1、安徽省合肥市六校联盟2020-2021学年高一数学下学期期末考试试题（含解析）一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分）.1若复数为纯虚数，则a的值为（）A2BC1D02已知向量，若，则实数（）A2B1CD3下列说法正确的是（）A多面体至少有3个面B有2个面平行，其余各面都是梯形的几何体是棱台C各侧面都是正方形的四棱柱一定是正方体D六棱柱有6条侧棱，6个侧面，侧面均为平行四边形4如图，点G，H，M，N分别是三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线GH，MN是异面直线的图形是（）ABCD5国际比赛足球的半径应该在10.811.3cm之间，球的圆周不得多于71cm或少于68cm球的重量，在比赛开
2、始时不得多于453g或少于396g充气后其压力应等于0.61.1个大气压力（海平面上），即等于6001100g/cm，将一个表面积为484cm2的足球用一个正方体盒子装起来，则这个正方体盒子的最小体积为（）A121cm3B484cm3C1331cm3D10648cm36下列说法不正确的是（）A一个人打靶时连续射击两次，事件“至少有一次中靶”与事件“两次都不中靶”互斥B掷一枚均匀的硬币，如果连续抛掷1000次，那么第999次出现正面向上的概率是C若样本数据x1，x2，x10的标准差为8，则数据2x11，2x21，2x101的标准差为16D甲、乙两人对同一个靶各射击一次，记事件A“甲中靶”，B“乙
3、中靶”，则A+B“恰有一人中靶”7已知，是两个不同的平面，m，n是两条不同的直线，则下列命题中不正确的是（）A若mn，m，则nB若m，m，则C若m，n，则mnD若m，m，则8从装有大小相同的3个红球和2个白球的袋子中，随机摸出2个球，则至少有一个白球的概率为（）ABCD9抛掷一枚质地均匀的骰子，“向上的点数是2，3，4”为事件A，“向上的点数是1，5”为事件B，则下列选项正确的是（）AA与B是对立事件BA与B是互斥事件CP（AB）1D102020年是全面实现小康社会目标的一年，也是全面打赢脱贫攻坚战的一年，某研究性学习小组调查了某脱贫县的甲、乙两个家庭，对他们过去6年（2014年到2019年）
4、的家庭收入情况分别进行统计，得到这两个家庭的年人均纯收入（单位：百元/人）甲：36，37，37，38，40，42；乙：34，36，38，39，40，41对甲、乙两个家庭的年人均纯收入（以下分别简称“甲”“乙”）情况的判断，正确的是（）A过去的6年，“甲”的极差大于“乙”的极差B过去的6年，“甲”的平均值大于“乙”的平均值C过去的6年，“甲”的中位数大于“乙”的中位数D过去的6年，“甲”的平均增长率大于“乙”的平均增长率11在矩形ABCD中，AB1，AD2，E在BD上，且AEBD，则（）ABCD12如图，设ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，（acosC+ccosA）2bsinB，且
5、CAB若点D是ABC外一点，DC1，DA2，则下列说法中错误的是（）AABC的内角BABC的内角C四边形ABCD面积无最大值D四边形ABCD面积的最大值为二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13 14已知|，+1，则向量，的夹角 15数据10，10，9，7，6，5，4，3，2，2的第80百分位数是 16如图，已知一个八面体的各条棱长均为2，四边形ABCD为正方形，给出下列说法：该八面体的体积为；该八面体的外接球的表面积为8；E到平面ADF的距离为；EC与BF所成角为60其中正确的说法为 （填序号）三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17在a2+c2b2ac
6、，ccosA+acosC2bcosB，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并作答问题：在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，sinA2sinC，b2，且_求ABC的面积18如图，长方体ABCDA1B1C1D1中，ABAD1，AA12，点P为DD1的中点（1）求证：直线BD1平面PAC；（2）求异面直线BD1与AP所成角的大小19某校高二（9）班决定从a，b，c三名男生和d，e两名女生中随机选3名进入学生会（1）求“女生d被选中”的概率；（2）求“男生a和女生e恰好有一人被选中”的概率20如图，在四棱锥PABCD中，点E是底面ABCD对角线AC上一点，PE2，PCD是边长为2的正三
