1、2020-2021学年浙江省湖州市安吉县高一(下)期末数学试卷一选择题(共8小题,满分40分,每小题5分)1. 如果复数是纯虚数,那么实数m等于( )A. 1B. 0C. 0或1D. 0或12. 某校高一年级随机抽取15名男生,测得他们的身高数据,如下表所示:编号身高编号身高编号身高117361691116821797177121753175817513172417391741416951701018215176那么这组数据的第80百分位数是( )A. B. C. D. 3. 在正方体中,分别是棱的中点,则异面直线和所成角的大小是A. B. C. D. 4. 在中,则的值是( )A. B. C
2、. D. 5. 从装有两个白球和两个黄球(球除颜色外其他均相同)的口袋中任取2个球,以下给出了四组事件:至少有1个白球与至少有1个黄球;至少有1个黄球与都是黄球;恰有1个白球与恰有1个黄球;至少有1个黄球与都是白球其中互斥而不对立事件共有( )A. 0组B. 1组C. 2组D. 3组6. 已知向量,不共线,若,则( )A -12B. -9C. -6D. -37. 设a,b,c分别是的三个内角 所对的边,若, 则是 的()A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件8. 在三棱锥中,已知平面,则三棱锥的外接球的体积为( )A. B. C. D. 二多选题(共4
3、小题,满分20分,每小题5分)9. 给出如下数据:第一组:3,11,5,13,7,2,6,8,9;第二组:12,20,14,22,16,11,15,17,18.则这两组数据( )A. 平均数相等B. 中位数相等C. 极差相等D. 方差相等10. 下列对各事件发生的概率判断正确的是( )A. 某学生在上学的路上要经过4个路口,假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的,遇到红灯的概率都是,那么该生在上学路上到第3个路口首次遇到红灯的概率为B. 三人独立地破译一份密码,他们能单独译出的概率分别为,假设他们破译密码是彼此独立的,则此密码被破译的概率为C. 甲袋中有8个白球,4个红球,乙袋中有6个白球,6个
4、红球,从每袋中各任取一个球,则取到同色球的概率为D. 设两个独立事件A和B都不发生的概率为,A发生B不发生的概率与B发生A不发生的概率相同,则事件A发生的概率是11. 正方体的棱长为分别为的中点.则( )A 直线与直线AF垂直B. 直线与平面AEF平行C. 平面AEF截正方体所得的截面面积为D. 点和点D到平面AEF的距离相等12. 在中,分别是,的中点,且,则( )A. 面积最大值是12B. C. 不可能是5D. 三填空题(共4小题,满分20分,每小题5分)13. 将一个边长为2的正三角形以其一边所在直线为旋转轴旋转一周,所得几何体的表面积为_.14. 若直线m与不重合的平面、所成的角相等为
5、,则与_15. 如图,在离地面高400的热气球上,观测到山顶C处的仰角为15,山脚A处的俯角为45,已知,求山的高度_.16. 已知单位向量,满足,记,则对任意R,的最小值是_四解答题(共6小题)17. 如图,在四棱锥中,O是边的中点,底面在底面中,(1)求证:平面;(2)求二面角的余弦值18. 在2019年女排世界杯中,中国女子排球队以11连胜的优异战绩成功夺冠,为祖国母亲七十华诞献上了一份厚礼.排球比赛采用5局3胜制,前4局比赛采用25分制,每个队只有赢得至少25分,并同时超过对方2分时,才胜1局;在决胜局(第五局)采用15分制,每个队只有赢得至少15分,并领先对方2分为胜.在每局比赛中,
6、发球方赢得此球后可得1分,并获得下一球的发球权,否则交换发球权,并且对方得1分.现有甲乙两队进行排球比赛:(1)若前三局比赛中甲已经赢两局,乙赢一局.接下来两队赢得每局比赛的概率均为,求甲队最后赢得整场比赛的概率;(2)若前四局比赛中甲、乙两队已经各赢两局比赛.在决胜局(第五局)中,两队当前的得分为甲、乙各14分,且甲已获得下一发球权.若甲发球时甲赢1分的概率为,乙发球时甲赢1分的概率为,得分者获得下一个球的发球权.设两队打了个球后甲赢得整场比赛,求x的取值及相应的概率p(x).19. 某市统计局就某地居民的月收入调查了10000人,并根据所得数据画出样本的频率分布直方图(每个分组包括左端点,
