1、第二章2.32.3.2基础练习1.(多选题)下列双曲线中离心率为的是()A.1 B.1C.1 D.1【答案】BC【解析】由e得e2，则，即a22b2.因此可知BC正确.2已知0，则双曲线C1：1与C2：1的()A实轴长相等B虚轴长相等C离心率相等D焦距相等【答案】D【解析】对于双曲线C1，a1sin ，b1cos ，c11，则实轴长为2sin ，虚轴长为2cos ，离心率为，焦距为2；对于双曲线C2，a2cos ，b2sin ，c21，则实轴长为2cos ，虚轴长为2sin ，离心率为，焦距为2.故选D3双曲线1的离心率e(1,2)，则实数k的取值范围是()A(10,0)B(3,0)C(12,
2、0)D(60，12)【答案】C【解析】双曲线方程可变为1，则a24，b2k，c24k，e.又e(1,2)，则12.解得12k0，b0)的两个焦点分别为F1，F2，以线段F1F2为直径的圆与双曲线渐近线的一个交点是(4,3)，则此双曲线的方程为_【答案】1【解析】由题意，c5，a2b2c225.又双曲线的渐近线为yx，.由解得a3，b4.双曲线方程为1.6设F1，F2是双曲线C：1(a0，b0)的两个焦点若在C上存在一点P，使PF1PF2且PF1F230，则C的离心率为_【答案】1【解析】由PF1PF2，PF1F230，|F1F2|2c，可得|PF1|2ccos 30c，|PF2|2csin 3
3、0c.又2a，cc2a，则e1.7已知双曲线过点P(3，)，离心率e，试求此双曲线的方程解：依题意，双曲线的焦点可能在x轴上，也可能在y轴上，分别讨论如下若双曲线的焦点在x轴上，设双曲线方程为1(a0，b0)由e，得.由点P(3，)在双曲线上，得1.又a2b2c2.所以由可得a21，b2.若双曲线的焦点在y轴上，设双曲线方程为1(a0，b0)同理有，1，a2b2c2.解得b2(不合题意，舍去)故双曲线的焦点只能在x轴上，所求双曲线方程为x24y21.8已知双曲线C：1(a0，b0)的离心率为，.(1)求双曲线C的方程；(2)已知直线xym0与双曲线C交于不同的两点A，B，线段AB的中点在圆x2
4、y25上，求实数m的值解： (1)，a1，c.b2c2a22.双曲线C的方程为x21.(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，线段AB的中点 M(x0，y0)由得x22mxm220(判别式0)x0m，y0x0m2m.点M(x0，y0)在圆x2y25上，m2(2m)25，解得m1.能力提升9.(2020年吉林百校联盟联考)如图，双曲线C：1(a0，b0)的左、右焦点分别为F1，F2，直线l过点F1且与双曲线C的一条渐近线垂直，与两条渐近线分别交于M，N两点，若|NF1|2|MF1|，则双曲线C的渐近线方程为()A.yx B.yxC.yx D.yx【答案】B【解析】|NF1|2|MF1|，M为
5、NF1的中点.又OMF1N，F1OMNOM.又F1OMF2ON，F2ON60，双曲线C的渐近线的斜率ktan 60，即双曲线C的渐近线方程为yx.故选B.10(2019年江西南昌模拟)已知等腰梯形ABCD中ABCD，AB2CD4，BAD60，双曲线以A，B为焦点，且与线段CD(包括端点C，D)有两个交点，则该双曲线的离心率的取值范围是()A，)B，)C1，)D1，)【答案】D【解析】当双曲线过点C，D时，由平面几何可知ACB90，AB4，BC2，AC2，所以2c4，|CA|CB|2(1)2a，即a1，c2，此时1.若双曲线与线段CD相交，则双曲线的张口变大，离心率变大，即e1.故选D11已知双
6、曲线E：1(a0，b0)，若矩形ABCD的四个顶点在E上，AB，CD的中点为E的两个焦点，且2|AB|3|BC|，则E的离心率是_【答案】2【解析】如图，由题意得|BC|F1F2|2c.又2|AB|3|BC|，|AF1|c.在RtAF1F2中，|AF2|.2a|AF2|AF1|ccc.e2.12已知双曲线的中心在原点，焦点F1，F2在坐标轴上，离心率为且过点(4，)，点M(3，m)在双曲线上(1)求双曲线方程；(2)求证：MF1MF2；(3)求F1MF2的面积(1)解：e，可设双曲线方程为x2y2(0)双曲线过点(4，)，1610，解得6.双曲线方程为x2y26.(2)证明：易知F1(2，0)，F2(2，0)，kMF1，kMF2 .kMF1kMF2.点M(3，m)在双曲线上，9m26，即m23.kMF1kMF21.MF1MF2.(3)解：SF1MF2|F1F2|m|46.