7、角形，DECEBE，CED120（1）证明：PE平面ABCD；（2）若四边形ABED为平行四边形，求四棱锥PABCD的体积21如图，在ABC中，AB2，DC，CB的垂直平分线交边AC于点D（1）求AD的长；（2）若ADAB，求sinACB的值22某市供水管理部门随机抽取了2021年2月份200户居民的用水量，经过整理得到如下的频率分布直方图（1）求抽取的200户居民用水量的平均数；（2）为了进一步了解用水量在6，8），8，10），10，12范围内的居民用水实际情况，决定用分层抽样的方法抽取6户进行电话采访（）各个范围各应抽取多少户？（）若从抽取的6户中随机抽取3户进行入户调查，求3户分别来自3
8、个不同范围的概率参考答案一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分）.1若复数为纯虚数，则a的值为（）A2BC1D0解：为纯虚数，解得a2故选：A2已知向量，若，则实数（）A2B1CD解：向量，（1，2）+（1，0）（1+，2），4（1+）320，解得故选：C3下列说法正确的是（）A多面体至少有3个面B有2个面平行，其余各面都是梯形的几何体是棱台C各侧面都是正方形的四棱柱一定是正方体D六棱柱有6条侧棱，6个侧面，侧面均为平行四边形解：对于A：一个多面体至少有4个面，例如三棱锥体有四个面，故A错误对于B：如图所示：故B错误对于C：上下底面都为菱形，各个侧面都为正方形的四棱柱不是正方体，故C错误
9、对于D：六棱柱有6条侧棱，6个侧面，侧面均为平行四边形，根据定义D正确故选：D4如图，点G，H，M，N分别是三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线GH，MN是异面直线的图形是（）ABCD解：根据题意，在中，MGHN且MGNH，则四边形MGHN是平行四边形，有HG/MN，不是异面直线；在中，直线GH，MN既不平行也不相交，是异面直线；在中，GM/HN且GMHN，故HG，NM必相交，不是异面直线；在中，直线GH，MN既不平行也不相交，是异面直线；综合可得：正确；故选：B5国际比赛足球的半径应该在10.811.3cm之间，球的圆周不得多于71cm或少于68cm球的重量，在比赛开始时不得多于453g或
10、少于396g充气后其压力应等于0.61.1个大气压力（海平面上），即等于6001100g/cm，将一个表面积为484cm2的足球用一个正方体盒子装起来，则这个正方体盒子的最小体积为（）A121cm3B484cm3C1331cm3D10648cm3解：由S4R2484，得R11，故该足球的半径为11cm若要使这个正方体盒子的体积最小，则这个正方体正好是该足球的外切正方体，所以正方体的棱长等于球的直径，即22cm，所以这个正方体盒子的最小体积为故选：D6下列说法不正确的是（）A一个人打靶时连续射击两次，事件“至少有一次中靶”与事件“两次都不中靶”互斥B掷一枚均匀的硬币，如果连续抛掷1000次，那么
11、第999次出现正面向上的概率是C若样本数据x1，x2，x10的标准差为8，则数据2x11，2x21，2x101的标准差为16D甲、乙两人对同一个靶各射击一次，记事件A“甲中靶”，B“乙中靶”，则A+B“恰有一人中靶”解：对于A，“两次都不中靶”与“至少有一次中靶”不可能同时发生故A正确对于B，每一次出现正面朝上的概率相等都是故B正确对于C，样本数据x1，x2，x10，其标准差，则s264，而样本数据2x11，2x21，2x101的方差为2264，其标准差为故C正确对于D，A+B“靶被击中”，故D错误故选：D7已知，是两个不同的平面，m，n是两条不同的直线，则下列命题中不正确的是（）A若mn，m
12、，则nB若m，m，则C若m，n，则mnD若m，m，则解：由mn，m，得n，故A正确；由m，m，得；故B正确；由m，n，得mn或m与n异面，故C不正确；m，m，得，故D正确故选：C8从装有大小相同的3个红球和2个白球的袋子中，随机摸出2个球，则至少有一个白球的概率为（）ABCD解：由题意，所求概率即为摸出的两个球中有白球的概率，设3个红球分别记为a，b，c，2个白球分别记为d，e，则所有可能的结果为ab，ac，ad，ae，bc，bd，be，cd，ce，de，共10种，符合条件的结果为ad，ae，bd，be，cd，ce，de，共7种，所以所求概率为故选：A9抛掷一枚质地均匀的骰子，“向上的点数是2