7、不包括右端点,如第一组表示收入在).(1)求居民收入在的频率;(2)根据频率分布直方图算出样本数据中位数;(3)为了分析居民的收入与年龄、职业等方面的关系,必须按月收入再从这10000人中按分层抽样方法抽出100人作进一步分析,则月收入在的这段应抽取多少人?20. 在中,角,的对边分别为,已知()求的值;()在,这三个条件中任选一个,补充在下列问题中,并解决问题若,_,求的周长21. 已知向量,(1)写出平面向量基本原理的内容,并由此说明能否成为一组基底;(2)若对于任意非0实数t,与均不共线,求实数k的取值范围22. 如图,三棱柱所有的棱长为2,M是棱BC的中点.()求证:平面ABC;()在
8、线段B1C是否存在一点P,使直线BP与平面A1BC 所成角的正弦值为? 若存在,求出CP的值; 若不存在,请说明理由.2020-2021学年浙江省湖州市安吉县高一(下)期末数学试卷 解析版一选择题(共8小题,满分40分,每小题5分)1. 如果复数是纯虚数,那么实数m等于( )A. 1B. 0C. 0或1D. 0或1【答案】D【解析】【分析】先对复数化简,然后使其实部为零,虚部不为零,从而可求出实数m的值【详解】解:,因复数为纯虚数,所以 且,解得或,故选:D2. 某校高一年级随机抽取15名男生,测得他们的身高数据,如下表所示:编号身高编号身高编号身高1173616911168217971771
9、21753175817513172417391741416951701018215176那么这组数据的第80百分位数是( )A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】首先将15个数据按照从小到大的顺序排列,再按照百分位数公式计算.【详解】这15个数据按照从小到大排列,可得168,169,169,170,172,173,173,174,175,175,175,176,177,179,182,第80百分位数为第12项与第13项数据的平均数,即.故选:C3. 在正方体中,分别是棱的中点,则异面直线和所成角的大小是A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】平移到,平移到,则与所求的角即
10、为所求的角.【详解】如图所示,分别是棱的中点又,和所成的角为.故选D【点睛】本题考查异面直线所成的角,常用方法:1、平移直线到相交;2、向量法.4. 在中,则的值是( )A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】由垂直关系可知数量积为零,由数量积的坐标运算可构造方程求得结果.【详解】,即,解得:.故选:.【点睛】本题考查根据向量的垂直关系求解参数值的问题,关键是明确两向量垂直,则数量积为零.5. 从装有两个白球和两个黄球(球除颜色外其他均相同)的口袋中任取2个球,以下给出了四组事件:至少有1个白球与至少有1个黄球;至少有1个黄球与都是黄球;恰有1个白球与恰有1个黄球;至少有1个黄球与都
11、是白球其中互斥而不对立的事件共有( )A. 0组B. 1组C. 2组D. 3组【答案】A【解析】【分析】利用互斥事件和对立事件的定义判断【详解】解:对于,至少有个白球包括1个白球1个黄球,2个都是白球;至少有1个黄球包括1个白球1个黄球,2个都是黄球,所以这两个事件有可能同时发生,所以不是互斥事件,对于,至少有1个黄球包括1个白球1个黄球,2个都是黄球,所以至少有1个黄球与都是黄球有可能同时发生,所以不是互斥事件,对于,恰有1个白球与恰有1个黄球是同一个事件,所以不是互斥事件,对于,至少有1个黄球包括1个白球1个黄球,2个都是黄球,与都是白球不可能同时发生,且一次试验中有一个必发生,所以是对立
12、事件,所以这4组事件中互斥而不对立的事件共有0组,故选:A6. 已知向量,不共线,若,则( )A. -12B. -9C. -6D. -3【答案】D【解析】分析】根据,由,利用待定系数法求解.【详解】已知向量,不共线,且,因为,所以,则,所以,解得,故选:D【点睛】本题主要考查平面向量共线的应用,还考查了运算求解的能力,属于基础题.7. 设a,b,c分别是的三个内角 所对的边,若, 则是 的()A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【详解】试题分析:因为,时,由正弦定理得,所以B=60或120,反之,时,由正弦定理得,A=30,故若,则
