1、第九篇解析几何初步第1讲直线的方程知 识 梳 理1直线的倾斜角与斜率(1)直线的倾斜角定义：在平面直角坐标系中，对于一条与x轴相交的直线，把x轴所在的直线绕着交点按逆时针方向旋转到和直线重合时所转过的最小正角称为这条直线的倾斜角当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0.倾斜角的范围为0，)(2)直线的斜率定义：一条直线的倾斜角的正切值叫做这条直线的斜率，斜率常用小写字母k表示，即ktan ，倾斜角是90的直线斜率不存在过两点的直线的斜率公式经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1x2)的直线的斜率公式为k.2直线方程的五种形式名称方程适用范围点斜式yy1k(xx1)不含垂直于
2、x轴的直线斜截式ykxb不含垂直于x轴的直线两点式不含垂直于坐标轴的直线截距式1不含垂直于坐标轴和过原点的直线一般式AxByC0(A、B不能同时为0)所有直线都适用3.过P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直线方程(1)若x1x2，且y1y2时，方程为.(2)若x1x2，且y1y2时，直线垂直于x轴，方程为xx1.(3)若x1x2，且y1y2时，直线垂直于y轴，方程为yy1.4线段的中点坐标公式若点P1、P2的坐标分别为(x1，y1)、(x2，y2)，线段P1P2的中点M的坐标为(x，y)，则此公式为线段P1P2的中点坐标公式辨 析 感 悟1对直线的倾斜角与斜率的理解(1)坐标平面内的任何
3、一条直线均有倾斜角与斜率()(2)过点M(a，b)，N(b，a)(ab)的直线的倾斜角是45.()(3)(教材习题改编)若三点A(2,3)，B(a,1)，C(0,2)共线，则a的值为2.()2对直线的方程的认识(4)经过点P(x0，y0)的直线都可以用方程yy0k(xx0)表示()(5)经过任意两个不同的点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直线都可以用方程(yy1)(x2x1)(xx1)(y2y1)表示()(6)直线l过点P(1,2)且在两坐标轴上的截距相等，则直线l的方程为xy30.()感悟提升1直线的倾斜角与斜率的关系斜率k是一个实数，当倾斜角90时，ktan .直线都有斜倾角，但并
4、不是每条直线都存在斜率，倾斜角为90的直线无斜率，如(1)2三个防范一是根据斜率求倾斜角，要注意倾斜角的范围，如(2)；二是求直线方程时，若不能断定直线是否具有斜率时，应对斜率存在与不存在加以讨论，如(4)；三是在用截距式时，应先判断截距是否为0，若不确定，则需分类讨论，如(6).学生用书第125页考点一直线的倾斜角和斜率【例1】 (1)直线xsin y20的倾斜角的取值范围是_(2)若直线l与直线y1，x7分别交于点P，Q，且线段PQ的中点坐标为(1，1)，则直线l的斜率为_解析(1)设直线的倾斜角为，则有tan sin ，其中sin 1,1，又0，)，所以0或0，bc0，bc0；ab0；a
5、b0，bc0；令y0，x0.即bc0，ac0，从而ab0.答案7(2014淮阳模拟)直线l经过点A(1,2)，在x轴上的截距的取值范围是(3,3)，则其斜率的取值范围是_解析设直线的斜率为k，如图，过定点A的直线经过点B时，直线l在x轴上的截距为3，此时k1；过定点A的直线经过点C时，直线l在x轴的截距为3，此时k，满足条件的直线l的斜率范围是(，1).答案(，1)8一条直线经过点A(2,2)，并且与两坐标轴围成的三角形的面积为1，则此直线的方程为_解析设所求直线的方程为1，A(2,2)在直线上，1.又因直线与坐标轴围成的三角形面积为1，|a|b|1.由可得(1)或(2)由(1)解得或方程组(
6、2)无解故所求的直线方程为1或1，即x2y20或2xy20为所求直线的方程答案x2y20或2xy20二、解答题9(2014临沂月考)设直线l的方程为(a1)xy2a0(aR)(1)若l在两坐标轴上的截距相等，求l的方程；(2)若l不经过第二象限，求实数a的取值范围解(1)当直线过原点时，该直线在x轴和y轴上的截距为0，当然相等a2，方程即为3xy0.当直线不过原点时，由截距存在且均不为0，得a2，即a11，a0，方程即为xy20.综上，l的方程为3xy0或xy20.(2)将l的方程化为y(a1)xa2，或a1.综上可知a的取值范围是(，110已知直线l过点M(2,1)，且分别与x轴、y轴的正半
7、轴交于A，B两点，O为原点，是否存在使ABO面积最小的直线l？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由解存在理由如下：设直线l的方程为y1k(x2)(k0)，则A，B(0,12k)，AOB的面积S(12k)(44)4.当且仅当4k，即k时，等号成立，故直线l的方程为y1(x2)，即x2y40.能力提升题组(建议用时：25分钟)一、填空题1(2014北京海淀一模)已知点A(1,0)，B(cos ，sin )，且|AB|，则直线AB的方程为_解析|AB|，所以cos ，sin ，所以kAB，即直线AB的方程为y(x1)，所以直线AB的方程为yx或yx.答案yx或yx2若直线l：ykx与直线2
8、x3y60的交点位于第一象限，则直线l的倾斜角的取值范围是_解析如图，直线l：ykx，过定点P(0，)，又A(3,0)，kPA，则直线PA的倾斜角为，满足条件的直线l的倾斜角的范围是.答案3已知直线x2y2分别与x轴、y轴相交于A，B两点，若动点P(a，b)在线段AB上，则ab的最大值为_解析直线方程可化为y1，故直线与x轴的交点为A(2,0)，与y轴的交点为B(0,1)，由动点P(a，b)在线段AB上，可知0b1，且a2b2，从而a22b，故ab(22b)b2b22b22，由于0b1，故当b时，ab取得最大值.答案二、解答题4.如图，射线OA，OB分别与x轴正半轴成45和30角，过点P(1,
