1、2020-2021学年浙江省湖州市安吉县高一（下）期末数学试卷一选择题（共8小题，满分40分，每小题5分）1. 如果复数是纯虚数，那么实数m等于（ ）A. 1B. 0C. 0或1D. 0或12. 某校高一年级随机抽取15名男生，测得他们的身高数据，如下表所示：编号身高编号身高编号身高117361691116821797177121753175817513172417391741416951701018215176那么这组数据的第80百分位数是（ ）A. B. C. D. 3. 在正方体中，分别是棱的中点，则异面直线和所成角的大小是A. B. C. D. 4. 在中，则的值是（ ）A. B. C
2、. D. 5. 从装有两个白球和两个黄球（球除颜色外其他均相同）的口袋中任取2个球，以下给出了四组事件：至少有1个白球与至少有1个黄球；至少有1个黄球与都是黄球；恰有1个白球与恰有1个黄球；至少有1个黄球与都是白球其中互斥而不对立事件共有（ ）A. 0组B. 1组C. 2组D. 3组6. 已知向量，不共线，若，则（ ）A -12B. -9C. -6D. -37. 设a,b,c分别是的三个内角 所对的边，若, 则是 的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件8. 在三棱锥中，已知平面，则三棱锥的外接球的体积为（ ）A. B. C. D. 二多选题（共4
3、小题，满分20分，每小题5分）9. 给出如下数据：第一组：3，11，5，13，7，2，6，8，9；第二组：12，20，14，22，16，11，15，17，18.则这两组数据（ ）A. 平均数相等B. 中位数相等C. 极差相等D. 方差相等10. 下列对各事件发生的概率判断正确的是（ ）A. 某学生在上学的路上要经过4个路口，假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的，遇到红灯的概率都是，那么该生在上学路上到第3个路口首次遇到红灯的概率为B. 三人独立地破译一份密码，他们能单独译出的概率分别为，假设他们破译密码是彼此独立的，则此密码被破译的概率为C. 甲袋中有8个白球，4个红球，乙袋中有6个白球，6个
4、红球，从每袋中各任取一个球，则取到同色球的概率为D. 设两个独立事件A和B都不发生的概率为，A发生B不发生的概率与B发生A不发生的概率相同，则事件A发生的概率是11. 正方体的棱长为分别为的中点.则（ ）A 直线与直线AF垂直B. 直线与平面AEF平行C. 平面AEF截正方体所得的截面面积为D. 点和点D到平面AEF的距离相等12. 在中，分别是，的中点，且，则（ ）A. 面积最大值是12B. C. 不可能是5D. 三填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）13. 将一个边长为2的正三角形以其一边所在直线为旋转轴旋转一周，所得几何体的表面积为_.14. 若直线m与不重合的平面、所成的角相等为
5、，则与_15. 如图，在离地面高400的热气球上，观测到山顶C处的仰角为15，山脚A处的俯角为45，已知，求山的高度_.16. 已知单位向量，满足，记，则对任意R，的最小值是_四解答题（共6小题）17. 如图，在四棱锥中，O是边的中点，底面在底面中，（1）求证：平面；（2）求二面角的余弦值18. 在2019年女排世界杯中，中国女子排球队以11连胜的优异战绩成功夺冠，为祖国母亲七十华诞献上了一份厚礼.排球比赛采用5局3胜制，前4局比赛采用25分制，每个队只有赢得至少25分，并同时超过对方2分时，才胜1局；在决胜局（第五局）采用15分制，每个队只有赢得至少15分，并领先对方2分为胜.在每局比赛中，
6、发球方赢得此球后可得1分，并获得下一球的发球权，否则交换发球权，并且对方得1分.现有甲乙两队进行排球比赛：（1）若前三局比赛中甲已经赢两局，乙赢一局.接下来两队赢得每局比赛的概率均为，求甲队最后赢得整场比赛的概率；（2）若前四局比赛中甲、乙两队已经各赢两局比赛.在决胜局（第五局）中，两队当前的得分为甲、乙各14分，且甲已获得下一发球权.若甲发球时甲赢1分的概率为，乙发球时甲赢1分的概率为，得分者获得下一个球的发球权.设两队打了个球后甲赢得整场比赛，求x的取值及相应的概率p（x）.19. 某市统计局就某地居民的月收入调查了10000人，并根据所得数据画出样本的频率分布直方图（每个分组包括左端点，
