1、7.3.3余弦函数的性质与图像课后篇巩固提升基础巩固1.函数y=cos4x+3的图像的两条相邻对称轴间的距离为()A.8B.4C.2D.解析y=cos4x+3的最小正周期T=24=2.其相邻两条对称轴间的距离为半个周期,故两条相邻对称轴间的距离为d=T2=4.答案B2.函数y=3cos 2x+4是()A.最小正周期为的偶函数B.最小正周期为2的偶函数C.最小正周期为的奇函数D.最小正周期为2的奇函数解析T=2|=,f(-x)=3cos(-2x)+4=3cos 2x+4=f(x),所以函数的最小正周期为,是偶函数,故选A.答案A3.若f(x)=2cos(x+)+m,对任意实数t都有ft+4=f(
2、-t),且f8=-1,则实数m=()A.1B.3C.-3或1D.-1或3解析ft+4=f(-t)对任意t成立,f(x)关于x=8对称.f8=m2=-1,m=-3或m=1.答案C4.函数y=-cosx2-3的单调递增区间是()A.2k-43,2k+23(kZ)B.4k-43,4k+23(kZ)C.2k+23,2k+83(kZ)D.4k+23,4k+83(kZ)解析令2kx2-32k+,kZ,则4k+23x4k+83,kZ.故该函数的递增区间为4k+23,4k+83,kZ.答案D5.同时具有性质“最小正周期是;图像关于直线x=3对称;在-6,3上是减函数”的一个函数是()A.y=sinx2+6B.
3、y=cos2x+3C.y=sin2x-6D.y=cos2x-6答案B6.函数y=sin2x-cos x+1的最大值为.解析y=sin2x-cos x+1=-cos2x-cos x+2=-cos x+122+94.-1cos x1,当cos x=-12时,ymax=94.答案947.(双空)函数y=log12(cos x)的定义域是.函数y=log12(cos2x+2cos x+1)的值域为.解析函数y=log12cos x有意义,则cos x0,由余弦函数y=cos x的图像可知,当2k-2x0,故函数y=log12cos x的定义域为x2k-2x0时,-b-bcos xb,a-ba-bcos
4、 xa+b.a+b=32,a-b=-12,解得a=12,b=1.y=-4bsin ax=-4sin12x.最大值为4,最小值为-4,最小正周期为4.当b0)个单位后,所得到的图像关于y轴对称,则m的最小值是()A.23B.3C.6D.12解析y=cos2x+3y=3cos 2x+6-m.因为图像关于y轴对称,所以当x=0时,20+3-2m=k(kZ),m=6-k2(kZ),当k=0时,m=6,故选C.答案C2.下列四个函数中,既是0,2上的增函数,又是以为周期的偶函数是()A.y=|sin x|B.y=|sin 2x|C.y=|cos x|D.y=cos 2x答案A3.三个数cos32,sin
5、110,-cos74的大小关系是()A.sin110cos32-cos74B.cos32-cos74sin110C.cos32sin110-cos74D.-cos74sin110322-110-740,而y=cos x在0,上单调递减,所以cos32cos2-110cos-74,即cos32sin1100,函数f(x)=cos4-x在2,上单调递减,则的取值范围是()A.(0,2B.0,12C.12,34D.12,54解析令t=4-x,则函数f(x)=cos4-x,由y=cos t及t=4-x复合而成,因为0,所以t=4-x为减函数,要使得函数f(x)=cos4-x在2,上单调递减,则y=co
6、s t必须递增,令-+2kt2k(kZ),即-+2k4-x2k(kZ),解得4-2kx54-2k(kZ),要使得函数f(x)=cos4-x在2,上单调递减,则2,4-2k,54-2k(kZ),即4-2k2,54-2k,解得1-8k2(kZ),5-8k4(kZ).当k=0时,1254.当k0时,不存在,故选D.答案D6.设函数f(x)=cos2x+3+1,有以下结论:点-512,0是函数f(x)图像的一个对称中心;直线x=3是函数f(x)图像的一条对称轴;函数f(x)的最小正周期是;将函数f(x)的图像向右平移6个单位后,对应的函数是偶函数.其中所有正确结论的序号是.解析f(x)的图像是由y=c
7、os2x+3向上平移1个单位得到,y=cos2x+3的对称中心的纵坐标为0,f(x)的对称中心的纵坐标为1,故错;当x=3时,f(x)取得最小值0,x=3是f(x)的一条对称轴,故正确;T=22=,故正确;f(x)的图像向右平移6个单位后,得到y=cos 2x+1的图像,它是偶函数,故正确.答案7.(双空)函数y=cos(2x+)(-0),且函数y=f(x)的图像的两相邻对称轴间的距离为2.(1)求f8的值;(2)将函数y=f(x)的图像向右平移6个单位后,再将得到的图像上各点的横坐标伸长到原来的4倍,纵坐标不变,得到函数y=g(x)的图像,求g(x)的单调递减区间.解(1)因为f(x)的周期
8、T=,故2=,所以=2.所以f(x)=2cos 2x.所以f8=2cos4=2.(2)将y=f(x)的图像向右平移6个单位后,得到y=fx-6的图像,再将所得图像上各点的横坐标伸长到原来的4倍,纵坐标不变,得到y=fx4-6的图像,所以g(x)=fx4-6=2cos2x4-6=2cosx2-3.当2kx2-32k+(kZ),即4k+23x4k+83(kZ)时,g(x)单调递减,因此g(x)的单调递减区间为4k+23,4k+83(kZ).9.已知函数f(x)=2cos2x+4,xR.(1)求函数f(x)的单调递增区间;(2)当x-38,4时,方程f(x)=k恰有两个不同的实数根, 求实数k的取值
9、范围;(3)将函数f(x)=2cos2x+4的图像向右平移m(m0)个单位后所得函数g(x)的图像关于原点中心对称,求m的最小值.解(1)由余弦函数的单调性,解不等式2k+2x+42k+2,kZ,得38+kx78+k,kZ,所以函数f(x)的单调递增区间为38+k,78+k,kZ.(2)函数f(x)=2cos2x+4的单调递增区间为38+k,78+k,kZ,单调递减区间为78+k,118+k,kZ,所以函数f(x)在-38,-8上单调递增,在-8,4上单调递减,则f-38=0,f-8=2,f4=-2,所以当0k2时,函数y=k与函数y=f(x)的图像有两个公共点,即当0k0)个单位,得到图像对应的函数为g(x)=2cos2x+4-2m,则g(x)是奇函数,g(0)=2cos0+4-2m=0,即4-2m=k+2,kZ,则m=-8-k2,kZ,因为m0,所以当k=-1时,mmin=38.
