1、1.2应用举例(一)学习目标1.利用正弦、余弦定理解决生产实践中的有关距离的测量问题(重点)；2.培养提出问题、正确分析问题、独立解决问题的能力(难点).预习教材P1112完成下列问题：知识点一基线的概念与选择原则1.基线的定义在测量上，我们根据测量需要适当确定的线段叫做基线.2.选择基线的原则在测量过程中，要根据实际需要选取合适的基线长度，使测量具有较高的精确度.一般来说，基线越长，测量的精确度越高.【预习评价】1.在距离的测量问题中，如果构造的三角形知道三个内角能解出三角形的边长吗？提示不能.要解一个三角形，至少要知道这个三角形的一条边的长.2.两个不能到达的点之间能否求出两点之间的距离？
2、提示能.利用测角仪和皮尺测量相关的角、边，利用正、余弦定理求出两点间的距离.知识点二解三角形应用题解三角形应用题时，通常都要根据题意，从实际问题中抽象出一个或几个三角形，然后通过解三角形，得到实际问题的解，求解的关键是将实际问题转化为解三角形问题.(1)解题思路(2)基本步骤运用正弦定理、余弦定理解决实际问题的基本步骤如下：分析：理解题意，弄清已知与未知，画出示意图(一个或几个三角形)；建模：根据已知条件与求解目标，把已知量与待求量尽可能地集中在有关三角形中，建立一个解三角形的数学模型；求解：利用正弦定理、余弦定理解三角形，求得数学模型的解；检验：检验所求的解是否符合实际问题，从而得出实际问题
3、的解.【预习评价】1.如图，在河岸AC测量河的宽度BC，测量下列四组数据，较适宜的是()A.，c， B.b，c，C.c， D.b，解析a，c均隔河，故不易测量，测量b，更合适.答案D2.一艘船上午9：30在A处，测得灯塔S在它的北偏东30的方向，且与它相距8海里，之后它继续沿正北方向匀速航行，上午10：00到达B处，此时又测得灯塔S在它的北偏东75的方向，则此船的航速是_海里/小时.()A.8() B.8()C.16() D.16()解析由题意得在三角形SAB中，BAS30，SBA18075105，BSA45.由正弦定理得，即，得AB8()，因此此船的航速为16()(海里/小时).答案D题型一
4、测量从一个可到达点到一个不可到达点之间的距离【例题】海上A，B两个小岛相距10海里，从A岛望C岛和B岛成60的视角，从B岛望C岛和A岛成75的视角，则B，C间的距离是()A.10 海里 B. 海里C.5 海里 D.5 海里解析根据题意，可得下图.在ABC中，A60，B75，AB10，C45.由正弦定理可得，即，BC5(海里).答案D规律方法求距离问题时应注意的两点(1)选定或确定所求量所在的三角形.若其他量已知，则直接解；若有未知量，则把未知量放在另一确定三角形中求解.(2)确定用正弦定理还是余弦定理，如果都可用，就选择更便于计算的定理.【训练】如图所示，设A，B两点在河的两岸，一测量者与A在
5、河的同侧，在所在的河岸边先确定一点C，测出A，C的距离为50 m，ACB45，CAB105后，就可以计算出A，B两点的距离为()A.50 m B.50 mC.25 m D. m解析B1804510530，在ABC中，由，得AB10050.答案A【探究1】某基地进行实兵对抗演习，红方为了准确分析战场形势，从相距a km的军事基地C和D处测得蓝方两支精锐部队分别在A处和B处，且ADB30，BDC30，DCA60，ACB45，如图所示，求蓝方这两支精锐部队间的距离.解法一ADCADBBDC60.ACD60，DAC60，ADCDa km.在BCD中，DBC1803010545，由正弦定理，得BDCDa
6、a(km).在ADB中，由余弦定理得AB2AD2BD22ADBDcosADBa22aaa2，ABa km.故蓝方这两支精锐部队间的距离为a km.法二在BCD中，CBD1803010545，由正弦定理得，则BCa，在ACD中，CAD180606060，所以ACD为等边三角形.因为ADBBDC，所以BD为正ACD的中垂线，所以ABBCa km.【探究2】如图，A，B两点都在河的对岸(不可到达)，设计一种测量A，B两点间距离的方法.解测量者可以在河岸边选定两点C，D，测得CDa，并且在C，D两点分别测得BCA，ACD，CDB，BDA，在ADC和BDC中，应用正弦定理得AC，BC.计算出AC和BC后
7、，再在ABC中，应用余弦定理计算出A，B两点间的距离AB.【探究3】对于探究题2，给出另外一种测量方法.解测量者可以在河岸边选定点E，C，D，使A，E，C三点共线，测得ECa，EDb，并且分别测得BECAED，BCA，ADB，在AED和BEC中，应用正弦定理得AE，BE.在ABE中，应用余弦定理计算出A，B两点间的距离AB.规律方法测量不能到达的两点间的距离的方法及关键(1)方法：测量不能到达的两点间的距离，利用正、余弦定理解斜三角形是一个重要的方法.(2)关键：构造一个或几个三角形，测出有关边长和角，用正、余弦定理进行计算.课堂达标1.已知A，B两地相距10 km，B，C两地相距20 km，