9、0)作直线AB分别交OA，OB于A，B两点，当AB的中点C恰好落在直线yx上时，求直线AB的方程解由题意可得kOAtan 451，kOBtan(18030)，所以直线lOA：yx，lOB：yx，设A(m，m)，B(n，n)，所以AB的中点C，由点C在yx上，且A，P，B三点共线得解得m，所以A(，)又P(1,0)，所以kABkAP，所以lAB：y(x1)，即直线AB的方程为(3)x2y30.学生用书第127页第2讲两条直线的位置关系知 识 梳 理1两条直线平行与垂直的判定(1)两条直线平行对于两条不重合的直线l1、l2，其斜率分别为k1、k2，则有l1l2k1k2.特别地，当直线l1、l2的斜
10、率都不存在时，l1与l2的关系为平行(2)两条直线垂直如果两条直线l1、l2的斜率存在，设为k1、k2，则l1l2k1k21.如果l1、l2中有一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率为0时，l1与l2的关系为垂直2两直线相交交点：直线l1：A1xB1yC10和l2：A2xB2yC20的公共点的坐标与方程组的解一一对应相交方程组有唯一解，交点坐标就是方程组的解；平行方程组无解；重合方程组有无数个解3三种距离公式(1)平面上的两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)间的距离公式P1P2.特别地，原点O(0,0)与任一点P(x，y)的距离OP.(2)点P0(x0，y0)到直线l：AxByC0的距离
11、d.(3)两条平行线AxByC10与AxByC20间的距离为d.辨 析 感 悟1对两条直线平行与垂直的理解(1)当直线l1和l2的斜率都存在时，一定有k1k2l1l2.()(2)如果两条直线l1与l2垂直，则它们的斜率之积一定等于1.()(3)(2013天津卷改编)已知过点P(2,2)斜率为的直线且与直线axy10垂直，则a2.()2对距离公式的理解(4)点P(x0，y0)到直线ykxb的距离为.()(5)直线外一点与直线上一点的距离的最小值就是点到直线的距离()(6)(教材习题改编)两平行直线2xy10,4x2y10间的距离是0.()感悟提升三个防范一是在判断两条直线的位置关系时，首先应分析
12、直线的斜率是否存在两条直线都有斜率，可根据判定定理判断，若直线无斜率时，要单独考虑如(2)中忽视了斜率不存在的情况；二是求点到直线的距离时，若给出的直线不是一般式，则应化为一般式，如(4)；三是求两平行线之间的距离时，应先将方程化为一般式，且x，y的系数对应相同，如(6).考点一两条直线平行与垂直【例1】 已知直线l1：ax2y60和直线l2：x(a1)ya210.(1)试判断l1与l2是否平行；(2)l1l2时，求a的值解(1)法一当a1时，l1：x2y60，l2：x0，l1不平行于l2；当a0时，l1：y3，l2：xy10，l1不平行于l2；当a1且a0时，两直线可化为l1：yx3，l2：
13、yx(a1)，l1l2解得a1，综上可知，a1时，l1l2，否则l1与l2不平行法二由A1B2A2B10，得a(a1)120，由A1C2A2C10，得a(a21)160，l1l2a1，故当a1时，l1l2，否则l1与l2不平行(2)法一当a1时，l1：x2y60，l2：x0，l1与l2不垂直，故a1不成立；当a0时，l1：y3，l2：xy10，l1不垂直于l2；当a1且a0时，l1：yx3，l2：yx(a1)，由1a.法二由A1A2B1B20得a2(a1)0a.学生用书第128页规律方法 (1)当直线的方程中存在字母参数时，不仅要考虑到斜率存在的一般情况，也要考虑到斜率不存在的特殊情况同时还要
14、注意x，y的系数不能同时为零这一隐含条件(2)在判断两直线的平行、垂直时，也可直接利用直线方程的系数间的关系得出结论【训练1】 (2014长沙模拟)已知过点A(2，m)和点B(m,4)的直线为l1，直线2xy10为l2，直线xny10为l3.若l1l2，l2l3，则实数mn的值为_解析l1l2，kAB2，解得m8，又l2l3，(2)1，解得n2，mn10.答案10考点二两条直线的交点问题【例2】 求经过直线l1：3x2y10和l2：5x2y10的交点，且垂直于直线l3：3x5y60的直线l的方程解法一先解方程组得l1，l2的交点坐标为(1,2)，再由l3的斜率求出l的斜率为，于是由直线的点斜式
15、方程求出l：y2(x1)，即5x3y10.法二由于ll3，故l是直线系5x3yC0中的一条，而l过l1，l2的交点(1,2)，故5(1)32C0，由此求出C1，故l的方程为5x3y10.法三由于l过l1，l2的交点，故l是直线系3x2y1(5x2y1)0中的一条，将其整理，得(35)x(22)y(1)0.其斜率，解得，代入直线系方程即得l的方程为5x3y10.规律方法 运用直线系方程，有时会给解题带来方便，常见的直线系方程有：(1)与直线AxByC0平行的直线系方程是AxBym0(mC)；(2)与直线AxByC0垂直的直线系方程是BxAym0；(3)过直线l1：A1xB1yC10与l2：A2x
16、B2yC20的交点的直线系方程为A1xB1yC1(A2xB2yC2)0(其中R，此直线系不包括l2)【训练2】 直线l被两条直线l1：4xy30和l2：3x5y50截得的线段的中点为P(1,2)，求直线l的方程解法一设直线l与l1的交点为A(x0，y0)，由已知条件，得直线l与l2的交点为B(2x0,4y0)，并且满足即解得因此直线l的方程为，即3xy10.法二设直线l的方程为y2k(x1)，即kxyk20.由得x.由得x.则2，解得k3.因此直线l的方程为y23(x1)，即3xy10.考点三距离公式的应用【例3】 已知三条直线：l1：2xya0(a0)；l2：4x2y10；l3：xy10，且