13、，3，4”为事件A，“向上的点数是1，5”为事件B，则下列选项正确的是（）AA与B是对立事件BA与B是互斥事件CP（AB）1D解：根据题意，设“向上的点数是6”是事件C，依次分析选项：对于A，事件A与B不会同时发生，也可能都不发生，则不是对立事件，A错误，对于B，事件A与B不会同时发生，是互斥事件，B正确，对于C，P（AB）P（A）+P（B），C错误，对于D，事件A与B不会同时发生，则P（AB）0，D错误，故选：B102020年是全面实现小康社会目标的一年，也是全面打赢脱贫攻坚战的一年，某研究性学习小组调查了某脱贫县的甲、乙两个家庭，对他们过去6年（2014年到2019年）的家庭收入情况分别进
14、行统计，得到这两个家庭的年人均纯收入（单位：百元/人）甲：36，37，37，38，40，42；乙：34，36，38，39，40，41对甲、乙两个家庭的年人均纯收入（以下分别简称“甲”“乙”）情况的判断，正确的是（）A过去的6年，“甲”的极差大于“乙”的极差B过去的6年，“甲”的平均值大于“乙”的平均值C过去的6年，“甲”的中位数大于“乙”的中位数D过去的6年，“甲”的平均增长率大于“乙”的平均增长率解：对于A，甲的极差为42366，乙的极差为41347，所以“甲”的极差小于“乙”的极差，A错误；对于B，甲的平均数是，乙的平均数为，所以“甲”的平均值大于“乙”的平均值，B正确；对于C，甲的中位数
15、是，乙的中位数是，所以，“甲”的中位数小于“乙”的中位数，C错误；对于D，由题意，无法计算平均增长率，D错误故选：B11在矩形ABCD中，AB1，AD2，E在BD上，且AEBD，则（）ABCD解：建立如图所示的直角坐标系：则A（0，1），B（0，0），C（2，0），D（2，1），设E（x，y），所以且，解得，E（，），（，），（，），故选：C12如图，设ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，（acosC+ccosA）2bsinB，且CAB若点D是ABC外一点，DC1，DA2，则下列说法中错误的是（）AABC的内角BABC的内角C四边形ABCD面积无最大值D四边形ABCD面积的最大值为
16、解：，因此A，B正确；四边形ABCD面积等于SABC+SACD.+sinADCcosADC+sinADC+2sin（ADC）因此D正确，C错误故选：C二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.1312i解：故答案为：12i14已知|，+1，则向量，的夹角解：因为|，+1，所以11，所以cos，又0，所以故答案为：15数据10，10，9，7，6，5，4，3，2，2的第80百分位数是 9.5解：将数据从小到大排列：2，2，3，4，5，6，7，9，10，10，则i1080%8，故第80百分位数为故答案为：9.516如图，已知一个八面体的各条棱长均为2，四边形ABCD为正方形，给出下列说法：该八
17、面体的体积为；该八面体的外接球的表面积为8；E到平面ADF的距离为；EC与BF所成角为60其中正确的说法为（填序号）解：四棱锥EABCD的所有棱长为2，则斜高为，高为，则八面体的体积为，故错误；八面体的外接球球心为正方形ABCD对角线交点，可得外接球半径为，表面积为8，故正确；取AD的中点G，连接EG，FG，EF，得，AD平面EGF，过E作EHFG，交FG的延长线于H，又EHAD，ADFGG，故EH平面ADF，解得，E到平面ADF的距离为，故错误；EDBF，EC与BF所成角为CED60，故正确正确的说法为故答案为：三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17在a2+c2b
18、2ac，ccosA+acosC2bcosB，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并作答问题：在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，sinA2sinC，b2，且_求ABC的面积解：若选择条件，由余弦定理知又0B，得由sinA2sinC，及正弦定理，得a2c将a2c，和b2代入a2+c2b2ac，解得，所以，所以若选择条件，由正弦定理，得sinCcosA+sinAcosC2sinBcosB，所以sin（A+C）2sinBcosB由A+CB，得sinB2sinBcosB，由sinB0，解得又0B，得由余弦定理，得a2+c2b2ac由sinA2sinC，及正弦定理，得a2c将a2c和b2