7、不包括右端点，如第一组表示收入在）.（1）求居民收入在的频率；（2）根据频率分布直方图算出样本数据中位数；（3）为了分析居民的收入与年龄、职业等方面的关系，必须按月收入再从这10000人中按分层抽样方法抽出100人作进一步分析，则月收入在的这段应抽取多少人？20. 在中，角，的对边分别为，已知（）求的值；（）在，这三个条件中任选一个，补充在下列问题中，并解决问题若，_，求的周长21. 已知向量，（1）写出平面向量基本原理的内容，并由此说明能否成为一组基底；（2）若对于任意非0实数t，与均不共线，求实数k的取值范围22. 如图，三棱柱所有的棱长为2，M是棱BC的中点.（）求证：平面ABC;（）在
8、线段B1C是否存在一点P，使直线BP与平面A1BC 所成角的正弦值为? 若存在，求出CP的值; 若不存在，请说明理由.2020-2021学年浙江省湖州市安吉县高一（下）期末数学试卷 解析版一选择题（共8小题，满分40分，每小题5分）1. 如果复数是纯虚数，那么实数m等于（ ）A. 1B. 0C. 0或1D. 0或1【答案】D【解析】【分析】先对复数化简，然后使其实部为零，虚部不为零，从而可求出实数m的值【详解】解：，因复数为纯虚数，所以 且，解得或，故选：D2. 某校高一年级随机抽取15名男生，测得他们的身高数据，如下表所示：编号身高编号身高编号身高1173616911168217971771
9、21753175817513172417391741416951701018215176那么这组数据的第80百分位数是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】首先将15个数据按照从小到大的顺序排列，再按照百分位数公式计算.【详解】这15个数据按照从小到大排列，可得168,169,169，170,172,173,173,174,175，175,175,176,177,179,182，第80百分位数为第12项与第13项数据的平均数，即.故选：C3. 在正方体中，分别是棱的中点，则异面直线和所成角的大小是A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】平移到，平移到，则与所求的角即
10、为所求的角.【详解】如图所示，分别是棱的中点又，和所成的角为.故选D【点睛】本题考查异面直线所成的角，常用方法：1、平移直线到相交；2、向量法.4. 在中，则的值是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】由垂直关系可知数量积为零，由数量积的坐标运算可构造方程求得结果.【详解】，即，解得：.故选：.【点睛】本题考查根据向量的垂直关系求解参数值的问题，关键是明确两向量垂直，则数量积为零.5. 从装有两个白球和两个黄球（球除颜色外其他均相同）的口袋中任取2个球，以下给出了四组事件：至少有1个白球与至少有1个黄球；至少有1个黄球与都是黄球；恰有1个白球与恰有1个黄球；至少有1个黄球与都
11、是白球其中互斥而不对立的事件共有（ ）A. 0组B. 1组C. 2组D. 3组【答案】A【解析】【分析】利用互斥事件和对立事件的定义判断【详解】解：对于，至少有个白球包括1个白球1个黄球，2个都是白球；至少有1个黄球包括1个白球1个黄球，2个都是黄球，所以这两个事件有可能同时发生，所以不是互斥事件，对于，至少有1个黄球包括1个白球1个黄球，2个都是黄球，所以至少有1个黄球与都是黄球有可能同时发生，所以不是互斥事件，对于，恰有1个白球与恰有1个黄球是同一个事件，所以不是互斥事件，对于，至少有1个黄球包括1个白球1个黄球，2个都是黄球，与都是白球不可能同时发生，且一次试验中有一个必发生，所以是对立
12、事件，所以这4组事件中互斥而不对立的事件共有0组，故选：A6. 已知向量，不共线，若，则（ ）A. -12B. -9C. -6D. -3【答案】D【解析】分析】根据，由，利用待定系数法求解.【详解】已知向量，不共线，且，因为，所以，则，所以，解得，故选：D【点睛】本题主要考查平面向量共线的应用，还考查了运算求解的能力，属于基础题.7. 设a,b,c分别是的三个内角 所对的边，若, 则是 的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【详解】试题分析：因为，时，由正弦定理得，所以B=60或120，反之，时，由正弦定理得，A=30，故若,则