17、l1与l2间的距离是.(1)求a的值；(2)能否找到一点P，使P同时满足下列三个条件：点P在第一象限；点P到l1的距离是点P到l2的距离的；点P到l1的距离与点P到l3的距离之比是.若能，求点P的坐标；若不能，说明理由解(1)直线l2：2xy0，所以两条平行线l1与l2间的距离为d，所以，即，又a0，解得a3.(2)假设存在点P，设点P(x0，y0)，若P点满足条件，则P点在与l1，l2平行的直线l：2xyc0上，且，即c或，所以2x0y00或2x0y00；若P点满足条件，由点到直线的距离公式，有，即|2x0y03|x0y01|，所以x02y040或3x020；由于P在第一象限，所以3x020
18、不可能联立方程2x0y00和x02y040，解得联立方程2x0y00和x02y040，解得所以存在P同时满足三个条件规律方法 (1)在应用两条平行直线间的距离公式时要注意两直线方程中x，y的系数必须对应相同(2)第(2)问是开放探索性问题，要注意解决此类问题的一般策略【训练3】 (1)已知直线l过点P(3,4)且与点A(2,2)，B(4，2)等距离，则直线l的方程为_(2)已知两条平行直线，l1：mx8yn0与l2：2xmy10间的距离为，则直线l1的方程为_解析(1)由题意可知所求直线斜率存在，故设所求直线方程为y4k(x3)，即kxy43k0，由已知，得，k2或.所求直线l的方程为2xy2
19、0或2x3y180.(2)l1l2，或当m4时，直线l1的方程为4x8yn0，把l2的方程写成4x8y20，解得n22或18.故所求直线的方程为2x4y110或2x4y90.当m4时，直线l1的方程为4x8yn0，l2的方程为4x8y20，解得n18或22.故所求直线的方程为2x4y90或2x4y110.答案(1)2x3y180或2xy20(2)2x4y90或2x4y110两直线的位置关系要考虑平行、垂直和重合对于斜率都存在且不重合的两条直线l1，l2，l1l2k1k2；l1l2k1k21.若有一条直线的斜率不存在，那么另一条直线的斜率一定要特别注意学生用书第129页思想方法10对称变换思想的
20、应用【典例】 已知直线l：2x3y10，点A(1，2)求：(1)点A关于直线l的对称点A的坐标；(2)直线m：3x2y60关于直线l的对称直线m的方程；(3)直线l关于点A(1，2)对称的直线l的方程解(1)设A(x，y)，再由已知解得A.(2)在直线m上取一点，如M(2,0)，则M(2,0)关于直线l的对称点必在m上设对称点为M(a，b)，则解得M.设m与l的交点为N，则由得N(4,3)又m经过点N(4,3)，由两点式得直线方程为9x46y1020.(3)设P(x，y)为l上任意一点，则P(x，y)关于点A(1，2)的对称点为P(2x，4y)，P在直线l上，2(2x)3(4y)10，即2x3
21、y90.反思感悟 (1)解决点关于直线对称问题要把握两点：点M与点N关于直线l对称，则线段MN的中点在直线l上，直线l与直线MN垂直(2)如果是直线或点关于点成中心对称问题，则只需运用中点公式就可解决问题(3)若直线l1，l2关于直线l对称，则有如下性质：若直线l1与l2相交，则交点在直线l上；若点B在直线l1上，则其关于直线l的对称点B在直线l2上【自主体验】(2013湖南卷改编)在等腰直角三角形ABC中，ABAC4，点P是边AB上异于A，B的一点光线从点P出发，经BC，CA反射后又回到点P(如图)若光线QR经过ABC的重心，则AP等于_解析以AB、AC所在直线分别为x轴、y轴建立平面直角坐
22、标系，则A(0,0)，B(4,0)，C(0,4)，得ABC的重心D，设APx，从而P(x,0)，x(0,4)，由光的几何性质可知点P关于直线BC、AC的对称点P1(4,4x)，P2(x,0)与ABC的重心D共线，所以，求得x.答案基础巩固题组(建议用时：40分钟)一、填空题1直线l过点(1,2)且与直线2x3y40垂直，则l的方程是_解析由题意知，直线l的斜率是，因此直线l的方程为y2(x1)，即3x2y10.答案3x2y102(2014济南模拟)已知两条直线l1：(a1)x2y10，l2：xay30平行，则a_.解析若a0，两直线方程分别为x2y10和x3，此时两直线相交，不平行，所以a0；
23、当a0时，两直线若平行，则有，解得a1或2.答案1或23已知直线l1的方程为3x4y70，直线l2的方程为6x8y10，则直线l1与l2的距离为_解析直线l1的方程为3x4y70，直线l2的方程为6x8y10，即3x4y0，直线l1与l2的距离为.答案4(2014金华调研)当0k时，直线l1：kxyk1与直线l2：kyx2k的交点在第_象限解析解方程组得两直线的交点坐标为，因为0k，所以0，故交点在第二象限答案二5若直线l1：yk(x4)与直线l2关于点(2,1)对称，则直线l2经过定点_解析直线l1：yk(x4)经过定点(4,0)，其关于点(2,1)对称的点为(0,2)，又直线l1：yk(x
24、4)与直线l2关于点(2,1)对称，故直线l2经过定点(0,2)答案(0,2)6若三条直线y2x，xy3，mx2y50相交于同一点，则m的值为_解析由得点(1,2)满足方程mx2y50，即m12250，m9.答案97设a、b、c分别是ABC中A、B、C所对边的边长，则直线xsin Aayc0与bxysin Bsin C0的位置关系是_解析由，得bsin Aasin B0.两直线垂直答案垂直8若直线m被两平行线l1：xy10与l2：xy30所截得的线段的长为2，则m的倾斜角可以是：15；30；45；60；75.其中正确答案的序号是_解析很明显直线l1l2，直线l1，l2间的距离为d，设直线m与直
