1、第3讲圆的方程最新考纲1掌握确定圆的几何要素，掌握圆的标准方程与一般方程2初步了解用代数方法处理几何问题.知 识 梳 理1圆的定义和圆的方程定义平面内到定点的距离等于定长的点的轨迹叫做圆方程标准(xa)2(yb)2r2(r0)圆心C(a，b)半径为r一般x2y2DxEyF0充要条件：D2E24F0圆心坐标：半径r2.点与圆的位置关系(1)确定方法：比较点与圆心的距离与半径的大小关系(2)三种关系：圆的标准方程(xa)2(yb)2r2，点M(x0，y0)(x0a)2(y0b)2r2点在圆上；(x0a)2(y0b)2r2点在圆外；(x0a)2(y0b)2r2点在圆内辨 析 感 悟1对圆的方程的理解
2、(1)确定圆的几何要素是圆心与半径()(2)方程x2y2a2表示半径为a的圆()(3)方程x2y24mx2y5m0表示圆()(4)(2013江西卷改编)若圆C经过坐标原点和点(4,0)且与直线y1相切，则圆C的方程是(x2)22.()2对点与圆的位置关系的认识(5)若点M(x0，y0)在圆x2y2DxEyF0外，则xyDx0Ey0F0.()(6)已知圆的方程为x2y22y0，过点A(1,2)作该圆的切线只有一条()感悟提升1一个性质圆心在任一弦的中垂线上，如(4)中可设圆心为(2，b)2三个防范一是含字母的圆的标准方程中注意字母的正负号，如(2)中半径应为|a|；二是注意一个二元二次方程表示圆
3、时的充要条件，如(3)；三是过一定点，求圆的切线时，首先判断点与圆的位置关系若点在圆外，有两个结果，若只求出一个，应该考虑切线斜率不存在的情况，如(6).考点一求圆的方程【例1】 根据下列条件，求圆的方程(1)求过P(4，2)，Q(1,3)两点，且在y轴上截得的线段长为4的圆的方程(2)已知圆的半径为，圆心在直线y2x上，圆被直线xy0截得的弦长为4.解(1)设圆的方程为x2y2DxEyF0(D2E24F0)将P，Q点的坐标分别代入得令x0，由得y2EyF0.由已知|y1y2|4，其中y1，y2是方程的两根，所以(y1y2)2(y1y2)24y1y2E24F48.解、组成的方程组得或故所求圆的
4、方程为x2y22x120或x2y210x8y40.(2)法一设圆的方程为(xa)2(yb)210.由圆心在直线y2x上，得b2a.由圆在直线xy0上截得的弦长为4，将yx代入(xa)2(yb)210，整理得2x22(ab)xa2b2100.由弦长公式得 4，化简得ab2.解、得a2，b4或a2，b4.故所求圆的方程为(x2)2(y4)210或(x2)2(y4)210.法二根据图形的几何性质：半径、弦长的一半、弦心距构成直角三角形如图，由勾股定理，可得弦心距d.又弦心距等于圆心(a，b)到直线xy0的距离，所以d，即.又已知b2a.解、得a2，b4或a2，b4.故所求圆的方程是(x2)2(y4)
5、210或(x2)2(y4)210.规律方法 求圆的方程，主要有两种方法：(1)几何法：具体过程中要用到初中有关圆的一些常用性质和定理如：圆心在过切点且与切线垂直的直线上；圆心在任意弦的中垂线上；两圆相切时，切点与两圆心三点共线(2)待定系数法：根据条件设出圆的方程，再由题目给出的条件，列出等式，求出相关量一般地，与圆心和半径有关，选择标准式，否则，选择一般式不论是哪种形式，都要确定三个独立参数，所以应该有三个独立等式【训练1】 (1)(2014济南模拟)若圆C的半径为1，圆心在第一象限，且与直线4x3y0和x轴都相切，则该圆的标准方程是()A(x2)2(y1)21 B(x2)2(y1)21C(
6、x2)2(y1)21 D(x3)2(y1)21(2)已知圆C经过A(5,1)，B(1,3)两点，圆心在x轴上，则C的方程为_解析(1)由于圆心在第一象限且与x轴相切，故设圆心为(a,1)，又由圆与直线4x3y0相切，得1，解得a2或(舍去)故圆的标准方程为(x2)2(y1)21.故选A.(2)依题意设所求圆的方程为(xa)2y2r2，将A，B点坐标分别代入方程得解得所以所求圆的方程为(x2)2y210.答案(1)A(2)(x2)2y210考点二与圆有关的最值问题【例2】 已知实数x，y满足方程x2y24x10.(1)求的最大值和最小值；(2)求yx的最大值和最小值；(3)求x2y2的最大值和最
7、小值解原方程可化为(x2)2y23，表示以(2,0)为圆心，为半径的圆(1)的几何意义是圆上一点与原点连线的斜率，所以设k，即ykx.当直线ykx与圆相切时，斜率k取最大值或最小值，此时，解得k(如图1)所以的最大值为，最小值为.(2)yx可看作是直线yxb在y轴上的截距，当直线yxb与圆相切时，纵截距b取得最大值或最小值，此时，解得b2(如图2)所以yx的最大值为2，最小值为2.(3)x2y2表示圆上的一点与原点距离的平方，由平面几何知识知，在原点和圆心连线与圆的两个交点处取得最大值和最小值(如图3)又圆心到原点的距离为2，所以x2y2的最大值是(2)274，x2y2的最小值是(2)274.
