1、课时作业A组基础对点练1(2014高考新课标全国卷)直三棱柱ABCA1B1C1中，BCA90，M，N分别是A1B1，A1C1的中点，BCCACC1，则BM与AN所成角的余弦值为()A.BC. D解析：建立如图所示的空间直角坐标系Cxyz，设BC2，则B(0,2,0)，A(2,0,0)，M(1,1,2)，N(1，0,2)，所以(1，1,2)，(1,0，2)，故BM与AN所成角的余弦值cos .答案：C2正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为a，点M在AC1上且，N为B1B的中点，则|为()A.a BaC.a Da解析：以D为原点建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz，则A(a,0,0)，C1(0，
2、a，a)，N.设M(x，y，z)，点M在AC1上且1，(xa，y，z)(x，ay，az)xa，y，z.得M，|a.答案：A3在正方体ABCDA1B1C1D1中，点E为BB1的中点，则平面A1ED与平面ABCD所成的锐二面角的余弦值为()A. BC. D解析：以A为原点建立如图所示的空间直角坐标系Axyz，设棱长为1，则A1(0,0,1)，E，D(0,1,0)，(0,1，1)，设平面A1ED的一个法向量为n1(1，y，z)，所以有即解得n1(1,2,2)平面ABCD的一个法向量为n2(0,0,1)，cosn1，n2.即所成的锐二面角的余弦值为.答案：B4在正四棱锥SABCD中，O为顶点在底面上的
3、射影，P为侧棱SD的中点，且SOOD，则直线BC与平面PAC所成的角是()A30 B45C60 D90解析：如图，以O为原点建立空间直角坐标系Oxyz.设ODSOOAOBOCa.则A(a,0,0)，B(0，a,0)，C(a,0,0)，P.则(2a,0,0)，(a，a,0)，设平面PAC的一个法向量为n，设n(x，y，z)，则解得可取n(0,1,1)，则cos，n，n60，直线BC与平面PAC所成的角为906030.答案：A5设正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为2，则点D1到平面A1BD的距离是()A. BC. D解析：如图建立坐标系则D1(0，0,2)，A1(2,0,2)，B(2，2,0)
4、，(2,0,0)，(2,2,0)，设平面A1BD的法向量n(x，y，z)，则令z1，得n(1,1,1)D1到平面A1BD的距离d.答案：D6(2017郑州模拟)在长方体ABCDA1B1C1D1中，AB2，BCAA11，则D1C1与平面A1BC1所成角的正弦值为_解析：以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，设n(x，y，z)为平面A1BC1的法向量则n0，n0，即令z2，则y1，x2，于是n(2,1,2)，(0,2,0)，设所求线面角为，则sin |cosn，|.答案：7正ABC与正BCD所在平面垂直，则二面角ABDC的正弦值为_解析：取BC中点O，连接AO，DO
5、.建立如图所示坐标系，设BC1，则A，B，D.，.设平面ABD的法向量为n(x0，y0，z0)，则n0，且n0, z00，且x00，因此取x01，得平面ABD的一个法向量n(1，1)，由于为平面BCD的一个法向量，cosn，sinn，.答案：8如图所示，在三棱柱ABCA1B1C1中，AA1底面ABC，ABBCAA1，ABC90，点E、F分别是棱AB、BB1的中点，则直线EF和BC1所成的角是_解析：以BC为x轴，BA为y轴，BB1为z轴，建立空间直角坐标系设ABBCAA12，则C1(2,0,2)，E(0,1,0)，F(0,0,1)，则(0，1,1)，(2,0,2)，2，cos，EF和BC1所成
6、的角为60.答案：609(2017临沂模拟)如图1，已知ABC为正三角形，D为AB的中点，AEAC.现沿DE将ADE折起，折起过程中点A仍然记作点A，使得平面ADE平面BCED，如图2.图1图2(1)证明：ADCE；(2)求平面ABD与平面ACE所成角(锐角)的余弦值解析：(1)证明：在正三角形ABC中，取AC的中点G，连接BG，此时E为AG的中点，所以DEBG，因为BGAC，所以DECE，DEAE.在折起的图形中，因为平面ADE平面BCED，所以AE平面BCED，所以AECE.因为AEDEE，所以CE平面ADE.因为AD平面ADE，所以ADCE.(2)由(1)的证明可知ED，EC，EA两两垂
7、直，以点E为坐标原点，射线ED，EC，EA的正方向分别为x，y，z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系设正三角形ABC的边长为4，则A(0,0,1)，B(2，1,0)，D(，0,0)，(2，1，1)，(，1,0)设平面ABD的法向量为m(x，y，z)，则m0，m0，即2xyz0，xy0，令x，得y3，z3，所以平面ABD的一个法向量为m(，3,3)显然n(1,0,0)为平面ACE的一个法向量设平面ABD与平面ACE所成角(锐角)的大小为，则cos |cosm，n|.所以平面ABD与平面ACE所成角(锐角)的余弦值为.10.(2017淄博模拟)如图，直线PA与平行四边形ABCD所在的平面垂直，