8、且ABC120，则A，C两地相距()A.10 km B.10 kmC.10 km D.10 km解析AC2AB2BC22ABBC cos 120700，AC10 km.答案D2.某人向正东方向走x km后，他向右转150，然后朝新方向走3 km，结果他离出发点恰好 km，那么x的值为()A. B.2C.2或 D.3解析由题意画出三角形如图.则ABC30，由余弦定理cos 30，x2或.答案C3.两座灯塔A和B与海岸观察站C的距离相等，灯塔A在观察站北偏东40，灯塔B在观察站南偏东60，则灯塔A在灯塔B的()A.北偏东10 B.北偏西10C.南偏东10 D.南偏西10解析灯塔A，B的相对位置如图
9、所示，由已知得ACB80，CABCBA50，则605010，即北偏西10.答案B4.一艘船以每小时15 km的速度向东行驶，船在A处看到一灯塔B在北偏东60，行驶4 h后，船到达C处，看到这个灯塔在北偏东15，这时船与灯塔的距离为_km.解析如图所示，AC15460，BAC30，B45，在ABC中，BC30.答案305.如图所示，某观测站C在城A的南偏西20的方向，从城A出发有一条走向为南偏东40的公路，在C处观测到距离C处31 km的公路上的B处有一辆汽车正沿公路向A城驶去，行驶了20 km后到达D处，测得C，D两处的距离为21 km，这时此车距离A城多少千米？解在BCD中，BC31 km，
10、BD20 km，CD21 km，由余弦定理得cosBDC.cosADC，sinADC.在ACD中，由条件知CD21 km，BAC204060，sinACDsin(60ADC).由正弦定理得，AD15(km).故这时此车距离A城15 km.课堂小结1.解三角形应用题常见的两种情况(1)实际问题经抽象概括后，已知量与未知量全部集中在一个三角形中，可用正弦定理或余弦定理求解.(2)实际问题经抽象概括后，已知量与未知量涉及到两个(或两个以上)三角形，这时需作出这些三角形，先解够条件的三角形，然后逐步求出其他三角形中的解，有时需设出未知量，从几个三角形中列出方程(组)，解方程(组)得出所要求的解.2.测
11、量距离问题包括两种情况(1)测量一个可到达点到另一个不可到达点之间的距离.(2)测量两个不可到达点之间的距离.第一种情况实际上是已知三角形两个角和一边解三角形的问题，用正弦定理即可解决(如图1)；对于第二种情况，首先把求不可到达的两点A，B之间的距离转化为应用正弦定理求三角形边长的问题，然后把BC，AC转化为测量可到达的点与不可到达的点之间的距离问题(如图2).基础过关1.学校体育馆的人字形屋架为等腰三角形，如图所示，测得AC的长度为4米，A30，则其跨度AB的长为()A.12米 B.8米C.3米 D.4米解析ABC为等腰三角形，A30，B30，C120，由余弦定理得AB2AC2BC22ACB
12、Ccos C424224448，AB4米.答案D2.已知两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离都等于a km，灯塔A在观察站C的北偏东20，灯塔B在观察站C的南偏东40，则灯塔A与灯塔B的距离是()A.a km B.a kmC.a km D.2a km解析如图所示，在ABC中，ACB1802040120，ACBCa，由余弦定理，得AB2AC2BC22ACBCcos 120a2a22a23a2，ABa(km)，即灯塔A与灯塔B的距离为a km.答案C3.如图，在高速公路建设中需要确定隧道的长度，工程技术人员已测得隧道两端的两点A，B到点C的距离ACBC1 km，且ACB120，则A，B两点间的距离为
13、()A. km B. km C.1.5 km D.2 km解析根据余弦定理AB2AC2BC22ACBCcos C，AB(km).故选A.答案A4.要测量对岸两点A，B之间的距离，选取相距 km的C，D两点，并测得ACB75，BCD45，ADC30，ADB45，则A，B之间的距离为_km.解析如图所示，在ACD中，ACD120，CADADC30，ACCD (km).在BCD中，BCD45，BDC75，CBD60.BC(km).在ABC中，由余弦定理得AB2()22cos 75325，AB(km).A，B之间的距离为 km.答案5.上海世博园中的世博轴是一条1 000 m长的直线型通道，中国馆位于