13、是的必要不充分条件，选B考点：本题主要考查差应用角的概念，正弦定理的应用点评：中档题，涉及充要条件的判定问题，往往综合性较强，涉及知识面广充要条件的判定方法有：定义法，等价关系法，集合关系法8. 在三棱锥中，已知平面，则三棱锥的外接球的体积为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据题意，得到该三棱锥是长方体的一个角，把三棱锥补成一个长方体，可得长方体的外接球和三棱锥的外接球为同一个球，结合长方体的对角线长，求得外接球的半径，进而求得球的体积，得到答案.【详解】如图所示，因为平面，平面，所以，同理可得，又因为，所以该三棱锥是长方体的一个角，把三棱锥补成一个长方体，可得长方体的
14、外接球和三棱锥的外接球为同一个球，又由长方体的对角线长为,所以外接球的半径为，可得外接球的体积为.故选：B.二多选题（共4小题，满分20分，每小题5分）9. 给出如下数据：第一组：3，11，5，13，7，2，6，8，9；第二组：12，20，14，22，16，11，15，17，18.则这两组数据的（ ）A. 平均数相等B. 中位数相等C. 极差相等D. 方差相等【答案】CD【解析】【分析】由题可得，第二组的每个数据都是第一组对应数据加上9得到，根据数据特征即可得出结论.【详解】由题可得，第二组的每个数据都是第一组对应数据加上9得到，因此可以判断第二组的平均数和中位数都比第一组多9，而极差和方差不
15、变.故选：CD.10. 下列对各事件发生的概率判断正确的是（ ）A. 某学生在上学的路上要经过4个路口，假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的，遇到红灯的概率都是，那么该生在上学路上到第3个路口首次遇到红灯的概率为B. 三人独立地破译一份密码，他们能单独译出的概率分别为，假设他们破译密码是彼此独立的，则此密码被破译的概率为C. 甲袋中有8个白球，4个红球，乙袋中有6个白球，6个红球，从每袋中各任取一个球，则取到同色球的概率为D. 设两个独立事件A和B都不发生的概率为，A发生B不发生的概率与B发生A不发生的概率相同，则事件A发生的概率是【答案】AC【解析】【分析】根据每个选项由题意进行计算，从而进
16、行判断即可【详解】对于A,该生在第3个路口首次遇到红灯的情况为前2个路口不是红灯,第3个路口是红灯,所以概率为,故A正确；对于B,用A、B、C分別表示甲、乙、丙三人能破译出密码,则,“三个人都不能破译出密码”发生的概率为,所以此密码被破译的概率为,故B不正确；对于C,设“从甲袋中取到白球”为事件A,则,设“从乙袋中取到白球”为事件B,则,故取到同色球的概率为,故C正确；对于D,易得,即,即,又,故D错误故选AC【点睛】本题考查古典概型,考查事件的积,考查独立事件,熟练掌握概率的求解公式是解题关键11. 正方体的棱长为分别为的中点.则（ ）A. 直线与直线AF垂直B. 直线与平面AEF平行C.
17、平面AEF截正方体所得的截面面积为D. 点和点D到平面AEF的距离相等【答案】BCD【解析】【分析】根据异面直线所成角的定义判断A，由面面平行的性质定理判断B，作出完整的截面，判断CD【详解】因为，而与显然不垂直，因此与不垂直，A错；取中点，连接，由分别是中点，得，又，是平行四边形，所以，平面，所以平面，平面，而，平面，所以平面平面，又平面，所以平面B正确；由正方体性质，连接，则截面即为四边形，它是等腰梯形，等腰梯形的高为，截面面积为，C正确，设，易知是的中点，所以两点到平面的距离相等D正确故选：BCD【点睛】关键点点睛：本题考查正方体的性质考查异面直线所成角的定义，面面平行的性质定理，考查正
18、方体的截面问题在证明面面平行时，注意判定定理的条件，对正方体的截面，解决问题的最好方法是作出完整的截面，然后根据正方体的性质确定截面的性质，从而完成求解12. 在中，分别是，的中点，且，则（ ）A. 面积最大值是12B. C. 不可能是5D. 【答案】BD【解析】【分析】A选项结合三角形的面积公式以及平面图形的几何性质即可判断；B选项结合余弦定理与均值不等式即可判断；C选项将表示为，结合平面向量的数量积的定义以及运算律，求得，即可判断；D选项将表示为，进而求出范围即可判断.【详解】设中，角所对应的边分别为，A：，当时，等号成立，所以面积最大值是6，故A错误；B：在中，当且仅当，即时，等号成立，