13、是的必要不充分条件,选B考点:本题主要考查差应用角的概念,正弦定理的应用点评:中档题,涉及充要条件的判定问题,往往综合性较强,涉及知识面广充要条件的判定方法有:定义法,等价关系法,集合关系法8. 在三棱锥中,已知平面,则三棱锥的外接球的体积为( )A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据题意,得到该三棱锥是长方体的一个角,把三棱锥补成一个长方体,可得长方体的外接球和三棱锥的外接球为同一个球,结合长方体的对角线长,求得外接球的半径,进而求得球的体积,得到答案.【详解】如图所示,因为平面,平面,所以,同理可得,又因为,所以该三棱锥是长方体的一个角,把三棱锥补成一个长方体,可得长方体的
14、外接球和三棱锥的外接球为同一个球,又由长方体的对角线长为,所以外接球的半径为,可得外接球的体积为.故选:B.二多选题(共4小题,满分20分,每小题5分)9. 给出如下数据:第一组:3,11,5,13,7,2,6,8,9;第二组:12,20,14,22,16,11,15,17,18.则这两组数据的( )A. 平均数相等B. 中位数相等C. 极差相等D. 方差相等【答案】CD【解析】【分析】由题可得,第二组的每个数据都是第一组对应数据加上9得到,根据数据特征即可得出结论.【详解】由题可得,第二组的每个数据都是第一组对应数据加上9得到,因此可以判断第二组的平均数和中位数都比第一组多9,而极差和方差不
15、变.故选:CD.10. 下列对各事件发生的概率判断正确的是( )A. 某学生在上学的路上要经过4个路口,假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的,遇到红灯的概率都是,那么该生在上学路上到第3个路口首次遇到红灯的概率为B. 三人独立地破译一份密码,他们能单独译出的概率分别为,假设他们破译密码是彼此独立的,则此密码被破译的概率为C. 甲袋中有8个白球,4个红球,乙袋中有6个白球,6个红球,从每袋中各任取一个球,则取到同色球的概率为D. 设两个独立事件A和B都不发生的概率为,A发生B不发生的概率与B发生A不发生的概率相同,则事件A发生的概率是【答案】AC【解析】【分析】根据每个选项由题意进行计算,从而进
16、行判断即可【详解】对于A,该生在第3个路口首次遇到红灯的情况为前2个路口不是红灯,第3个路口是红灯,所以概率为,故A正确;对于B,用A、B、C分別表示甲、乙、丙三人能破译出密码,则,“三个人都不能破译出密码”发生的概率为,所以此密码被破译的概率为,故B不正确;对于C,设“从甲袋中取到白球”为事件A,则,设“从乙袋中取到白球”为事件B,则,故取到同色球的概率为,故C正确;对于D,易得,即,即,又,故D错误故选AC【点睛】本题考查古典概型,考查事件的积,考查独立事件,熟练掌握概率的求解公式是解题关键11. 正方体的棱长为分别为的中点.则( )A. 直线与直线AF垂直B. 直线与平面AEF平行C.
17、平面AEF截正方体所得的截面面积为D. 点和点D到平面AEF的距离相等【答案】BCD【解析】【分析】根据异面直线所成角的定义判断A,由面面平行的性质定理判断B,作出完整的截面,判断CD【详解】因为,而与显然不垂直,因此与不垂直,A错;取中点,连接,由分别是中点,得,又,是平行四边形,所以,平面,所以平面,平面,而,平面,所以平面平面,又平面,所以平面B正确;由正方体性质,连接,则截面即为四边形,它是等腰梯形,等腰梯形的高为,截面面积为,C正确,设,易知是的中点,所以两点到平面的距离相等D正确故选:BCD【点睛】关键点点睛:本题考查正方体的性质考查异面直线所成角的定义,面面平行的性质定理,考查正
18、方体的截面问题在证明面面平行时,注意判定定理的条件,对正方体的截面,解决问题的最好方法是作出完整的截面,然后根据正方体的性质确定截面的性质,从而完成求解12. 在中,分别是,的中点,且,则( )A. 面积最大值是12B. C. 不可能是5D. 【答案】BD【解析】【分析】A选项结合三角形的面积公式以及平面图形的几何性质即可判断;B选项结合余弦定理与均值不等式即可判断;C选项将表示为,结合平面向量的数量积的定义以及运算律,求得,即可判断;D选项将表示为,进而求出范围即可判断.【详解】设中,角所对应的边分别为,A:,当时,等号成立,所以面积最大值是6,故A错误;B:在中,当且仅当,即时,等号成立,
