1、A 基础达标下列函数是偶函数的是()Ay2x23 Byx5Cyx2,x0,1 Dyx解析:选A.对A:f(x)2(x)232x23f(x),所以f(x)是偶函数,B、D都为奇函数,C中定义域不关于原点对称,函数不具备奇偶性,故选A.函数f(x)x的图象()A关于y轴对称B关于直线yx对称C关于坐标原点对称D关于直线yx对称解析:选C.因为f(x)的定义域为(,0)(0,),关于原点对称,且f(x)(x)xf(x),所以f(x)是奇函数,图象关于原点对称3若函数f(x)ax2(a2b)xa1是定义在(a,0)(0,2a2)上的偶函数,则f()A1 B3C. D.解析:选B.因为偶函数的定义域关于
2、原点对称,则a2a20,解得a2.又偶函数不含奇次项,所以a2b0,即b1,所以f(x)2x21.于是ff(1)3.4已知f(xy)f(x)f(y)对任意实数x,y都成立,则函数f(x)是()A奇函数B偶函数C既是奇函数,也是偶函数D既不是奇函数,也不是偶函数解析:选A.令xy0,所以f(0)f(0)f(0),所以f(0)0.又因为f(xx)f(x)f(x)0,所以f(x)f(x),所以f(x)是奇函数,故选A.5已知偶函数f(x)在区间0,)上单调递增,则满足f(2x1)f的x的取值范围为()A. B.C. D.解析:选A.由于f(x)为偶函数,且在0,)上单调递增,则不等式f(2x1)f,
3、即2x1,解得x.6已知yf(x)是奇函数,当x0时,f(x)x2ax,且f(3)6,则a的值为_解析:因为f(x)是奇函数,所以f(3)f(3)6,所以(3)2a(3)6,解得a5.答案:5如果函数y是奇函数,则f(x)_解析:设x0,所以2(x)32x3.又原函数为奇函数,所以f(x)(2x3)2x3.答案:2x3设函数yf(x)是偶函数,它在0,1上的图象如图,则它在1,0上的解析式为_解析:由题意知f(x)在1,0上为一条线段,且过(1,1)、(0,2),设ykxb,代入解得k1,b2.所以yx2.答案:yx29已知f(x)是奇函数,且当x0时,f(x)x|x2|,求x0时,f(x)的
4、表达式解:因为x0,所以x0,所以f(x)(x)|(x)2|.又因为f(x)为奇函数,所以f(x)f(x)(x)|(x)2|x|x2|.故当x0时,f(x)x|x2|.(1)如图,给出奇函数yf(x)的局部图象,试作出y轴右侧的图象并求出f(3)的值(2)如图,给出偶函数yf(x)的局部图象,试作出y轴右侧的图象并比较f(1)与f(3)的大小解:(1)由奇函数的性质可作出它在y轴右侧的图象,图为补充后的图象易知f(3)2.(2)由偶函数的性质可作出它在y轴右侧的图象,图为补充后的图象易知f(1)f(3)B能力提升1设偶函数f(x)的定义域为R,当x0,)时,f(x)是增函数,则f(2),f()
5、,f(3)的大小关系是()Af()f(3)f(2)Bf()f(2)f(3)Cf()f(3)f(2)Df()f(2)32,所以f()f(3)f(2),故f()f(3)f(2)函数f(x)是定义在R上的奇函数,且它是减函数,若实数a,b满足f(a)f(b)0,则ab_0(填“”“0得f(a)f(b),因为f(x)为奇函数,则f(x)f(x)所以f(a)f(b),又f(x)为减函数,所以ab,即ab0.答案:3已知函数f(x)1.(1)若g(x)f(x)a为奇函数,求a的值;(2)试判断f(x)在(0,)内的单调性,并用定义证明解:(1)由已知g(x)f(x)a得,g(x)1a,因为g (x)是奇函
6、数,所以g(x)g(x),即1a,解得a1.(2)函数f(x)在(0,)内为增函数证明如下:设0x1x2,则f(x1)f(x2)1.因为0x1x2,所以x1x20,从而0,即f(x1)0.(1)若ab,试比较f(a)与f(b)的大小关系;(2)若f(1m)f(32m)0,求实数m的取值范围解:(1)因为ab,所以ab0,由题意得0,所以f(a)f(b)0.又f(x)是定义在R上的奇函数,所以f(b)f(b),所以f(a)f(b)0,即f(a) f(b)(2)由(1)知f(x)为R上的单调递增函数,因为f(1m)f(32m)0,所以f(1m)f(32m),即f(1m)f(2m3),所以1m2m3,所以m4.所以实数m的取值范围为(,4