8、规律方法 与圆有关的最值问题，常见的有以下几种类型：(1)形如形式的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题；(2)形如taxby形式的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题；(3)形如(xa)2(yb)2形式的最值问题，可转化为动点到定点的距离的平方的最值问题【训练2】 (2014金华十校联考)已知P是直线l：3x4y110上的动点，PA，PB是圆x2y22x2y10的两条切线，C是圆心，那么四边形PACB面积的最小值是 ()A. B2 C. D2解析圆的标准方程为(x1)2(y1)21，圆心为C(1,1)，半径为r1，根据对称性可知，四边形PACB的面积为2SAPC2|PA|r|PA|，要使
9、四边形PACB的面积最小，则只需|PC|最小，最小时为圆心到直线l：3x4y110的距离d2.所以四边形PACB面积的最小值为.答案C考点三与圆有关的轨迹问题【例3】 在平面直角坐标系xOy中，已知圆P在x轴上截得线段长为2，在y轴上截得线段长为2.(1)求圆心P的轨迹方程；(2)若P点到直线yx的距离为，求圆P的方程审题路线(1)设圆心P为(x，y)，半径为r由圆的几何性质得方程组消去r可得点P的轨迹方程(2)设点P(x0，y0)由点到直线的距离公式可得一方程点P在第(1)问所求曲线上可得一方程以上两方程联立可解得P点坐标与圆P的半径得到圆P的方程解(1)设P(x，y)，圆P的半径为r.由题
10、设y22r2，x23r2.从而y22x23.故P点的轨迹方程为y2x21.(2)设P(x0，y0)，由已知得.又P在双曲线y2x21上，从而得由得此时，圆P半径r.由得此时，圆P的半径r.故圆P的方程为x2(y1)23或x2(y1)23.规律方法 求与圆有关的轨迹方程时，常用以下方法：(1)直接法：根据题设条件直接列出方程；(2)定义法：根据圆的定义写出方程；(3)几何法：利用圆的性质列方程；(4)代入法：找出要求点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式【训练3】 已知直角三角形ABC的斜边为AB，且A(1,0)，B(3,0)，求：(1)直角顶点C的轨迹方程；(2)直角边BC中点M的轨迹方程解
11、(1)法一设顶点C(x，y)，因为ACBC，且A，B，C三点不共线，所以x3且x1.又kAC，kBC，且kACkBC1，所以1，化简得x2y22x30.因此，直角顶点C的轨迹方程为x2y22x30(x3且x1)法二设AB中点为D，由中点坐标公式得D(1,0)，由直角三角形的性质知，|CD|AB|2，由圆的定义知，动点C的轨迹是以D(1,0)为圆心，2为半径长的圆(由于A，B，C三点不共线，所以应除去与x轴的交点)所以直角顶点C的轨迹方程为(x1)2y24(x3且x1)(2)设点M(x，y)，点C(x0，y0)，因为B(3,0)，M是线段BC的中点，由中点坐标公式得x(x3且x1)，y，于是有x
12、02x3，y02y.由(1)知，点C在圆(x1)2y24(x3且x1)上运动，将x0，y0代入该方程得(2x4)2(2y)24，即(x2)2y21.因此动点M的轨迹方程为(x2)2y21(x3且x1) 1确定一个圆的方程，需要三个独立条件“选形式，定参数”是求圆的方程的基本方法，即根据题设条件恰当选择圆的方程的形式，进而确定其中的三个参数，同时注意利用几何法求圆的方程时，要充分利用圆的性质2解答圆的问题，应注意数形结合，充分运用圆的几何性质，简化运算3求圆的方程时，一般考虑待定系数法，但如果能借助圆的一些几何性质进行解题，不仅能使解题思路简化，而且还能减少计算 量如弦长问题，可借助垂径定理构造