19、故B错误；C：，因为，所以，所以，则，故C正确；D：，且，所以，又因为，所以，故D正确；故选：BD.三填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）13. 将一个边长为2的正三角形以其一边所在直线为旋转轴旋转一周，所得几何体的表面积为_.【答案】【解析】【分析】根据正三角形绕一边所在直线为旋转轴旋转一周，得到几何体是两个同底的圆锥求解.【详解】如图所示：正三角形绕AB所在直线为旋转轴旋转一周，得到几何体是两个同底的圆锥，圆锥的底面半径为,所以所得几何体的表面积为，故答案为：14. 若直线m与不重合的平面、所成的角相等为，则与_【答案】平行或相交.【解析】【分析】由直线与平面、平面与平面的位置关系结
20、合图形可得答案.【详解】如下图正方体中，直线平面，直线平面，平面平面；如下图是直线与平面所成的角，是直线与平面所成的角，平面与平面相交，所以直线m与不重合的平面、所成的角相等为，则与平行或相交，故答案为：平行或相交.15. 如图，在离地面高400的热气球上，观测到山顶C处的仰角为15，山脚A处的俯角为45，已知，求山的高度_.【答案】【解析】【分析】先根据已知条件求解出的大小，然后在中利用正弦定理求解出，再根据的关系求解出.【详解】因为，所以，所以，又因为，所以，又因为，所以，所以，故答案为：.【点睛】关键点点睛：解答本题的关键是将中的角和边先求解出来，然后利用正弦定理求解出的值，再借助直角三
21、角形中边的关系达到求解高度的目的.16. 已知单位向量，满足，记，则对任意R，的最小值是_【答案】【解析】【分析】通过建立平面直角坐标系，表示出A，B，E，P的坐标，C在单位圆上运动，表示出所需向量，做出点P关于直线AE的对称点，根据直线AE的倾斜角及对称点的中点在直线上的问题联立方程组，解得对称点的坐标，从而代入求出所需【详解】设建立如图所示的直角坐标系, 则，在单位圆上运动取，直线的方程为：，已知，设则，作轴于点，则又因此作点关于直线的对称点，设则，解得连接，则于是当（），对应，且为与单位圆交点时取得最小值为故答案为：【点睛】本题考查了平面向量的综合应用，属于中难题，熟知平面向量线性计算，
22、坐标表示等是解题的关键四解答题（共6小题）17. 如图，在四棱锥中，O是边的中点，底面在底面中，（1）求证：平面；（2）求二面角的余弦值【答案】（1）证明见解析；（2）【解析】【分析】（1）证明后可证线面平行；（2）以为轴建立空间直角坐标系，用空间向量法求二面角【详解】（1）由题意，又，所以是平行四边形，所以，又平面，平面，所以平面；（2），所以是平行四边形，所以，而，所以， 以为轴建立空间直角坐标系，如图，则，设平面的一个法向量为，则，取，则，即，易知平面的一个法向量是，所以，所以二面角的余弦值为【点睛】方法点睛：本题考查证明线面平行，求二面角求二面角的方法：（1）几何法（定义法）：根据定义
23、作出二面角的平面角并证明，然后解三角形得出结论；（2）空间向量法：建立空间直角坐标系，写出各点为坐标，求出二面角两个面的法向量，由两个平面法向量的夹角得二面角（它们相等或互补）18. 在2019年女排世界杯中，中国女子排球队以11连胜的优异战绩成功夺冠，为祖国母亲七十华诞献上了一份厚礼.排球比赛采用5局3胜制，前4局比赛采用25分制，每个队只有赢得至少25分，并同时超过对方2分时，才胜1局；在决胜局（第五局）采用15分制，每个队只有赢得至少15分，并领先对方2分为胜.在每局比赛中，发球方赢得此球后可得1分，并获得下一球的发球权，否则交换发球权，并且对方得1分.现有甲乙两队进行排球比赛：（1）若
24、前三局比赛中甲已经赢两局，乙赢一局.接下来两队赢得每局比赛的概率均为，求甲队最后赢得整场比赛的概率；（2）若前四局比赛中甲、乙两队已经各赢两局比赛.在决胜局（第五局）中，两队当前的得分为甲、乙各14分，且甲已获得下一发球权.若甲发球时甲赢1分的概率为，乙发球时甲赢1分的概率为，得分者获得下一个球的发球权.设两队打了个球后甲赢得整场比赛，求x的取值及相应的概率p（x）.【答案】（1）（2）x的取值为2或4, .【解析】【分析】（1）先确定甲队最后赢得整场比赛的情况，再分别根据独立事件概率乘法公式求解，最后根据互斥事件概率加法公式得结果；（2）先根据比赛规则确定x的取值，再确定甲赢得整场比赛的情况
