1、学案5 函数与方程 填填知学情课内考点突破规 律 探 究考 纲 解 读考 向 预 测考点1考点2考点3 考点4 返回目录考 纲 解 读 结合二次函数的图象,了解函数的零点与方程根的联系,判断一元二次方程根的存在性与根的个数.函数与方程返回目录1.函数与方程中函数的零点及二分法是新增内容,是高考必考内容.2.高考中多以难度较低的选择、填空为主，结合函数图象，考查图象交点，以及方程的根的存在性问题.3.在解答题中亦有考查,多定位于数形结合、分类讨论、函数与方程思想的应用,属于易错题型.4.方程与函数的相互转化，在以前的高考中都出现过，如“三个二次”的相互转化，指数、对数方程等，要做一些这方面的准备
2、.函数的零点必将成为高考的重点,尤其以函数为载体考查方程根的个数的判断,以及求参数的范围,将是重点考查的问题.考 向 预 测 返回目录1.一般地，如果函数y=f(x)在实数a处的值，即，则a叫做这个函数的零点.2.函数y=f(x)的零点就是方程f(x)=0的，就是函数y=f(x)的图象与x轴交点的,即方程f(x)=0y=f(x)的图象与x函数y=f(x)有.等于零f(a)=0 实数根横坐标交点零点返回目录3.变号零点如果函数y=f(x)在一个区间a,b上的图象不间断，并且在它的两个端点处的函数值异号，即f(a)f(b)0，则这个函数在这个区间上，至少有一个零点，即存在一点x0(a,b)，使f(
3、x0)=0.如果函数图象通过零点时穿过x轴,则称这样的零点为变号零点.4.不变号零点有时表示函数图象的曲线通过零点时不变号，这样的零点叫做不变号零点.返回目录5.零点存在性定理函数在区间a,b上的图象是连续的,且f(a)f(b)0，那么函数y=f(x)在区间a,b上零点.6.对于在区间a,b上连续不断，且满足f(a)f(b)0的函数y=f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在区间，使区间的两个端点逐步逼近，进而得到零点近似值的方法叫做二分法.零点至少有一个一分为二返回目录考点1 函数零点的判断与求解2010年高考浙江卷设函数f(x)=4sin(2x+1)-x,则在下列区间中函数f(x)不存
4、在零点的是()A.-4,-2B.-2,0C.0,2D.2,4【分析】利用函数零点的存在性定理进行判断.【解析】f(0)=4sin10,f(2)=4sin5-20,函数f(x)在0,2上存在零点；f(-1)=-4sin1+10,函数f(x)在-2,0上存在零点；又2 0,而f(2)0,函数f(x)在2,4上存在零点.故应选A.返回目录214521452145函数的零点存在性问题常用的办法有三种:一是用定理,二是解方程,三是用图象.返回目录返回目录判断下列函数在给定区间上是否存在零点.（1）f(x)=x2-3x-18,x1,8;（2）f(x)=x3-x-1,x-1,2;（3）f(x)=log2(x
5、+2)-x,x1,3.返回目录【解析】(1)解法一:f(1)=-200,f(1)f(8)0,故f(x)=x2-3x-18,x1,8存在零点.解法二:令x2-3x-18=0,解得x=-3或6,函数f(x)=x2-3x-18,x1,8存在零点.(2)f(-1)=-10,f(x)=x3-x-1,x-1,2存在零点.(3)f(1)=log2(1+2)-1log22-1=0,f(3)=log2(3+2)-3log28-3=0,f(1)f(3)0的零点个数为()A.0B.1C.2D.32010年高考福建卷函数f(x)=C 【分析】解方程求零点.返回目录x0 x2+2x-3=0 x0-2+lnx=0f(x)
6、的零点个数为2个.故应选C.【解析】由又得x=-3.得x=e2,分段函数求零点时应分段去求.返回目录求函数y=lnx+2x-6的零点个数.【解析】在同一坐标系中画出y=lnx与y=6-2x的图象如图所示,由图已知两图象只有一个交点,故函数y=lnx+2x-6只有一个零点.返回目录返回目录考点3 零点性质的应用（1）若函数f(x)=ax2-x-1有且仅有一个零点，求实数a的值；（2）若函数f(x)=|4x-x2|+a有4个零点，求实数a的取值范围.【分析】(1)二次项系数含有字母,需分类讨论.(2)利用函数图象求解.【解析】(1)若a=0,则f(x)=-x-1,令f(x)=0,即-x-1=0,得