19、故B错误;C:,因为,所以,所以,则,故C正确;D:,且,所以,又因为,所以,故D正确;故选:BD.三填空题(共4小题,满分20分,每小题5分)13. 将一个边长为2的正三角形以其一边所在直线为旋转轴旋转一周,所得几何体的表面积为_.【答案】【解析】【分析】根据正三角形绕一边所在直线为旋转轴旋转一周,得到几何体是两个同底的圆锥求解.【详解】如图所示:正三角形绕AB所在直线为旋转轴旋转一周,得到几何体是两个同底的圆锥,圆锥的底面半径为,所以所得几何体的表面积为,故答案为:14. 若直线m与不重合的平面、所成的角相等为,则与_【答案】平行或相交.【解析】【分析】由直线与平面、平面与平面的位置关系结
20、合图形可得答案.【详解】如下图正方体中,直线平面,直线平面,平面平面;如下图是直线与平面所成的角,是直线与平面所成的角,平面与平面相交,所以直线m与不重合的平面、所成的角相等为,则与平行或相交,故答案为:平行或相交.15. 如图,在离地面高400的热气球上,观测到山顶C处的仰角为15,山脚A处的俯角为45,已知,求山的高度_.【答案】【解析】【分析】先根据已知条件求解出的大小,然后在中利用正弦定理求解出,再根据的关系求解出.【详解】因为,所以,所以,又因为,所以,又因为,所以,所以,故答案为:.【点睛】关键点点睛:解答本题的关键是将中的角和边先求解出来,然后利用正弦定理求解出的值,再借助直角三
21、角形中边的关系达到求解高度的目的.16. 已知单位向量,满足,记,则对任意R,的最小值是_【答案】【解析】【分析】通过建立平面直角坐标系,表示出A,B,E,P的坐标,C在单位圆上运动,表示出所需向量,做出点P关于直线AE的对称点,根据直线AE的倾斜角及对称点的中点在直线上的问题联立方程组,解得对称点的坐标,从而代入求出所需【详解】设建立如图所示的直角坐标系, 则,在单位圆上运动取,直线的方程为:,已知,设则,作轴于点,则又因此作点关于直线的对称点,设则,解得连接,则于是当(),对应,且为与单位圆交点时取得最小值为故答案为:【点睛】本题考查了平面向量的综合应用,属于中难题,熟知平面向量线性计算,
22、坐标表示等是解题的关键四解答题(共6小题)17. 如图,在四棱锥中,O是边的中点,底面在底面中,(1)求证:平面;(2)求二面角的余弦值【答案】(1)证明见解析;(2)【解析】【分析】(1)证明后可证线面平行;(2)以为轴建立空间直角坐标系,用空间向量法求二面角【详解】(1)由题意,又,所以是平行四边形,所以,又平面,平面,所以平面;(2),所以是平行四边形,所以,而,所以, 以为轴建立空间直角坐标系,如图,则,设平面的一个法向量为,则,取,则,即,易知平面的一个法向量是,所以,所以二面角的余弦值为【点睛】方法点睛:本题考查证明线面平行,求二面角求二面角的方法:(1)几何法(定义法):根据定义
23、作出二面角的平面角并证明,然后解三角形得出结论;(2)空间向量法:建立空间直角坐标系,写出各点为坐标,求出二面角两个面的法向量,由两个平面法向量的夹角得二面角(它们相等或互补)18. 在2019年女排世界杯中,中国女子排球队以11连胜的优异战绩成功夺冠,为祖国母亲七十华诞献上了一份厚礼.排球比赛采用5局3胜制,前4局比赛采用25分制,每个队只有赢得至少25分,并同时超过对方2分时,才胜1局;在决胜局(第五局)采用15分制,每个队只有赢得至少15分,并领先对方2分为胜.在每局比赛中,发球方赢得此球后可得1分,并获得下一球的发球权,否则交换发球权,并且对方得1分.现有甲乙两队进行排球比赛:(1)若
24、前三局比赛中甲已经赢两局,乙赢一局.接下来两队赢得每局比赛的概率均为,求甲队最后赢得整场比赛的概率;(2)若前四局比赛中甲、乙两队已经各赢两局比赛.在决胜局(第五局)中,两队当前的得分为甲、乙各14分,且甲已获得下一发球权.若甲发球时甲赢1分的概率为,乙发球时甲赢1分的概率为,得分者获得下一个球的发球权.设两队打了个球后甲赢得整场比赛,求x的取值及相应的概率p(x).【答案】(1)(2)x的取值为2或4, .【解析】【分析】(1)先确定甲队最后赢得整场比赛的情况,再分别根据独立事件概率乘法公式求解,最后根据互斥事件概率加法公式得结果;(2)先根据比赛规则确定x的取值,再确定甲赢得整场比赛的情况