25、，最后根据独立事件概率乘法公式以及互斥事件概率加法公式得结果.【详解】（1）甲队最后赢得整场比赛的情况为第四局赢或第四局输第五局赢，所以甲队最后赢得整场比赛的概率为，（2）根据比赛规则，x的取值只能为2或4,对应比分为两队打了2个球后甲赢得整场比赛，即打第一个球甲发球甲得分，打第二个球甲发球甲得分，此时概率；两队打了4个球后甲赢得整场比赛，即打第一个球甲发球甲得分，打第二个球甲发球甲失分，打第三个球乙发球甲得分，打第四个球甲发球甲得分，或打第一个球甲发球甲失分，打第二个球乙发球甲得分，打第三个球甲发球甲得分，打第四个球甲发球甲得分，此时概率为.【点睛】本题考查独立事件概率乘法公式以及互斥事件概
26、率加法公式，考查综合分析求解能力，属中档题.19. 某市统计局就某地居民的月收入调查了10000人，并根据所得数据画出样本的频率分布直方图（每个分组包括左端点，不包括右端点，如第一组表示收入在）.（1）求居民收入在的频率；（2）根据频率分布直方图算出样本数据的中位数；（3）为了分析居民的收入与年龄、职业等方面的关系，必须按月收入再从这10000人中按分层抽样方法抽出100人作进一步分析，则月收入在的这段应抽取多少人？【答案】（1）；（2）；（3）【解析】【分析】（1）根据频率小矩形的高组距来求；（2）根据中位数的左右两边的矩形的面积和相等，所以只需求出从左开始面积和等于0.5的底边横坐标的值即
27、可；（3）求出月收入在，的人数，用分层抽样的抽取比例乘以人数，可得答案【详解】解：（1）月收入在的频率为；（2）从左数第一组的频率为；第二组的频率为；第三组的频率为；中位数位于第三组，设中位数为，则，中位数为（元（3）月收入在的频数为（人，抽取的样本容量为100抽取比例为，月收入在的这段应抽取（人【点睛】本题考查了频率分布直方图，分层抽样方法，是统计常规题型，解答此类题的关键是利用频率分布直方图求频数或频率20. 在中，角，的对边分别为，已知（）求的值；（）在，这三个条件中任选一个，补充在下列问题中，并解决问题若，_，求的周长【答案】（）；（）若选择，的周长为9. 若选择，的周长为.若选择，的
28、周长为【解析】【分析】（）利用正弦定理边化角，结合两角差的余弦公式，辅助角公式，可得，结合角B的范围，即可求得答案；（）若选择，利用面积公式，可求得ac的值，利用余弦定理，可求得a+c的值，即可得答案；若选择，利用正弦定理可求得a的值，利用余弦定理，可求得c的值，即可得答案；若选择，利用余弦定理，可求得c的值，进而可得a的值，即可得答案.【详解】（）因为，利用正弦定理边化角可得：，因为，所以，所以，即，所以，又，则，所以，所以，即，因为，则，所以或（舍），解得.（）若选择，则，所以，又，且，所以，解得a+c=6，所以的周长=6+3=9.若选择：因为，所以，又，因为，解得，所以的周长=；若选择：
29、，因为，解得，所以，所以的周长【点睛】解题的关键是熟练掌握三角恒等变换公式、正余弦定理、面积公式等知识，根据三角函数值求角度时，需注意角度的范围，再求解，考查计算化简的能力，属中档题.21. 已知向量，（1）写出平面向量基本原理的内容，并由此说明能否成为一组基底；（2）若对于任意非0实数t，与均不共线，求实数k的取值范围【答案】（1）平面向量基本原理：如果是同一平面内两个不共线的向量，那么对这一平面内任意向量，有且仅有一对实数，使得；可以成为一组基底；（2）.【解析】【分析】（1）根据平面向量基本原理即可得到答案；（2）先假设与共线，然后建立等式关系，若不共线，则等式不成立，进而通过分参求出答
30、案.【详解】（1）平面向量基本原理：如果是同一平面内两个不共线的向量，那么对这一平面内任意向量，有且仅有一对实数，使得.因，所以不共线，可以成为一组基底.（2）若与共线，则存在，使得，化简得：，而与均不共线，所以对于任意非0实数t，方程无实根，所以，因为，所以.22. 如图，三棱柱所有的棱长为2，M是棱BC的中点.（）求证：平面ABC;（）在线段B1C是否存在一点P，使直线BP与平面A1BC 所成角的正弦值为? 若存在，求出CP的值; 若不存在，请说明理由.【答案】（）证明见解析；（）存在，.【解析】【分析】（1）由题意，证明与，根据线面垂直的判定定理即可证明平面；（2）建立恰当的空间直角坐标系，令，求出所需点的坐标，向量的坐标，法向量的坐标，根据向量法求解线面角即可.【详解】解：（1）证明：，是中点，又，平面，（2）建立如图所示的空间直角坐标系，由（1）知平面A1BC的法向量为，令，则，设直线BP与平面A1BC 所成角为，则,解得或（舍），所以当时，满足题意，此时.