25、线l1，l2分别相交于点B，A，则|AB|2，过点A作直线l垂直于直线l1，垂足为C，则|AC|d，则在RtABC中，sin ABC，所以ABC30，又直线l1的倾斜角为45，所以直线m的倾斜角为453075或453015.答案二、解答题9已知直线l1：xmy60，l2：(m2)x3y2m0，求m的值，使得：(1)l1与l2相交；(2)l1l2；(3)l1l2；(4)l1，l2重合解(1)由已知13m(m2)，即m22m30，解得m1且m3.故当m1且m3时，l1与l2相交(2)当1(m2)m30，即m时，l1l2.(3)当13m(m2)且12m6(m2)或m2m36，即m1时，l1l2.(4
26、)当13m(m2)且12m6(m2)，即m3时，l1与l2重合10求过直线l1：x2y30与直线l2：2x3y80的交点，且到点P(0,4)的距离为2的直线方程解由解得l1，l2的交点为(1,2)，设所求直线方程为y2k(x1)，即kxy2k0，P(0,4)到直线的距离为2，2，解得k0或.直线方程为y2或4x3y20.能力提升题组(建议用时：25分钟)一、填空题1设两条直线的方程分别为xya0和xyb0，已知a，b是关于x的方程x2xc0的两个实数根，且0c，则这两条直线之间的距离的最大值和最小值分别为_解析d，ab1，abc，又|ab|，从而dmax，dmin.答案，2(2014武汉调研)
27、已知A，B两点分别在两条互相垂直的直线2xy0与xay0上，且AB线段的中点为P，则线段AB的长为_解析由两直线垂直，得21，解得a2.所以中点P的坐标为(0,5)则OP5，在直角三角形中斜边的长度AB2OP2510，所以线段AB的长为10.答案103已知0k4，直线l1：kx2y2k80和直线l2：2xk2y4k240与两坐标轴围成一个四边形，则使得这个四边形面积最小的k值为_解析由题意知直线l1，l2恒过定点P(2,4)，直线l1的纵截距为4k，直线l2的横截距为2k22，如图，所以四边形的面积S2k22(4k4)24k2k8，故面积最小时，k.答案二、解答题4(1)在直线l：3xy10上
28、求一点P，使得P到A(4,1)和B(0,4)的距离之差最大；(2)在直线l：3xy10上求一点Q，使得Q到A(4,1)和C(3,4)的距离之和最小图1解(1)如图1，设点B关于l的对称点B的坐标为(a，b)，直线l的斜率为k1，则k1kBB1.即31.a3b120.又由于线段BB的中点坐标为，且在直线l上，310.即3ab60.解得a3，b3，B(3,3)于是AB的方程为，即2xy90.解得即l与AB的交点坐标为P(2,5)图2(2)如图2，设C关于l的对称点为C，求出C的坐标为.AC所在直线的方程为19x17y930，AC和l交点坐标为，故Q点坐标为.学生用书第129页第3讲圆的方程知 识
29、梳 理1圆的标准方程(1)方程(xa)2(yb)2r2(r0)表示圆心为(a，b)，半径为r的圆的标准方程(2)特别地，以原点为圆心，半径为r(r0)的圆的标准方程为x2y2r2.2圆的一般方程方程x2y2DxEyF0可变形为22，故有：(1)当D2E24F0时，方程表示以为圆心，以为半径的圆；(2)当D2E24F0时，方程表示一个点；(3)当D2E24F0时，方程不表示任何图形3P(x0，y0)与圆(xa)2(yb)2r2(r0)的位置关系(1)若(x0a)2(y0b)2r2，则点P在圆外；(2)若(x0a)2(y0b)2r2，则点P在圆上；(3)若(x0a)2(y0b)2r2，则点P在圆内
30、4确定圆的方程主要方法是待定系数法，大致步骤为：(1)根据题意，选择标准方程或一般方程；(2)根据条件列出关于a，b，r或D，E，F的方程组；(3)解出a，b，r或D，E，F代入标准方程或一般方程辨 析 感 悟1对圆的方程的理解(1)确定圆的几何要素是圆心与半径()(2)方程x2y2a2表示半径为a的圆()(3)方程x2y24mx2y5m0表示圆()(4)(2013江西卷改编)若圆C经过坐标原点和点(4,0)且与直线y1相切，则圆C的方程是(x2)22.()2对点与圆的位置关系的认识(5)若点M(x0，y0)在圆x2y2DxEyF0外，则xyDx0Ey0F0.()(6)已知圆的方程为x2y22
31、y0，过点A(1,2)作该圆的切线只有一条()感悟提升1一个性质圆心在任一弦的中垂线上，如(4)中可设圆心为(2，b)2三个防范一是含字母的圆的标准方程中注意字母的正负号，如(2)中半径应为|a|；二是注意一个二元二次方程表示圆时的充要条件，如(3)；三是过一定点，求圆的切线时，首先判断点与圆的位置关系若点在圆外，有两个结果，若只求出一个，应该考虑切线斜率不存在的情况，如(6).考点一求圆的方程【例1】 根据下列条件，求圆的方程(1)求过P(4，2)，Q(1,3)两点，且在y轴上截得的线段长为4的圆的方程(2)已知圆的半径为，圆心在直线y2x上，圆被直线xy0截得的弦长为4.解(1)设圆的方程
32、为x2y2DxEyF0(D2E24F0)将P，Q点的坐标分别代入得令x0，由得y2EyF0.由已知|y1y2|4，其中y1，y2是方程的两根，所以(y1y2)2(y1y2)24y1y2E24F48.解、组成的方程组得或故所求圆的方程为x2y22x120或x2y210x8y40.(2)法一设圆的方程为(xa)2(yb)210.由圆心在直线y2x上，得b2a.由圆在直线xy0上截得的弦长为4，将yx代入(xa)2(yb)210，整理得2x22(ab)xa2b2100.由弦长公式得 4，化简得ab2.解、得a2，b4或a2，b4.故所求圆的方程为(x2)2(y4)210或(x2)2(y4)210.法
