1、A组学业达标1求由yex，x2，y1围成的曲边梯形的面积时，若选择x为积分变量，则积分区间为()A0，e2 B0,2 C1,2 D0,1解析：由得ex1，即x0，所以积分区间为0,2答案：B2用S表示图中阴影部分的面积，则S的值是()A. f(x)dxB.C. f(x)dx f(x)dxD. f(x)dx f(x)dx解析：由定积分的几何意义知，S1 f(x)dx，S2 f(x)dx，故SS1S2 f(x)dx f(x)dx.答案：D3由直线x，x，y0与曲线ycos x所围成的封闭图形的面积为()A. B1 C. D.解析：所求面积为.答案：D4由曲线y与yx3所围成的图形的面积可用定积分表
2、示为_解析：画出y和yx3的草图，所求面积为如图所示阴影部分的面积，解方程组得交点的横坐标为x0及x1.因此，所求图形的面积为S (x3)dx.答案： (x3)dx5由yx2，yx2及x1围成的图形的面积S_.解析：图形如图所示：S x2dx x2dx x2dxx3|.答案：6一物体做直线运动的速度与时间成正比，5 s时速度为20 m/s，则物体开始运动10 s内所经过的路程为_m.解析：v4t，s 4tdt(2t2)|200(m)答案：2007计算曲线yx22x3与直线yx3所围成的图形的面积解析：由解得x0或x3.S (x3)dx (x22x3)dx (x3)(x22x3)dx (x23x
3、)dx|.所围成的图形的面积为.8在底面面积为S的圆柱形容器(容器厚度忽略不计)中盛有一定量的气体，在等温条件下，由于气体的膨胀，把容器的一个活塞(面积为S)从点a处推到b处，计算在移动过程中，气体对活塞的压力所做的功解析：由物理知识易得，压强p与体积V的乘积是常数k，即pVk.因为VxS(x指活塞与底面的距离)，所以p.所以作用在活塞上的力FpSS.故气体对活塞的压力所做的功W dxkln x|kln . B组能力提升9若由曲线f(x)，直线xa，xb与x轴围成的平面图形绕x轴旋转一周所得旋转体的体积V f(x)2dx，设由曲线x24y，x24y，直线x4，x4围成的图形绕y轴旋转一周所得旋
4、转体的体积为V1，满足x2y216，x2(y2)24，x2(y2)24的点(x，y)组成的图形绕y轴旋转一周所得旋转体的体积为V2，则()AV1V2 BV1V2CV1V2 DV12V2解析：画出两个平面图形如下图法一：利用定积分求旋转体体积的方法V1V圆柱V抛物线旋转体8422 4ydy1286464，V24322364，所以V1V2.法二：用任意一个与y轴垂直的平面截两图形绕y轴旋转所得的两个旋转体，设截面与原点距离为|y|，则所得截面面积分别为S1(424|y|)，S2(42y2)4(2|y|)2(424|y|)，所以S1S2.由祖暅原理知，两个几何体的体积相等，即V1V2.答案：C10.
5、一横截面为等腰梯形的水渠，因泥沙沉积，导致水渠截面边界呈抛物线型(图中虚线所示)，则原始的最大流量与当前最大流量的比值为_解析：建立如图所示的直角坐标系，可设抛物线的方程为x22py(p0)，由图易知点(5,2)在抛物线上，可得p，故抛物线方程为x2y，所以当前最大流量对应的截面面积为2 dx，原始的最大流量对应的截面面积为16，所以原始的最大流量与当前最大流量的比值为.答案：11已知函数f(x)ex1，直线l1：x1，l2：yet1(t为常数，且0t1)，直线l1，l2与函数f(x)的图象围成的封闭图形，以及直线l2，y轴与函数f(x)的图象围成的封闭图形如图中阴影部分所示求当t变化时，阴影
6、部分的面积的最小值解析：依题意知，阴影部分的面积S (et1ex1)dx (ex1et1)dx (etex)dx (exet)dx(xetex)|(exxet)|(2t3)ete1，令g(t)(2t3)ete1(0t1)，令g(t)0，解得t.当t时，g(t)0，g(t)是减函数；当t时，g(t)0，g(t)是增函数因此g(t)的最小值为ge12(1)2，故阴影部分的面积的最小值为(1)2.12已知函数f(x)x3x，其图象记为曲线C.证明：若对于任意非零实数x1，曲线C与其在点P1(x1，f(x1)处的切线交于另一点P2(x2，f(x2)，曲线C与其在点P2处的切线交于另一点P3(x3，f(x3)，线段P1P2，P2P3与曲线C所围成封闭图形的面积分别记为S1，S2，则为定值证明：f(x)3x21，曲线C在点P1处的切线方程为y(3x1)(xx1)xx1，即y(3x1)x2x.由消去y，得x3x(3x1)x2x，即(xx1)2(x2x1)0，解得xx1或x2x1，故x22x1.进而有S1用x2代替x1，重复上述计算过程，可得x32x2，S2x.又x22x10，所以S2x0，因此.