25、,最后根据独立事件概率乘法公式以及互斥事件概率加法公式得结果.【详解】(1)甲队最后赢得整场比赛的情况为第四局赢或第四局输第五局赢,所以甲队最后赢得整场比赛的概率为,(2)根据比赛规则,x的取值只能为2或4,对应比分为两队打了2个球后甲赢得整场比赛,即打第一个球甲发球甲得分,打第二个球甲发球甲得分,此时概率;两队打了4个球后甲赢得整场比赛,即打第一个球甲发球甲得分,打第二个球甲发球甲失分,打第三个球乙发球甲得分,打第四个球甲发球甲得分,或打第一个球甲发球甲失分,打第二个球乙发球甲得分,打第三个球甲发球甲得分,打第四个球甲发球甲得分,此时概率为.【点睛】本题考查独立事件概率乘法公式以及互斥事件概
26、率加法公式,考查综合分析求解能力,属中档题.19. 某市统计局就某地居民的月收入调查了10000人,并根据所得数据画出样本的频率分布直方图(每个分组包括左端点,不包括右端点,如第一组表示收入在).(1)求居民收入在的频率;(2)根据频率分布直方图算出样本数据的中位数;(3)为了分析居民的收入与年龄、职业等方面的关系,必须按月收入再从这10000人中按分层抽样方法抽出100人作进一步分析,则月收入在的这段应抽取多少人?【答案】(1);(2);(3)【解析】【分析】(1)根据频率小矩形的高组距来求;(2)根据中位数的左右两边的矩形的面积和相等,所以只需求出从左开始面积和等于0.5的底边横坐标的值即
27、可;(3)求出月收入在,的人数,用分层抽样的抽取比例乘以人数,可得答案【详解】解:(1)月收入在的频率为;(2)从左数第一组的频率为;第二组的频率为;第三组的频率为;中位数位于第三组,设中位数为,则,中位数为(元(3)月收入在的频数为(人,抽取的样本容量为100抽取比例为,月收入在的这段应抽取(人【点睛】本题考查了频率分布直方图,分层抽样方法,是统计常规题型,解答此类题的关键是利用频率分布直方图求频数或频率20. 在中,角,的对边分别为,已知()求的值;()在,这三个条件中任选一个,补充在下列问题中,并解决问题若,_,求的周长【答案】();()若选择,的周长为9. 若选择,的周长为.若选择,的
28、周长为【解析】【分析】()利用正弦定理边化角,结合两角差的余弦公式,辅助角公式,可得,结合角B的范围,即可求得答案;()若选择,利用面积公式,可求得ac的值,利用余弦定理,可求得a+c的值,即可得答案;若选择,利用正弦定理可求得a的值,利用余弦定理,可求得c的值,即可得答案;若选择,利用余弦定理,可求得c的值,进而可得a的值,即可得答案.【详解】()因为,利用正弦定理边化角可得:,因为,所以,所以,即,所以,又,则,所以,所以,即,因为,则,所以或(舍),解得.()若选择,则,所以,又,且,所以,解得a+c=6,所以的周长=6+3=9.若选择:因为,所以,又,因为,解得,所以的周长=;若选择:
29、,因为,解得,所以,所以的周长【点睛】解题的关键是熟练掌握三角恒等变换公式、正余弦定理、面积公式等知识,根据三角函数值求角度时,需注意角度的范围,再求解,考查计算化简的能力,属中档题.21. 已知向量,(1)写出平面向量基本原理的内容,并由此说明能否成为一组基底;(2)若对于任意非0实数t,与均不共线,求实数k的取值范围【答案】(1)平面向量基本原理:如果是同一平面内两个不共线的向量,那么对这一平面内任意向量,有且仅有一对实数,使得;可以成为一组基底;(2).【解析】【分析】(1)根据平面向量基本原理即可得到答案;(2)先假设与共线,然后建立等式关系,若不共线,则等式不成立,进而通过分参求出答
30、案.【详解】(1)平面向量基本原理:如果是同一平面内两个不共线的向量,那么对这一平面内任意向量,有且仅有一对实数,使得.因,所以不共线,可以成为一组基底.(2)若与共线,则存在,使得,化简得:,而与均不共线,所以对于任意非0实数t,方程无实根,所以,因为,所以.22. 如图,三棱柱所有的棱长为2,M是棱BC的中点.()求证:平面ABC;()在线段B1C是否存在一点P,使直线BP与平面A1BC 所成角的正弦值为? 若存在,求出CP的值; 若不存在,请说明理由.【答案】()证明见解析;()存在,.【解析】【分析】(1)由题意,证明与,根据线面垂直的判定定理即可证明平面;(2)建立恰当的空间直角坐标系,令,求出所需点的坐标,向量的坐标,法向量的坐标,根据向量法求解线面角即可.【详解】解:(1)证明:,是中点,又,平面,(2)建立如图所示的空间直角坐标系,由(1)知平面A1BC的法向量为,令,则,设直线BP与平面A1BC 所成角为,则,解得或(舍),所以当时,满足题意,此时.