1、数学试卷（理数） 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分）1.若集合表示实数集，则下列选项错误的是( )A B D2.我国古代数学名著算法统宗中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯（ ）A9盏 B5盏 C3盏 D1盏3.函数“ 是偶函数”的否定是( )A. B.C. D.A. 16 B. 4 C. 1 D. 5.直三棱柱中，所有棱长都相等，M是的中点，N是的中点，则AM与NC1所成角的余弦值为（ ）A B CD6.若 分别是 的中点，则的值为（ ） A
2、BCD8.一锥体的三视图如图所示，则该棱锥的最长棱的棱长为()A. B. C. D.9.三棱锥PABC中，PA平面ABC且PA2，ABC是边长为的等边三角形，则该三棱锥外接球的表面积为()A. B4 C8 D20 11.已知函数的定义在R上的奇函数，当时，满足，则在区间内（ ）A. 没有零点 B. 恰有一个零点 C. 至少一个零点 D. 至多一个零点12. 在矩形ABCD中，AB=1，AD=2，动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上若= +，则+的最大值为（ ）A3 B2 CD2二、填空题(本大题包括4小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在答题卡中的横线上)13. 已知向量满足且则与的夹角
3、为_. 14.定积分的值为 ；15.定义：，已知数列满足：，若对任意正整数，都有成立，则的值为_.16. 定义在R上的函数为减函数，且函数的图象关于点（1,0）对称，若且，则的取值范围是_。三.解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。17.（本小题满分 10 分）已知函数f(x)2|x1|x2|.(1)求f(x)的最小值m；(2)若a，b，c均为正实数，且满足abcm，求证：3.18.(本小题满分12分)已知f(x)=sin(+x)sin-cos2x(0)的最小正周期为T=.(1)求f的值;(2)在ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若(2a-c)cos B=bcos C,
4、求角B的大小以及f(A)的取值范围.19. （本小题满分12分）已知等差数列的前n项和为Sn,公差d0,且,成等比数列.(1)求数列的通项公式;(2)设是首项为1,公比为3的等比数列,求数列的前n项和Tn.20.（本小题满分12分）如图1，平面五边形中，是边长为2的正三角形. 现将沿折起，得到四棱(如图2)，且.（1）求证：平面平面；（2）在棱上是否存在点，使得平面？若存在，求的值；若不存在，请说明理由. 21. （本小题满分12分）已知数列，满足，.（）求证：数列为等差数列；（）设，求.22. （本小题满分12分）已知函数 (为常数，)()若是函数的一个极值点，求的值；()求证：当时，在上是
5、增函数；()若对任意的，总存在，使不等式成立，求实数m的取值范围 数学试卷（理数）答案一 选择题123456789101112BCADACDCBDBA二 填空题 三解答题17.（1）当，；当，；当，。综上，的最小值。.5分（2），均为正实数，且满足。又因为。（当且仅当时，取“”）所以，即。.10分18.解 (1)f(x)=sin(+x)sin-cos2x=sin xcos x-cos2x=sin 2x-cos 2x-=sin.最小正周期为T=,=,=1.f(x)=sin.f=sin.(2)(2a-c)cos B=bcos C,(2sin A-sin C)cos B=sin Bcos C,2si
6、n Acos B=sin Bcos C+cos Bsin C=sin(B+C)=sin A.sin A0,cos B=,B(0,),B=.A,2A-,sin.即f(A)的取值范围为.19.解 (1)依题意得解得所以an=a1+(n-1)d=3+2(n-1)=2n+1,即an=2n+1.(2)=3n-1,bn=an3n-1=(2n+1)3n-1,Tn=3+53+732+(2n+1)3n-1,3Tn=33+532+733+(2n-1)3n-1+(2n+1)3n,-得-2Tn=3+23+232+23n-1-(2n+1)3n=3+2-(2n+1)3n=-2n3n,所以Tn=n3n.20.（）证明：由已
7、知得，. 因为，所以平面. 又平面，所以平面平面. （2）在棱上存在点，使得平面，此时. 理由如下：设的中点为，连接，则 ，.因为，且，所以,且，所以 四边形是平行四边形， 所以 .因为平面，且平面，所以平面. 21.证明()由,得,数列是首项为1,公差为的等差数列,()解:设,由()得,数列是首项为1,公差为的等差数列,即,且是首项,公差为的等差数列,22.试题解析：（）由已知，得且， （）当时，当时，又故在上是增函数（）时，由（）知，在上的最大值为于是问题等价于：对任意的，不等式恒成立。记则当时，在区间上递减，此时由于，时不可能使恒成立，故必有若，可知在区间上递减，在此区间上，有，与恒成立相矛盾，故，这时，在上递增，恒有，满足题设要求，即所以实数的取值范围为
