1、第八篇立体几何第1讲空间几何体及其表面积与体积基础巩固题组(建议用时：40分钟)一、填空题1以下命题：以直角三角形的一边为轴旋转一周所得的旋转体是圆锥；以直角梯形的一腰为轴旋转一周所得的旋转体是圆台；圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆；一个平面截圆锥，得到一个圆锥和一个圆台其中正确命题的个数是_解析命题错，因为这条边若是直角三角形的斜边，则得不到圆锥命题题，因这条腰必须是垂直于两底的腰命题对命题错，必须用平行于圆锥底面的平面截圆锥才行答案12在正方体上任意选择4个顶点，它们可能是如下各种几何形体的四个顶点，这些几何形体是_(写出所有正确结论的编号)矩形；不是矩形的平行四边形；有三个面为等腰直角三角形
2、，有一个面为等边三角形的四面体；每个面都是等边三角形的四面体；每个面都是直角三角形的四面体解析显然可能；不可能；取一个顶点处的三条棱，连接各棱端点构成的四面体；取正方体中对面上的两条异面对角线的四个端点构成的几何体；正方体ABCD A1B1C1D1中，三棱锥D1DBC满足条件答案3在三棱锥SABC中，面SAB，SBC，SAC都是以S为直角顶点的等腰直角三角形，且ABBCCA2，则三棱锥SABC的表面积是_解析设侧棱长为a，则a2，a，侧面积为3a23，底面积为22，表面积为3.答案34若圆锥的侧面积为2，底面面积为，则该圆锥的体积为_解析设圆锥的底面圆半径为r，高为h，母线长为l，则h.圆锥的
3、体积V12.答案5(2012新课标全国卷改编)平面截球O的球面所得圆的半径为1，球心O到平面的距离为，则此球的体积为_解析如图，设截面圆的圆心为O，M为截面圆上任一点，则OO，OM1，OM，即球的半径为，V()34.答案46.如图所示，已知一个多面体的平面展开图由一个边长为1的正方形和4个边长为1的正三角形组成，则该多面体的体积是_解析由题知该多面体为正四棱锥，底面边长为1，侧棱长为1，斜高为，连接顶点和底面中心即为高，可求得高为，所以体积V11.答案7(2013天津卷)已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若球的体积为，则正方体的棱长为_解析设正方体的棱长为a，外接球的半径为R，由题意知R3
4、，R3，而R.由于3a24R2，a2R223，a.答案8.如图，在多面体ABCDEF中，已知ABCD是边长为1的正方形，且ADE，BCF均为正三角形，EFAB，EF2，则该多面体的体积为_解析如图，分别过点A，B作EF的垂线，垂足分别为G，H，连接DG，CH，容易求得EGHF，AGGDBHHC，SAGDSBHC1，VVEADGVFBHCVAGDBHC2VEADGVAGDBHC21.答案二、解答题9.如图，在三棱锥PABC中，ACBC2，ACB90，APBPAB，PCAC.(1)求证：PCAB；(2)求点C到平面APB的距离(1)证明取AB中点D，连接PD，CD.因为APBP，所以PDAB，因为
5、ACBC，所以CDAB.因为PDCDD，所以AB平面PCD.因为PC平面PCD，所以PCAB.(2)解设C到平面APB的距离为h，则由题意，得APPBAB2，所以PC2.因为CDAB，PDPB，所以PC2CD2PD2，所以PCCD.由(1)得AB平面PCD，于是由VCAPBVAPDCVBPDC，得hSAPBABSPDC，所以h.故点C到平面APB的距离为.10有一个倒圆锥形容器，它的轴截面是一个正三角形，在容器内放一个半径为r的铁球，并注入水，使水面与球正好相切，然后将球取出，求这时容器中水的深度解如图所示，作出轴截面，因轴截面是正三角形，根据切线性质知当球在容器内时，水的深度为3r，水面半径
6、BC的长为r，则容器内水的体积为VV圆锥V球(r)23rr3r3，将球取出后，设容器中水的深度为h，则水面圆的半径为h，从而容器内水的体积为V2hh3，由VV，得hr.能力提升题组(建议用时：25分钟)一、填空题1已知球的直径SC4，A，B是该球球面上的两点，AB，ASCBSC30，则棱锥SABC的体积为_解析由题意知，如图所示，在棱锥SABC中，SAC，SBC都是有一个角为30的直角三角形，其中AB，SC4，所以SASB2，ACBC2，作BDSC于D点，连接AD，易证SC平面ABD，因此VSABC()24.答案2.(2014南京模拟)如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，AB1，BC2，AC
7、，AA13，M为线段B1B上的一动点，则当AMMC1最小时，AMC1的面积为_解析如图，当AMMC1最小时，BM1，所以AM22，C1M28，AC14，于是由余弦定理，得cosAMC1，所以sinAMC1，2.答案3.如图，已知正三棱柱ABCA1B1C1的底面边长为2 cm、高为5 cm，则一质点自点A出发，沿着三棱柱的侧面绕行两周到达点A1的最短路线的长为_cm.解析根据题意，利用分割法将原三棱柱分割为两个相同的三棱柱，然后将其展开为如图所示的实线部分，则可知所求最短路线的长为13 cm.答案13二、解答题4如图1，在直角梯形ABCD中，ADC90，CDAB，AB4，ADCD2，将ADC沿AC折起，使平面ADC平面ABC，得到几何体DABC，如图2所示(1)求证：BC平面ACD；(2)求几何体DABC的体积(1)证明在图中，可得ACBC2，从而AC2BC2AB2，故ACBC，又平面ADC平面ABC，平面ADC平面ABCAC，BC平面ABC，BC平面ACD.(2)解由(1)可知，BC为三棱锥BACD的高，BC2，SACD2，VBACDSACDBC22，由等体积性可知，几何体DABC的体积为.