8、PAABAD2，BAD60.(1)证明：BD平面PAC；(2)求直线PA与平面PBC所成角的正弦值解析：(1)ABAD，平行四边形ABCD是菱形，ACBD.PA平面ABCD，PABD.又PAACA，BD平面PAC.(2)法一：设ACBDO，取PC的中点Q，连接OQ.在APC中，AOOC，CQQP，OQPA，PA平面ABCD，OQ平面ABCD.如图，取OA，OB，OQ所在的直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，则A(，0,0)，B(0，1,0)，C(，0,0)，P(，0,2)，(0,0,2)设平面PBC的法向量为n(x，y，z)，而(，1,0)，(，1，2)，由得，令x1，则y，z，n
9、(1，)为平面PBC的一个法向量cos，n.设直线PA与平面PBC所成的角为，则sin |cos，n|.法二：如图，过点A作AMBC，交CB的延长线于点M，连接PM.过点A作ANPM，垂足为N.PA平面ABCD，PABC.而PAAMA，BC平面PAM，BCAN.又ANPM，PMBCM，AN平面PMC.APN就是直线PA与平面PBC所成的角在RtABM中，BAM90BAD30，AMABcosBAM2cos 30，在RtPAM中，PA2，PM，sinAPN.故直线PA与平面PBC所成角的正弦值为.B组能力提速练1.(2016高考北京卷)如图，在四棱锥PABCD中，平面PAD平面ABCD，PAPD，
10、PAPD，ABAD，AB1，AD2，ACCD.(1)求证：PD平面PAB.(2)求直线PB与平面PCD所成角的正弦值(3)在棱PA上是否存在点M，使得BM平面PCD？若存在，求的值；若不存在，说明理由解析：(1)证明：因为平面PAD平面ABCD，ABAD，所以AB平面PAD.所以ABPD.又因为PAPD，所以PD平面PAB.(2)取AD的中点O，连接PO，CO.因为PAPD，所以POAD.又因为PO平面PAD，平面PAD平面ABCD，所以PO平面ABCD.因为CO平面ABCD，所以POCO.因为ACCD，所以COAD.如图，建立空间直角坐标系Oxyz.由题意得，A(0,1,0)，B(1,1,0
11、)，C(2，0,0)，D(0，1,0)，P(0,0,1)设平面PCD的法向量为n(x，y，z)，则即令z2，则x1，y2.所以n(1，2,2)又(1,1，1)，所以cosn，.所以直线PB与平面PCD所成角的正弦值为.(3)设M是棱PA上一点，则存在0,1使得.因此点M(0,1，)，(1，)因为BM平面PCD，所以要使BM平面PCD当且仅当n0，即(1，)(1，2,2)0.解得.所以在棱PA上存在点M使得BM平面PCD，此时.2.如图所示，该几何体是由一个直三棱柱ADEBCF和一个正四棱锥PABCD组合而成，ADAF，AEAD2.(1)证明：平面PAD平面ABFE；(2)求正四棱锥PABCD的
12、高h，使得二面角CAFP的余弦值是.解析：(1)因为在直三棱柱ADEBCF中，AB平面ADE，所以ABAD，又ADAF，ABAFA，所以AD平面ABFE，又AD平面PAD，所以平面PAD平面ABFE.(2)由(1)知，AD平面ABFE，以A为原点，AB，AE，AD所在的直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系Axyz，因为正四棱锥PABCD的高为h，AEAD2，则A(0,0,0)，F(2,2,0)，C(2,0,2)，P(1，h，1)，(2,2,0)，(2,0,2)，(1，h,1)设平面ACF的法向量为m(x1，y1，z1)，则，取x11，则y1z11，所以m(1，1，1)为平面ACF的一个
13、法向量设平面AFP的法向量为n(x2，y2，z2)，则，取x21，则y21，z21h，所以n(1，1，1h)为平面AFP的一个法向量因为二面角CAFP的余弦值是，所以cosm，n，得h1或h(舍去)所以正四棱锥PABCD的高为1.3.(2017潍坊统考)如图，在四棱锥PABCD中，ADBC，平面APD平面ABCD，PAPD，E在AD上，且ABBCCDDEEA2.(1)求证：平面PEC平面PBD；(2)设直线PB与平面PEC所成的角为，求平面APB与平面PEC所成的锐二面角的余弦值解析：(1)证明：连接BE.在PAD中，PAPD，AEED，所以PEAD.又平面APD平面ABCD，平面APD平面A
14、BCDAD，所以PE平面ABCD，故PEBD.在四边形ABCD中，BCDE，且BCDE，所以四边形BCDE为平行四边形，又BCCD，所以四边形BCDE为菱形，故BDCE，又PEECE，所以BD平面PEC，又BD平面PBD，所以平面PEC平面PBD.(2)取BC的中点F，连接EF.由(1)可知，BCE是一个正三角形，所以EFBC，又BCAD，所以EFAD.又PE平面ABCD，故以E为坐标原点，分别以直线EF、直线ED、直线EP为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系设PEt(t0)，则D(0,2,0)，A(0，2,0)，P(0,0，t)，F(，0,0)，B(，1,0)因为BD平面PEC，所以(，3,0)是平面PEC的一个法向量，又(，1，t)，所以cos，.由已知可得sin|cos，|，得t2.故P(0,0,2)，(，1，2)，(，1,0)设平面APB的法向量为n(x，y，z)，则由可得，即.取y，则x，z，故n(，)为平面APB的一个法向量，所以cos，n.设平面APB与平面PEC所成的锐二面角为，则cos |cos，n|.