33、二根据图形的几何性质：半径、弦长的一半、弦心距构成直角三角形如图，由勾股定理，可得弦心距d.又弦心距等于圆心(a，b)到直线xy0的距离，所以d，即.又已知b2a.解、得a2，b4或a2，b4.故所求圆的方程是(x2)2(y4)210或(x2)2(y4)210.规律方法 求圆的方程，主要有两种方法：(1)几何法：具体过程中要用到初中有关圆的一些常用性质和定理如：圆心在过切点且与切线垂直的直线上；圆心在任意弦的中垂线上；两圆相切时，切点与两圆心三点共线(2)待定系数法：根据条件设出圆的方程，再由题目给出的条件，列出等式，求出相关量一般地，与圆心和半径有关，选择标准式，否则，选择一般式不论是哪种形
34、式，都要确定三个独立参数，所以应该有三个独立等式【训练1】 (1)(2014济南模拟)若圆C的半径为1，圆心在第一象限，且与直线4x3y0和x轴都相切，则该圆的标准方程是_(2)已知圆C经过A(5,1)，B(1,3)两点，圆心在x轴上，则C的方程为_解析(1)由于圆心在第一象限且与x轴相切，故设圆心为(a,1)，又由圆与直线4x3y0相切，得1，解得a2或(舍去)故圆的标准方程为(x2)2(y1)21.(2)依题意设所求圆的方程为(xa)2y2r2，将A，B点坐标分别代入方程得解得所以所求圆的方程为(x2)2y210.答案(1)(x2)2(y1)21(2)(x2)2y210考点二与圆有关的最值
35、问题【例2】 已知实数x，y满足方程x2y24x10.(1)求的最大值和最小值；(2)求yx的最大值和最小值；(3)求x2y2的最大值和最小值解原方程可化为(x2)2y23，表示以(2,0)为圆心，为半径的圆(1)的几何意义是圆上一点与原点连线的斜率，所以设k，即ykx.当直线ykx与圆相切时，斜率k取最大值或最小值，此时，解得k(如图1)所以的最大值为，最小值为.(2)yx可看作是直线yxb在y轴上的截距，当直线yxb与圆相切时，纵截距b取得最大值或最小值，此时，解得b2(如图2)所以yx的最大值为2，最小值为2.(3)x2y2表示圆上的一点与原点距离的平方，由平面几何知识知，在原点和圆心连
36、线与圆的两个交点处取得最大值和最小值(如图3)又圆心到原点的距离为2，所以x2y2的最大值是(2)274，x2y2的最小值是(2)274.规律方法 与圆有关的最值问题，常见的有以下几种类型：(1)形如形式的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题；(2)形如taxby形式的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题；(3)形如(xa)2(yb)2形式的最值问题，可转化为动点到定点的距离的平方的最值问题【训练2】 (2014金华十校联考)已知P是直线l：3x4y110上的动点，PA，PB是圆x2y22x2y10的两条切线，C是圆心，那么四边形PACB面积的最小值是_解析圆的标准方程为(x1)2(y1)
37、21，圆心为C(1,1)，半径为r1，根据对称性可知，四边形PACB的面积为2SAPC2|PA|r|PA|，要使四边形PACB的面积最小，则只需|PC|最小，最小时为圆心到直线l：3x4y110的距离d2.所以四边形PACB面积的最小值为.答案学生用书第131页考点三与圆有关的轨迹问题【例3】 (2013新课标全国卷)在平面直角坐标系xOy中，已知圆P在x轴上截得线段长为2，在y轴上截得线段长为2.(1)求圆心P的轨迹方程；(2)若P点到直线yx的距离为，求圆P的方程审题路线(1)设圆心P为(x，y)，半径为r由圆的几何性质得方程组消去r可得点P的轨迹方程(2)设点P(x0，y0)由点到直线的
38、距离公式可得一方程点P在第(1)问所求曲线上可得一方程以上两方程联立可解得P点坐标与圆P的半径得到圆P的方程解(1)设P(x，y)，圆P的半径为r.由题设y22r2，x23r2.从而y22x23.故P点的轨迹方程为y2x21.(2)设P(x0，y0)，由已知得.又P在双曲线y2x21上，从而得由得此时，圆P半径r.由得此时，圆P的半径r.故圆P的方程为x2(y1)23或x2(y1)23.规律方法 求与圆有关的轨迹方程时，常用以下方法：(1)直接法：根据题设条件直接列出方程；(2)定义法：根据圆的定义写出方程；(3)几何法：利用圆的性质列方程；(4)代入法：找出要求点与已知点的关系，代入已知点满
39、足的关系式【训练3】 已知直角三角形ABC的斜边为AB，且A(1,0)，B(3,0)，求：(1)直角顶点C的轨迹方程；(2)直角边BC中点M的轨迹方程解(1)法一设顶点C(x，y)，因为ACBC，且A，B，C三点不共线，所以x3且x1.又kAC，kBC，且kACkBC1，所以1，化简得x2y22x30.因此，直角顶点C的轨迹方程为x2y22x30(x3且x1)法二设AB中点为D，由中点坐标公式得D(1,0)，由直角三角形的性质知，|CD|AB|2，由圆的定义知，动点C的轨迹是以D(1,0)为圆心，2为半径长的圆(由于A，B，C三点不共线，所以应除去与x轴的交点)所以直角顶点C的轨迹方程为(x1
40、)2y24(x3且x1)(2)设点M(x，y)，点C(x0，y0)，因为B(3,0)，M是线段BC的中点，由中点坐标公式得x(x3且x1)，y，于是有x02x3，y02y.由(1)知，点C在圆(x1)2y24(x3且x1)上运动，将x0，y0代入该方程得(2x4)2(2y)24，即(x2)2y21.因此动点M的轨迹方程为(x2)2y21(x3且x1)1确定一个圆的方程，需要三个独立条件“选形式，定参数”是求圆的方程的基本方法，即根据题设条件恰当选择圆的方程的形式，进而确定其中的三个参数，同时注意利用几何法求圆的方程时，要充分利用圆的性质2解答圆的问题，应注意数形结合，充分运用圆的几何性质，简化