13、直角三角形，利用勾股定理解题方法优化7利用几何性质巧设方程求半径【典例】 在平面直角坐标系xOy中，曲线yx26x1与坐标轴的交点都在圆C上，求圆C的方程一般解法 (代数法)曲线yx26x1与y轴的交点为(0,1)，与x轴交点是(32，0)，(32，0)，设圆的方程是x2y2DxEyF0(D2E24F0)，则有解得故圆的方程是x2y26x2y10.优美解法 (几何法)曲线yx26x1与y轴的交点为(0,1)，与x轴的交点为(32，0)，(32，0)故可设C的圆心为(3，t)，则有32(t1)2(2)2t2，解得t1.则圆C的半径为3，所以圆C的方程为(x3)2(y1)29.反思感悟 一般解法(
14、代数法)：可以求出曲线yx26x1与坐标轴的三个交点，设圆的方程为一般式，代入点的坐标求解析式优美解法(几何法)：利用圆的性质，知道圆心一定在圆上两点连线的垂直平分线上，从而设圆的方程为标准式，简化计算显然几何法比代数法的计算量小，因此平时训练多采用几何法解题【自主体验】1圆C的半径为1，圆心在第一象限，与y轴相切，与x轴相交于 点A，B，若|AB|，则该圆的标准方程是_解析根据|AB|，可得圆心到x轴的距离为，故圆心坐标为，故所求圆的标准方程为(x1)221.答案(x1)2212已知圆C的圆心与抛物线y24x的焦点关于直线yx对称，直线4x3y20与圆C相交于A，B两点，且|AB|6，则圆C
15、的方程为_解析设所求圆的半径是r，依题意得，抛物线y24x的焦点坐标是(1,0)，则圆C的圆心坐标是(0,1)，圆心到直线4x3y20的距离d1，则r2d2210，因此圆C的方程是x2(y1)210. 答案x2(y1)210基础巩固题组(建议用时：40分钟)一、选择题1(2014长春模拟)已知点A(1，1)，B(1,1)，则以线段AB为直径的圆的方程是()Ax2y22 Bx2y2Cx2y21 Dx2y24解析AB的中点坐标为(0,0)，|AB|2，圆的方程为x2y22.答案A2若圆x2y22ax3by0的圆心位于第三象限，那么直线xayb0一定不经过()A第一象限 B第二象限C第三象限 D第四
16、象限解析圆x2y22ax3by0的圆心为，则a0，b0.直线yx，k0，0，直线不经过第四象限答案D3(2014银川模拟)圆心在y轴上且过点(3,1)的圆与x轴相切，则该圆的方程是()Ax2y210y0 Bx2y210y0Cx2y210x0 Dx2y210x0解析设圆心为(0，b)，半径为r，则r|b|，圆的方程为x2(yb)2b2，点(3,1)在圆上，9(1b)2b2，解得b5，圆的方程为x2y210y0.答案B4两条直线yx2a，y2xa的交点P在圆(x1)2(y1)24的内部，则实数a的取值范围是()A. B.(1，)C. D.1，)解析联立解得P(a,3a)，(a1)2(3a1)24，
17、a1，故应选A.答案A5(2014东营模拟)点P(4，2)与圆x2y24上任一点连线的中点的轨迹方程是()A(x2)2(y1)21 B(x2)2(y1)24C(x4)2(y2)24 D(x2)2(y1)21解析设圆上任一点为Q(x0，y0)，PQ的中点为M(x，y)，则解得因为点Q在圆x2y24上，所以xy4，即(2x4)2(2y2)24，化简得(x2)2(y1)21.答案A二、填空题6已知点M(1,0)是圆C：x2y24x2y0内的一点，那么过点M的最短弦所在直线的方程是_解析过点M的最短弦与CM垂直，圆C：x2y24x2y0的圆心为C(2,1)，kCM1，最短弦所在直线的方程为y01(x1