7、x=-1,故符合题意;若a0,则f(x)=ax2-x-1是二次函数,故有且仅有一个零点等价于=1+4a=0,解得a=-.综上所述,a=0或a=-.返回目录4141返回目录(2)若f(x)=|4x-x2|+a有4个零点,即|4x-x2|+a=0有四个根,即|4x-x2|=-a有四个根.令g(x)=|4x-x2|,h(x)=-a.作出g(x)的图象如图所示,由图象可知,如果要使|4x-x2|=-a有四个根,那么g(x)与h(x)的图象应有4个交点.故需满足0-a4,即-4a0.a的取值范围是(-4,0).此类方程根的分布问题,通常有两种解法.一是利用方程中根与系数的关系或利用函数思想结合图 象求解
8、;二是构造两个函数分别作出图象,利用数形结合法求解.此类题目也体现了函数与方程、数形结合的思想.返回目录返回目录(1)函数f(x)=x2+2(m+3)x+2m+14有两个零点,且一个大于1,一个小于1,求实数m的取值范围;(2)关于x的方程mx2+2(m+3)x+2m+14=0有两实根,且一根大于4,一根小于4,求实数m的取值范围.(1)解法一:设方程x2+2(m+3)x+2m+14=0的两根分别为x1,x2(x1x2).依题意,只需满足(x1-1)(x2-1)0.即x1x2-(x1+x2)+10.由根与系数的关系可得(2m+14)+2(m+3)+10,即4m+210,解得m-.解法二:由于函
9、数图象开口向上,故依题意,只需f(1)0,即1+2(m+3)+2m+140,即4m+210,解得m0 m0g(4)0,解得-m0.返回目录依题意得或1319返回目录考点4 二分法的应用用二分法求函数f(x)=x3-x-1在区间1,1.5内的一个零点(精确度0.1).【分析】依据二分法求函数f(x)的零点近似值的步骤.【解析】由于f(1)=1-1-1=-10,f(x)在区间1,1.5上存在零点,取区间1,1.5作为计算的初始区间,用二分法逐次计算列表如下:|1.375-1.312 5|=0.062 50.1,函数的零点落在区间长度小于0.1的区间1.312 5,1.375内.故函数零点的近似值为
10、1.312 5.返回目录端(中)点坐标中点函数值符号零点所在区间|an-bn|1,1.50.51.25f(1.25)01.25,1.3750.1251.3125f(1.312 5)01.312 5,1.3750.062 5返回目录(1)求函数零点的近似值的关键是利用二分法求值过程中区间长度是否小于精确度,当区间长度小于精确度时,运算即告结束,而此时取的中点值即为所求,当然也可取区间端点的另一个值.(2)精确度与精确到是两个不同的概念,精确度最后的结果不能四舍五入,而精确到只需区间两个端点的函数值满足条件即取近似值之后相同,则此时四舍五入的值即为零点的近似值.返回目录利用计算器,求方程lgx=3
11、-x的近似解(精确到0.1).【解析】如图,由函数 y=lgx 与 y=3-x的图象可以发现,方程lgx=3-x有唯一解,记为x1,并且这个解在区间(2,3)内.设f(x)=lgx+x-3,用计算器计算,得f(2)0 x1(2,3),f(2.5)0 x1(2.5,3),f(2.5)0 x1(2.5,2.75),f(2.5)0 x1(2.5,2.625),f(2.562 5)0 x1(2.562 5,2.625).因为2.625与2.562 5精确到0.1的近似值都为2.6,所以原方程的近似解为x12.6.返回目录返回目录1.二分法是求方程的根的近似值的一种计算方法.其实质是通过不断地“取中点”来逐步缩小零点所在的范围，当达到一定的精确度要求时，所得区间的任一点就是这个函数零点的近似值.2.要熟练掌握二分法的解题步骤,尤其是初始区间的选取和最后精确度的判断.