41、运算3求圆的方程时，一般考虑待定系数法，但如果能借助圆的一些几何性质进行解题，不仅能使解题思路简化，而且还能减少计算量如弦长问题，可借助垂径定理构造直角三角形，利用勾股定理解题 方法优化7利用几何性质巧设方程求半径【典例】 在平面直角坐标系xOy中，曲线yx26x1与坐标轴的交点都在圆C上，求圆C的方程一般解法 (代数法)曲线yx26x1与y轴的交点为(0,1)，与x轴交点是(32，0)，(32，0)，设圆的方程是x2y2DxEyF0(D2E24F0)，则有解得故圆的方程是x2y26x2y10.优美解法 (几何法)曲线yx26x1与y轴的交点为(0,1)，与x轴的交点为(32，0)，(32，0
42、)故可设C的圆心为(3，t)，则有32(t1)2(2)2t2，解得t1.则圆C的半径为3，所以圆C的方程为(x3)2(y1)29.反思感悟 一般解法(代数法)：可以求出曲线yx26x1与坐标轴的三个交点，设圆的方程为一般式，代入点的坐标求解析式优美解法(几何法)：利用圆的性质，知道圆心一定在圆上两点连线的垂直平分线上，从而设圆的方程为标准式，简化计算显然几何法比代数法的计算量小，因此平时训练多采用几何法解题【自主体验】1圆C的半径为1，圆心在第一象限，与y轴相切，与x轴相交于点A，B，若|AB|，则该圆的标准方程是_解析根据|AB|，可得圆心到x轴的距离为，故圆心坐标为，故所求圆的标准方程为(
43、x1)221.答案(x1)2212已知圆C的圆心与抛物线y24x的焦点关于直线yx对称，直线4x3y20与圆C相交于A，B两点，且|AB|6，则圆C的方程为_解析设所求圆的半径是r，依题意得，抛物线y24x的焦点坐标是(1,0)，则圆C的圆心坐标是(0,1)，圆心到直线4x3y20的距离d1，则r2d2210，因此圆C的方程是x2(y1)210.答案x2(y1)210基础巩固题组(建议用时：40分钟)一、填空题1(2014南京模拟)已知点A(1，1)，B(1,1)，则以线段AB为直径的圆的方程是_解析AB的中点坐标为(0,0)，|AB|2，圆的方程为x2y22.答案x2y222若圆x2y22a
44、x3by0的圆心位于第三象限，那么直线xayb0一定不经过第_象限解析圆x2y22ax3by0的圆心为，则a0，b0.直线yx，k0，0，直线不经过第四象限答案四3(2014银川模拟)圆心在y轴上且过点(3,1)的圆与x轴相切，则该圆的方程是_解析设圆心为(0，b)，半径为r，则r|b|，圆的方程为x2(yb)2b2，点(3,1)在圆上，9(1b)2b2，解得b5，圆的方程为x2y210y0.答案x2y210y04两条直线yx2a，y2xa的交点P在圆(x1)2(y1)24的内部，则实数a的取值范围是_解析联立解得P(a,3a)，(a1)2(3a1)24，a1.答案5(2014东营模拟)点P(
45、4，2)与圆x2y24上任一点连线的中点的轨迹方程是_解析设圆上任一点为Q(x0，y0)，PQ的中点为M(x，y)，则解得因为点Q在圆x2y24上，所以xy4，即(2x4)2(2y2)24，化简得(x2)2(y1)21.答案(x2)2(y1)216已知点M(1,0)是圆C：x2y24x2y0内的一点，那么过点M的最短弦所在直线的方程是_解析过点M的最短弦与CM垂直，圆C：x2y24x2y0的圆心为C(2,1)，kCM1，最短弦所在直线的方程为y01(x1)，即xy10.答案xy107(2014南京调研)已知直线l：xy40与圆C：(x1)2(y1)22，则圆C上各点到l的距离的最小值为_解析由
46、题意得C上各点到直线l的距离的最小值等于圆心(1,1)到直线l的距离减去半径，即.答案8若圆x2(y1)21上任意一点(x，y)都使不等式xym0恒成立，则实数m的取值范围是_解析据题意圆x2(y1)21上所有的点都在直线xym0的右上方，所以有解得m1.故m的取值范围是1，)答案1，)二、解答题9求适合下列条件的圆的方程：(1)圆心在直线y4x上，且与直线l：xy10相切于点P(3，2)；(2)过三点A(1,12)，B(7,10)，C(9,2)解(1)法一设圆的标准方程为(xa)2(yb)2r2，则有解得a1，b4，r2.圆的方程为(x1)2(y4)28.法二过切点且与xy10垂直的直线为y
47、2x3，与y4x联立可求得圆心为(1，4)半径r2，所求圆的方程为(x1)2(y4)28.(2)法一设圆的一般方程为x2y2DxEyF0(D2E24F0)，则解得D2，E4，F95.所求圆的方程为x2y22x4y950.法二由A(1,12)，B(7,10)，得AB的中点坐标为(4,11)，kAB，则AB的垂直平分线方程为3xy10.同理得AC的垂直平分线方程为xy30.联立得即圆心坐标为(1,2)，半径r10.所求圆的方程为(x1)2(y2)2100.10设定点M(3,4)，动点N在圆x2y24上运动，以OM，ON为邻边作平行四边形MONP，求点P的轨迹解如图所示，设P(x，y)，N(x0，y
48、0)，则线段OP的中点坐标为，线段MN的中点坐标为.由于平行四边形的对角线互相平分，故，.从而N(x3，y4)在圆上，故(x3)2(y4)24.因此所求轨迹为圆：(x3)2(y4)24，但应除去两点和(点P在直线OM上时的情况)能力提升题组(建议用时：25分钟)一、填空题1(2014东莞调研)已知圆C：x2y2mx40上存在两点关于直线xy30对称，则实数m的值为_解析圆上存在关于直线xy30对称的两点，则xy30过圆心，即30，m6.答案62(2014烟台二模)已知抛物线y22px(p0)上一点M(1，m)(m0)到其焦点F的距离为5，则以M为圆心且与y轴相切的圆的方程为_解析抛物线的焦点为
