1、疯狂专练20新定义类创新题一、选择题1若，则，就称是伙伴关系集合，集合的所有非空子集中具有伙伴关系的集合的个数是（ ）A1B3C7D312如图所示的Venn图中，是非空集合，定义集合为阴影部分表示的集合若，则为（ ）ABC或D或3对于复数，若集合具有性质“对任意，必有”，则当时，（ ）ABCD4定义一种新运算：，已知函数，若函数恰有两个零点，则实数的取值范围为（ ）ABCD5设函数在内有定义，对于给定的正数，定义函数，取函数，当时，函数的单调递增区间为（ ）ABCD6约定与是两个运算符号，其运算法则如下：对任意实数，有：，设，用列举法表示集合为（ ）ABCD7设为复数集的非空子集若对任意，都有
2、，则称为封闭集下列命题：集合为整数，为虚数单位为封闭集；若为封闭集，则一定有；封闭集一定是无限集；若为封闭集，则满足的任意集合也是封闭集上面命题中真命题共有哪些？（ ）ABCD8定义：对于一个定义域为的函，若存在两条距离为的直线和，使得时，恒有，则称在内有一个宽度为的通道下列函数：；其中有一个宽度为的通道的函数的序号为（ ）ABCD9由无理数引发的数学危机一直延续到世纪直到年，德国数学家戴德金从连续性的要求出发，用有理数的“分割”来定义无理数（史称戴德金分割），并把实数理论建立在严格的科学基础上，才结束了无理数被认为“无理”的时代，也结束了持续多年的数学史上的第一次大危机所谓戴德金分割，是指将
3、有理数集划分为两个非空的子集与且满足，中的每一个元素都小于中的每一个元素，则称为戴德金分割试判断，对于任一戴德金分割，下列选项中，不可能成立的是（ ）A没有最大元素，有一个最小元素B没有最大元素，也没有最小元素C有一个最大元素，有一个最小元素D有一个最大元素，没有最小元素10如果定义在上的函数满足：对于任意，都有，则称为“函数”给出下列函数：；，其中“函数”的个数是（ ）ABCD11设函数的定义域为，如果，存在唯一的，使（为常数）成立则称函数在上的“均值”为已知四个函数：；上述四个函数中，满足所在定义域上“均值”为的函数的序号是（ ）ABCD12定义：如果函数的导函数为，在区间上存在使得，则称
4、为区间上的“双中值函数”已知函数是上的“双中值函数”，则实数的取值范围是（ ）ABCD二、填空题13对于任意两个正整数，定义某种运算“”如下：当都为正偶数或正奇数时，；当中一个为正偶数，另一个为正奇数时，则在此定义下，集合中的元素个数为 14若数列满足，为非零数列，则称数列为“放飞”数列已知正项数列为“放飞”数列，且，则的最小值是 15如果对定义在上的函数，对任意两个不相等的实数，都有，则称函数为“函数”给出下列函数；以上函数是“函数”的所有序号为 16在平面直角坐标系中，当不是原点时，定义的“伴随点”为；当是原点时，定义的“伴随点”为它自身，平面曲线上所有点的“伴随点”所构成的曲线定义为曲线
5、的“伴随曲线”，现有下列命题：若点的“伴随点”是点，则点的“伴随点”是点；单位圆的“伴随曲线”是它自身；若曲线关于轴对称，则其“伴随曲线”关于轴对称；一条直线的“伴随曲线”是一条直线其中的真命题是 （写出所有真命题的序号）答 案 与 解 析一、选择题1【答案】B【解析】由已知条件得，可以单独存在于伙伴关系中，和同时存在于伙伴关系中，所以具有伙伴关系的元素组是，所以具有伙伴关系的集合有个：，2【答案】D【解析】因为，所以或3【答案】B【解析】，由集合中元素的互异性可知，当时，由“对任意，必有”知，或，4【答案】D【解析】由题可知，画出图象如图，当函数恰有两个零点，即函数有两个交点时，实数的取值范
6、围为5【答案】C【解析】依题意可知，当，时，根据指数函数的图象与性质可知，函数的单调递增区间为，故选C6【答案】C【解析】根据运算法则，得，当时，或（不符合题意舍去）；当时，把，分别代入式，得或，故7【答案】B【解析】成立，因为集合里的元素，不管是相加，还是相减，还是相乘，都是复数，并且实部，虚部都是整数；当时，所以成立；不成立，举例：就是封闭集，但是有限集；举例，集合就不是封闭集，所以不成立8【答案】D【解析】当时，且函数单调递增，故不存在宽度为的通道；，故存在和，满足有一个宽度为的通道；，故存在和，满足有一个宽度为的通道；，故存在和，满足有一个宽度为的通道；故有一个宽度为的通道的函数的序号
7、为9【答案】C【解析】A正确，例如是所有小于的有理数，是所有不小于的有理数；B正确，如是所有负的有理数，零和平方小于的正有理数，是所有平方大于的正有理数，显然和的并集是所有的有理数，因为平方等于的数不是有理数；D正确，例如是所有不大于的有理数，是所有大于的有理数；C错，有最大元素，且有最小元素是不可能的，因为这样就有一个有理数不存在于和两个集合中，与和的并集是所有的有理数矛盾10【答案】C【解析】对于任意给定的不等实数，不等式恒成立，不等式等价为恒成立，即函数是定义在上的增函数；，则函数在定义域上不单调；，函数单调递增，满足条件；为增函数，满足条件；，当时，函数单调递增，当时，函数单调递减，不
8、满足条件，综上满足“函数”的函数为，一共个11【答案】B【解析】对于函数，定义域为，设，由，得，所以，所以函数是定义域上的“均值”为的函数；对于函数，定义域为，设，由，得，当时，不存在实数的值，使，所以该函数不是定义域上均值为的函数；对于函数，定义域是，设，得，则，所以该函数是定义域上的均值为的函数；对于函数，定义域为，设，由，得，当，不存在唯一的实数，使得，所以函数在其定义域上不是均值为的函数故满足所在定义域上“均值”为的函数是的序号是12【答案】D【解析】函数，函数是区间上的双中值函数，区间上存在，满足，即方程在区间有两个解，令，解得实数的取值范围是，故选D二、填空题13【答案】【解析】因
9、为，集合中的元素是有序数对，所以集合中的元素共有个14【答案】【解析】依题意可得，则数列为等比数列又，则，当且仅当，即该数列为常数列时取等号15【答案】【解析】因为对任意两个不相等的实数，都有，即总有不等式恒成立，即为函数是定义在上的增函数，对于，由于与均为上增函数，则函数在为增函数；对于，明显先减后增，不符合；对于，因为在上恒成立，则在为增函数；对于，当时为减函数，当为增函数，不符合，故选16【答案】【解析】设的坐标，伴随点，的伴随点横坐标为，同理可得纵坐标为，故，错误；设单位圆上的点的坐标为，则的伴随点的坐标为，所以也在单位圆上，即：点是点延顺时针方向旋转，正确；设曲线上点的坐标，其关于轴对称的点也在曲线上，所以点的伴随点，点的伴随点，与关于轴对称正确；反例：例如这条直线，则，而这三个点的伴随点分别是，而这三个点不在同一直线上下面给出严格证明：设点在直线，点的伴随点为，则，解得代入直线方程可知：，化简得：，当时，是一个常数，的轨迹是一条直线；当时，不是一个常数，的轨迹不是一条直线所以，直线“伴随曲线”不一定是一条直线，错误