14、世博轴的一侧.现测得中国馆到世博轴两端的距离相等，并且从中国馆看世博轴两端的视角为120.据此数据计算，中国馆到世博轴其中一端的距离是_m.解析如图所示，设A，B为世博轴的两端点，C为中国馆，由题意知ACB120，且ACBC，过C作AB的垂线交AB于D，在RtCBD中，DB500 m，DCB60，BC m.答案6.某海岛周围38海里有暗礁，一轮船由西向东航行，初测此岛在北偏东60方向，航行30海里后测得此岛在东北方向，若不改变航向，则此船有无触礁的危险？解由题意在三角形ABC中，AB30，BAC30，ABC135，所以ACB15，由正弦定理得BCsinBACsin 3015().过点C作CDA
15、B于点D，在RtBDC中，CDBC15(1)38.所以此船无触礁的危险.7.如图，一人在C地看到建筑物A在正北方向，另一建筑物B在北偏西45方向，此人向北偏西75方向前进 km到达D处，看到A在他的北偏东45方向，B在北偏东75方向，试求这两座建筑物之间的距离.解依题意得，CD(km)，ADBBCD30BDC，DBC120，ADC60，DAC45.在BDC中，由正弦定理得BC(km).在ADC中，由正弦定理得AC3(km).在ABC中，由余弦定理得AB2AC2BC22ACBCcosACB(3)2()223cos 4525.所以AB5(km)，即这两座建筑物之间的距离为5 km.能力提升8.一艘
16、海轮从A处出发，以每小时40海里的速度沿东偏南50方向直线航行，30分钟后到达B处.在C处有一座灯塔，海轮在A处观察灯塔，其方向是东偏南20，在B处观察灯塔，其方向是北偏东65，那么B，C两点间的距离是()A.10 海里 B.10 海里C.20 海里 D.20 海里解析如图，由已知可得，BAC30，ABC105，AB20，从而ACB45.在ABC中，由正弦定理，得BCsin 3010.故选A.答案A9.如图所示，为了测量某湖泊两侧A，B间的距离，李宁同学首先选定了与A，B不共线的一点C，然后给出了三种测量方案(ABC的角A，B，C所对的边分别记为a，b，c)：测量A，B，b；测量a，b，C；测
17、量A，B，a则一定能确定A，B间距离的所有方案的个数为()A.3 B.2 C.1 D.0解析对于，利用内角和定理先求出CAB，再利用正弦定理解出c；对于，直接利用余弦定理c2a2b22abcos C即可解出c；对于，先利用内角和定理求出CAB，再利用正弦定理解出c.故选A.答案A10.一艘海轮以20 n mile/h的速度向正东方向航行，它在A点测得灯塔P在船的北偏东60方向上，2 h后船到达B点时，测得灯塔P在船的北偏东45方向上，则B点到灯塔P的距离为_ n mile.解析由题可知，在ABP中，AB40，PAB30，ABP135，BPA15，由正弦定理得，BP20()(n mile)，答案
18、20()11.如图所示，一船自西向东匀速航行，上午10时到达一座灯塔P的南偏西75距塔68海里的M处，下午2时到达这座灯塔的东南方向的N处，则这只船航行的速度为_海里/时.解析由题可知PM68，MPN120，N45，由正弦定理得MN6834.速度v(海里/时).答案12.如图，某人在塔的正东方沿着南偏西60的方向前进40 m以后，望见塔在东北方向.若沿途测得塔的最大仰角为30，求塔的高度.解在BCD中，CD40 m，BCD906030，DBC4590135.由正弦定理，得，BD20(m).在RtABE中，tanAEB，AB为定值，故要使AEB最大，需要BE最小，即BECD，这时AEB30.在B
19、CD中，BDE1801353015，BEBDsinBDE20sin 1510(1)(m).在RtABE中，ABBEtanAEB10(1)tan 30(3)(m).故塔的高度为(3)(m).13.如图所示，港口B在港口O正东方向120海里处，小岛C在港口O北偏东60方向，且在港口B北偏西30方向上，一艘科学家考察船从港口O出发，沿北偏东30的OA方向以20海里/时的速度行驶，一艘快艇从港口B出发，以60海里/时的速度驶向小岛C，在C岛装运补给物资后给考察船送去，现两船同时出发，补给物资的装船时间为1小时，则快艇驶离港口B后，最少要经过多少小时才能和考察船相遇？解设快艇驶离港口B后，经过x小时，在OA上的点D处与考察船相遇.如图所示，连接CD，则快艇沿线段BC，CD航行.在OBC中，由题意易得BOC30，CBO60，所以BCO90.因为BO120，所以BC60，OC60.故快艇从港口B到小岛C需要1小时，所以x1.在OCD中，由题意易得COD30，OD20x，CD60(x2).由余弦定理，得CD2OD2OC22ODOCcosCOD，所以602(x2)2(20x)2(60)2220x60cos 30.解得x3或x，因为x1，所以x3.所以快艇驶离港口B后，至少要经过3小时才能和考察船相遇.