49、F，准线方程为x，所以|MF|15，解得p8，即抛物线方程为y216x，又m216，m0，所以m4，即M(1,4)，所以半径为1，所以圆的方程为(x1)2(y4)21.答案(x1)2(y4)213已知平面区域恰好被面积最小的圆C：(xa)2(yb)2r2及其内部所覆盖，则圆C的方程为_解析由题意知，此平面区域表示的是以O(0,0)，P(4,0)，Q(0,2)所构成的三角形及其内部，所以覆盖它的且面积最小的圆是其外接圆，又OPQ为直角三角形，故其圆心为斜边PQ的中点(2,1)，半径为，圆C的方程为(x2)2(y1)25.答案(x2)2(y1)25二、解答题4已知圆x2y2x6ym0和直线x2y3
50、0交于P，Q两点，且OPOQ(O为坐标原点)，求该圆的圆心坐标及半径解法一将x32y，代入方程x2y2x6ym0，得5y220y12m0.设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则y1，y2满足条件：y1y24，y1y2.OPOQ，x1x2y1y20.而x132y1，x232y2.x1x296(y1y2)4y1y2.故0，解得m3，此时20245(12m)20(8m)0，圆心坐标为，半径r.法二如图所示，设弦PQ中点为M，且圆x2y2x6ym0的圆心为O1，设M(x0，y0)，P(x1，y1)，Q(x2，y2)，由法一知，y1y24，x1x22，x01，y02.即M的坐标为(1,2)则以PQ为直
51、径的圆可设为(x1)2(y2)2r.OPOQ，点O在以PQ为直径的圆上(01)2(02)2r，即r5，|MQ|2r.在RtO1MQ中，|O1Q|2|O1M|2|MQ|2.2(32)25.m3，圆心坐标为，半径r.学生用书第132页第4讲直线与圆、圆与圆的位置关系知 识 梳 理1直线与圆的位置关系设直线l：AxByC0(A2B20)，圆：(xa)2(yb)2r2(r0)，d为圆心(a，b)到直线l的距离，联立直线和圆的方程，消元后得到的一元二次方程的判别式为.方法位置关系几何法代数法相交dr0相切dr0相离dr02.圆与圆的位置关系设圆O1：(xa1)2(yb1)2r(r10)，圆O2：(xa2
52、)2(yb2)2r(r20).方法位置关系 几何法：圆心距d与r1，r2的关系代数法：两圆方程联立组成方程组的解的情况相离dr1r2无解外切dr1r2一组实数解相交|r1r2|dr1r2两组不同的实数解内切d|r1r2|(r1r2)一组实数解内含0d|r1r2|(r1r2)无解辨 析 感 悟1对直线与圆位置关系的理解(1)直线ykx1与圆x2y21恒有公共点()(2)“k1”是“直线xyk0与圆x2y21相交”的必要不充分条件()(3)(2013浙江卷改编)直线y2x3被圆x2y26x8y0所截得的弦长等于2.()2对圆与圆位置关系的理解(4)如果两个圆的方程组成的方程组只有一组实数解，则两圆
53、外切()(5)如果两圆的圆心距小于两圆的半径之和，则两圆相交()3关于圆的切线与公共弦(6)过圆O：x2y2r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程是x0xy0yr2.()(7)两个相交圆的方程相减消掉二次项后得到的二元一次方程是两圆的公共弦所在的直线方程()(8)圆C1：x2y22x2y20与圆C2：x2y24x2y10的公切线有且仅有2条()感悟提升1两个防范一是应用圆的性质求圆的弦长，注意弦长的一半、弦心距和圆的半径构成一个直角三角形，有的同学往往漏掉了2倍，如(3)；二是在判断两圆位置关系时，考虑要全面，防止漏解，如(4)、(5)，(4)应为两圆外切与内切，(5)应为两圆相交、内切、内
54、含2两个重要结论一是两圆的位置关系与公切线的条数：内含时：0条；内切：1条；相交：2条；外切：3条；外离：4条二是当两圆相交时，把两圆方程(x2，y2项系数相同)相减便可得两圆公共弦所在直线的方程.考点一直线与圆的位置关系【例1】 (1)(2013陕西卷改编)已知点M(a，b)在圆O：x2y21外，则直线axby1与圆O的位置关系是_(2)(2012江西卷)过直线xy20上点P作圆x2y21的两条切线，若两条切线的夹角是60，则点P的坐标是_解析(1)因为M(a，b)在圆O：x2y21外，所以a2b21，而圆心O到直线axby1的距离d1.故直线与圆O相交(2)法一如图所示，|OP|2，易得P
55、为CD中点，故P(，)法二设P(x，y)，由法一可得故P(，)答案(1)相交(2)(，)学生用书第133页规律方法 判断直线与圆的位置关系时，若两方程已知或圆心到直线的距离易表达，则用几何法；若方程中含有参数，或圆心到直线的距离的表达较繁琐，则用代数法【训练1】 (1)“a3”是“直线yx4与圆(xa)2(y3)28相切”的_条件(2)(2014郑州模拟)直线yxm与圆x2y21在第一象限内有两个不同的交点，则m取值范围是_解析(1)若直线yx4与圆(xa)2(y3)28相切，则有2，即|a1|4，所以a3或5.但当a3时，直线yx4与圆(xa)2(y3)28一定相切，故“a3”是“直线yx4
56、与圆(xa)2(y3)28相切”的充分不必要条件(2)当直线经过点(0,1)时，直线与圆有两个不同的交点，此时m1；当直线与圆相切时有圆心到直线的距离d1，解得m，所以要使直线与圆在第一象限内有两个不同的交点，则1m.答案(1)充分不必要(2)考点二圆与圆的位置关系【例2】 已知两圆x2y22x6y10和x2y210x12ym0.(1)m取何值时两圆外切？(2)m取何值时两圆内切？(3)求m45时两圆的公共弦所在直线的方程和公共弦的长解两圆的标准方程为：(x1)2(y3)211，(x5)2(y6)261m，圆心分别为M(1,3)，N(5,6)，半径分别为和.(1)当两圆外切时，解得m2510.