18、)，即xy10.答案xy107(2014南京调研)已知直线l：xy40与圆C：(x1)2(y1)22，则圆C上各点到l的距离的最小值为_解析由题意得C上各点到直线l的距离的最小值等于圆心(1,1)到直线l的距离减去半径，即.答案8若圆x2(y1)21上任意一点(x，y)都使不等式xym0恒成立，则实数m的取值范围是_解析据题意圆x2(y1)21上所有的点都在直线xym0的右上方，所以有解得m1.故m的取值范围是1，)答案1，)三、解答题9求适合下列条件的圆的方程：(1)圆心在直线y4x上，且与直线l：xy10相切于点P(3，2)；(2)过三点A(1,12)，B(7,10)，C(9,2)解(1)
19、法一设圆的标准方程为(xa)2(yb)2r2，则有解得a1，b4，r2.圆的方程为(x1)2(y4)28.法二过切点且与xy10垂直的直线为y2x3，与y4x联立可求得圆心为(1，4)半径r2，所求圆的方程为(x1)2(y4)28.(2)法一设圆的一般方程为x2y2DxEyF0(D2E24F0)，则解得D2，E4，F95.所求圆的方程为x2y22x4y950.法二由A(1,12)，B(7,10)，得AB的中点坐标为(4,11)，kAB，则AB的垂直平分线方程为3xy10.同理得AC的垂直平分线方程为xy30.联立得即圆心坐标为(1,2)，半径r10.所求圆的方程为(x1)2(y2)2100.1
20、0设定点M(3,4)，动点N在圆x2y24上运动，以OM，ON为邻边作平行四边形MONP，求点P的轨迹解如图所示，设P(x，y)，N(x0，y0)，则线段OP的中点坐标为，线段MN的中点坐标为.由于平行四边形的对角线互相平分，故，.从而N(x3，y4)在圆上，故(x3)2(y4)24.因此所求轨迹为圆：(x3)2(y4)24，但应除去两点和(点P在直线OM上时的情况)能力提升题组(建议用时：25分钟)一、选择题1(2014东莞调研)已知圆C：x2y2mx40上存在两点关于直线xy30对称，则实数m的值为()A8 B4 C6 D无法确定解析圆上存在关于直线xy30对称的两点，则xy30过圆心，即
21、30，m6.答案C2(2014烟台二模)已知抛物线y22px(p0)上一点M(1，m)(m0)到其焦点F的距离为5，则以M为圆心且与y轴相切的圆的方程为()A(x1)2(y4)21B(x1)2(y4)21C(x1)2(y4)216D(x1)2(y4)216解析抛物线的焦点为F，准线方程为x，所以|MF|15，解得p8，即抛物线方程为y216x，又m216，m0，所以m4，即M(1,4)，所以半径为1，所以圆的方程为(x1)2(y4)21.答案A二、填空题3已知平面区域恰好被面积最小的圆C：(xa)2(yb)2r2及其内部所覆盖，则圆C的方程为_解析由题意知，此平面区域表示的是以O(0,0)，P
22、(4,0)，Q(0,2)所构成的三角形及其内部，所以覆盖它的且面积最小的圆是其外接圆，又OPQ为直角三角形，故其圆心为斜边PQ的中点(2,1)，半径为，圆C的方程为(x2)2(y1)25.答案(x2)2(y1)25三、解答题4已知圆x2y2x6ym0和直线x2y30交于P，Q两点，且OPOQ(O为坐标原点)，求该圆的圆心坐标及半径解法一将x32y，代入方程x2y2x6ym0，得5y220y12m0.设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则y1，y2满足条件：y1y24，y1y2.OPOQ，x1x2y1y20.而x132y1，x232y2.x1x296(y1y2)4y1y2.故0，解得m3，此时(20)245(12m)20(8m)0，圆心坐标为，半径r.法二如图所示，设弦PQ中点为M，且圆x2y2x6ym0的圆心为O1，设M(x0，y0)，P(x1，y1)，Q(x2，y2)，由法一知，y1y24，x1x22，x01，y02.即M的坐标为(1,2)则以PQ为直径的圆可设为(x1)2(y2)2r.OPOQ，点O在以PQ为直径的圆上(01)2(02)2r，即r5，|MQ|2r.在RtO1MQ中，|O1Q|2|O1M|2|MQ|2.2(32)25.m3，圆心坐标为，半径r.
