，n)，则显然有ssi.(2)近似代替取i(i1,2，n)，用小矩形的面积si近似地代替si，于是sisiv()t3()22(i1,2，n)(3)求和snsi()(1222n2)448(1)(1)4.从而得到s的近似值svn.(4)取极限ssn8(1)(1)48412.所以这段时间内行驶的路程为12 km.1把区间1,3 n等分，所得n个小区间的长度均为()A. B. C. D.答案B解析区间1,3的长度为2，故n等分后，每个小区间的长度均为.2函数f(x)x2在区间上()Af(x)的值变化很小Bf(x)的值变化很大Cf(x)的值不变化D当n很大时，f(x)的值变化很小答案D解析当n很
10、大，即x很小时，在区间，上，可以认为f(x)x2的值变化很小，近似地等于一个常数3在“近似代替”中，函数f(x)在区间xi，xi1上的近似值等于()A只能是左端点的函数值f(xi)B只能是右端点的函数值f(xi1)C可以是该区间内任一点的函数值f(i)(ixi，xi1)D以上答案均正确答案C4求由曲线yx2与直线x1，x2，y0所围成的平面图形面积时，把区间5等分，则面积的近似值(取每个小区间的左端点)是_答案1.02解析将区间5等分所得的小区间为1，2，于是所求平面图形的面积近似等于(1)1.02.呈重点、现规律求曲边梯形面积和汽车行驶的路程的步骤：(1)分割：n等分区间a，b；(2)近似代
11、替：取点ixi1，xi；(3)求和：(i)；(4)取极限：s(i).“近似代替”也可以用较大的矩形来代替曲边梯形，为了计算方便，可以取区间上的一些特殊点，如区间的端点(或中点).一、基础过关1当n很大时，函数f(x)x2在区间，上的值，可以近似代替为()Af() Bf()Cf() Df(0)答案C2在等分区间的情况下f(x)(x0,2)及x轴所围成的曲边梯形面积和式的极限形式正确的是()A.B.C. ()D.n答案B解析x.和式为应选B.3把区间a，b (ab)n等分之后，第i个小区间是()A，B(ba)，(ba)Ca，aDa(ba)，a(ba)答案D解析区间a，b(ab)长度为(ba)，n等
12、分之后，每个小区间长度均为，第i个小区间是a(ba)，a(ba)(i1,2，n)4一物体沿直线运动，其速度v(t)t，这个物体在t0到t1这段时间内所走的路程为()A. B.C1 D.答案B解析曲线v(t)t与直线t0，t1，横轴围成的三角形面积S即为这段时间内物体所走的路程5由直线x1，y0，x0和曲线yx3所围成的曲边梯形，将区间4等分，则曲边梯形面积的的近似值(取每个区间的右端点)是()A. B.C. D.答案D解析将区间0,1四等分，得到4个小区间：0，1，以每个小区间右端点的函数值为高，4个小矩形的面积和为曲边梯形面积的近似值S()3()3()313.6若做变速直线运动的物体v(t)
13、t2，在0ta内经过的路程为9，则a的值为()A1 B2 C3 D4答案C解析将区间0，an等分，记第i个区间为，(i1,2，n)，此区间长为，用小矩形面积()2近似代替相应的小曲边梯形的面积，则 ()2(1222n2)(1)(1)近似地等于速度曲线v(t)t2与直线t0，ta，t轴围成的曲边梯形的面积依题意得(1)(1)9，9，解得a3.7求直线x0，x2，y0与曲线yx2所围成的曲边梯形的面积解令f(x)x2.(1)分割将区间0,2 n等分，分点依次为x00，x1，x2，xn1，xn2.第i个区间为，(i1,2，n)，每个区间长度为x.(2)近似代替、求和取i(i1,2，n)，Snf()x
14、 ()2i2(1222n2)(2)(3)取极限SliSnli (2)，即所求曲边梯形的面积为.二、能力提升8. _.答案解析 (12n).9在求由抛物线yx26与直线x1，x2，y0所围成的平面图形的面积时，把区间1,2等分成n个小区间，则第i个区间为_答案，10已知某物体运动的速度为vt，t0,10，若把区间10等分，取每个小区间右端点处的函数值为近似小矩形的高，则物体运动的路程近似值为_答案55解析把区间0,1010等分后，每个小区间右端点处的函数值为n(n1,2，10)，每个小区间的长度为1.物体运动的路程近似值s1(1210)55.11已知自由落体的运动速度vgt，求在时间区间0，t内
15、物体下落的距离解(1)分割：将时间区间0，t分成n等份把时间0，t分成n个小区间，则第i个小区间为t，(i1,2，n)，每个小区间所表示的时间段tt，在各个小区间物体下落的距离记作si(i1,2，n)(2)近似代替：在每个小区间上以匀速运动的路程近似代替变速运动的路程在t，上任取一时刻i(i1,2，n)，可取i使v(i)gt近似代替第i个小区间上的速度，因此在每个小区间上自由落体t内所经过的距离可近似表示为sigt(i1,2，n)(3)求和：snsigt012(n1)gt2(1)(4)取极限：s gt2(1)gt2.即在时间区间0，t内物体下落的距离为gt2.三、探究与拓展12某物体做变速运动，设该物体在时间t的速度为v(t)，求物体在t1到t2这段时间内运动的路程s.解(1)分割：将区间1,2等分割成n个小区间1，1(i1,2，n)，区间长度为t，每个时间段内行驶的路程记为si(i1,2，n)，则snsi.(2)近似代替：i1(i1,2，n)，siv(1)t6()2(i1,2，n)(3)求和：sn6n()6n()3.(4)取极限：ssn3.