19、，代人a2+c2b2ac，解得，所以，所以若选择条件，由正弦定理得cosBsinA，又因为A（0，），sinA0，所以，即又因为B（0，），所以由余弦定理，得a2+c2b2ac由sinA2sinC，及正弦定理，得a2c将a2c，和b2代人a2+c2b2ac，解得，所以，所以18如图，长方体ABCDA1B1C1D1中，ABAD1，AA12，点P为DD1的中点（1）求证：直线BD1平面PAC；（2）求异面直线BD1与AP所成角的大小【解答】（1）证明：设AC和BD交于点O，则O为BD的中点连结PO，又因为P是DD1的中点，所以POBD1又因为PO平面PAC，BD1平面PAC所以直线BD1平面PAC
20、（2）解：由（1）知，POBD1，所以APO即为异面直线BD1与AP所成的角因为，且POAO，所以又APO（0，90，所以APO30故异面直线BD1与AP所成角的大小为3019某校高二（9）班决定从a，b，c三名男生和d，e两名女生中随机选3名进入学生会（1）求“女生d被选中”的概率；（2）求“男生a和女生e恰好有一人被选中”的概率解：（1）从a，b，c三名男生和d，e两名女生中任选3名的可能选法有abc，abd，abe，acd，ace，ade，bcd，bce，bde，cde，共10种选法，其中女生d被选中的有abd，acd，ade，bcd，bde，cde，共6种选法，所以女生d被选中的概率；
21、（2）据（1）求解知，男生a和女生e恰好有一人被选中有abc，abd，acd，bce，bde，cde，共6种选法，所以“男生a和女生e恰好有一人被选中”的概率20如图，在四棱锥PABCD中，点E是底面ABCD对角线AC上一点，PE2，PCD是边长为2的正三角形，DECEBE，CED120（1）证明：PE平面ABCD；（2）若四边形ABED为平行四边形，求四棱锥PABCD的体积解：（1）证明：DCDPCP2，EDEC，CED120，EDEC2，PEED，PEEC，ED，EC是平面ABCD内的两条相交线，PE平面ABCD；（2）当四边形ABED为平行四边形时，BEDE，四边形ABED为菱形，结合C
22、ED120，可得：AE2，MD，SABCD2SACD24，VPABCD故四棱锥PABCD的体积为：21如图，在ABC中，AB2，DC，CB的垂直平分线交边AC于点D（1）求AD的长；（2）若ADAB，求sinACB的值解：（1）在ADB中，由余弦定理可得，整理得20AD264AD+350，即（2AD5）（10AD7）0，所以或；（2）因为ADAB，由（1）得，所以ACAD+DC4，在ABC中，由余弦定理得，所以，由，得，在ABC中，由正弦定理得，则，所以22某市供水管理部门随机抽取了2021年2月份200户居民的用水量，经过整理得到如下的频率分布直方图（1）求抽取的200户居民用水量的平均数；
23、（2）为了进一步了解用水量在6，8），8，10），10，12范围内的居民用水实际情况，决定用分层抽样的方法抽取6户进行电话采访（）各个范围各应抽取多少户？（）若从抽取的6户中随机抽取3户进行入户调查，求3户分别来自3个不同范围的概率解：（1）抽取的200户居民用水量的平均数+90.05+110.025）25.2（立方米）（2）（）将用水量在6，8），8，10），10，12范围内的居民数分成三层，各层频率分别为0.07520.150，0.05020.100，0.02520.050，所以用水量在6，8）范围内的应抽取（户），用水量在8，10）范围内的应抽取（户），用水量在10，12范围内的应抽取（
24、户）（）记“3户分别来自3个不同范围”为事件A，抽取的用水量在6，8）范围内的3户分别记为a1，a2，a3，抽取的用水量在8，10）范围内的2户分别记为b1，b2，抽取的用水量在10，12范围内的1户记为c，从6户中随机抽取3户的所有结果为（a1，a2，a3），（a1，a2，b1），（a1，a2，b2），（a1，a2，c），（a1，a3，b1），（a1，a3，b2），（a1，a3，c），（a1，b1，b2），（a1，b1，c），（a1，b2，c），（a2，a3，b1），（a2，a3，b2），（a2，a3，c），（a2，b1，b2），（a2，b1，c），（a2，b2，c），（a3，b1，b2），（a3，b1，c），（a3，b2，c），（b1，b2，c），共20种，其中3户分别来自3个不同范围的结果有6种，所以3户分别来自3个不同范围的概率