57、(2)当两圆内切时，因定圆的半径小于两圆圆心间距离5，故只有5，解得m2510.(3)两圆的公共弦所在直线方程为(x2y22x6y1)(x2y210x12y45)0，即4x3y230，公共弦长为2 2.规律方法 (1)判断两圆的位置关系常用几何法，即用两圆圆心距与两圆半径和与差之间的关系，一般不采用代数法(2)当两圆相交时求其公共弦所在的直线方程或是公共弦长，只要把两圆方程相减消掉二次项所得方程就是公共弦所在的直线方程，再根据其中一个圆和这条直线就可以求出公共弦长【训练2】 (1)圆O1：x2y22x0和圆O2：x2y24y0的位置关系是_(2)设两圆C1、C2都和两坐标轴相切，且都过点(4,
58、1)，则两圆心的距离|C1C2|_.解析(1)圆O1的圆心坐标为(1,0)，半径为r11，圆O2的圆心坐标为(0,2)，半径r22，故两圆的圆心距|O1O2|，而r2r11，r1r23，则有r2r1|O1O2|r1r2，故两圆相交(2)依题意，可设圆心坐标为(a，a)、半径为r，其中ra0，因此圆的方程是(xa)2(ya)2a2，由圆过点(4,1)得(4a)2(1a)2a2，即a210a170，则该方程的两根分别是圆心C1，C2的横坐标，|C1C2|8.答案(1)相交(2)8考点三有关圆的弦长问题【例3】 已知点P(0,5)及圆C：x2y24x12y240.若直线l过P且被圆C截得的线段长为4
59、，求l的方程审题路线(1)画图从图中寻找弦心距与弦的一半、半径的关系求弦心距由点到直线的距离公式可求直线的斜率k注意考虑斜率k的特殊情况得到所求直线方程(2)设出直线l的方程直线与圆方程联立方程组消去y写出根与系数的关系代入弦长公式求k注意考虑k的特殊情况得到所求直线l的方程解法一如图所示，AB4，D是AB的中点，CDAB，AD2，圆x2y24x12y240可化为(x2)2(y6)216，圆心C(2,6)，半径r4，故AC4，在RtACD中，可得CD2.当直线l的斜率存在时，设斜率为k，则直线l的方程为y5kx，即kxy50.由点C到直线AB的距离公式，得2，解得k.此时直线l的方程为3x4y
60、200；当直线l的斜率不存在时，方程为x0.则y212y240，y162，y262，|y2y1|4，故x0满足题意；所求直线的方程为3x4y200或x0.法二当直线l的斜率存在时，设斜率为k，则直线的方程为y5kx，即ykx5，联立直线与圆的方程，得消去y，得(1k2)x2(42k)x110.设方程的两根为x1，x2，由根与系数的关系，得由弦长公式，得|x1x2|4.将式代入，解得k，此时直线的方程为3x4y200.当k不存在时也满足题意，此时直线方程为x0，所求直线的方程为x0或3x4y200.规律方法 (1)若能求出直线与圆的两交点A，B的坐标，则弦长l|AB|.(2)利用勾股定理：若弦心
61、距为d，圆的半径为r，则由图可知，弦长|AB|2.(3)利用弦长公式：|AB|x1x2|或|AB|y1y2|(方程联立，消去y(或x)，再利用根与系数的关系可得)【训练3】 设m，nR，若直线l：mxny10与x轴相交于点A，与y轴相交于点B，且l与圆x2y24相交所得弦的长为2，O为坐标原点，则AOB面积的最小值为_ 解析l与圆相交所得弦的长为2，m2n22|mn|，|mn|.l与x轴交点A，与y轴交点B，SAOB63.答案31直线与圆的位置关系体现了圆的几何性质和代数方法的结合，“代数法”与“几何法”是从不同的方面和思路来判断的2求过一点的圆的切线方程时，首先要判断此点是否在圆上，然后设出
62、切线方程注意：斜率不存在的情形3圆的弦长的常用求法(1)几何法：求圆的半径为r，弦心距为d，弦长为l，则2r2d2；(2)代数方法：运用根与系数的关系及弦长公式：|AB|x1x2|.学生用书第134页答题模板10与圆有关的探索问题【典例】 (12分)已知圆C：x2y22x4y40.问在圆C上是否存在两点A、B关于直线ykx1对称，且以AB为直径的圆经过原点？若存在，写出直线AB的方程；若不存在，说明理由规范解答圆C的方程可化为(x1)2(y2)29，圆心为C(1，2)假设在圆C上存在两点A，B满足条件，则圆心C(1，2)在直线ykx1上，即k1.(2分)于是可知，kAB1.设lAB：yxb，代
63、入圆C的方程，整理得2x22(b1)xb24b40，则4(b1)28(b24b4)0，即b26b90.解得33b33.(6分)设点A，B的坐标分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x2b1，x1x2b22b2.由题意知OAOB，则有x1x2y1y20，(8分)也就是x1x2(x1b)(x2b)0.2x1x2b(x1x2)b20.b24b4b2bb20，化简得b23b40.(10分)解得b4或b1，均满足0，(11分)即直线AB的方程为xy40，或xy10.(12分)反思感悟 本题是与圆有关的探索类问题，要注意充分利用圆的几何性质解题，解题的关键有两点：(1)假设存在两点A、B关于直线
64、对称，则直线过圆心(2)若以AB为直径的圆过原点，则OAOB.转化为0.答题模板第一步：假设符合要求的结论存在第二步：从条件出发(即假设)利用直线与圆的关系求解第三步：确定符合要求的结论存在或不存在第四步：给出明确结果第五步：反思回顾，查看关键点，易错点及答题规范【自主体验】在平面直角坐标系xOy中，圆C的方程为x2y28x150，若直线ykx2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点，则k的最大值是_解析圆C的标准方程为(x4)2y21，如图，直线ykx2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点，只需保证圆心C到ykx2的距离不大于2即可圆心C(4,0
65、)到直线ykx2的距离d，由题意知2，整理得3k24k0，解得0k.故kmax.答案基础巩固题组(建议用时：40分钟)一、填空题1直线yx1与圆x2y21的位置关系是_解析法一由消去y，整理得x2x0，因为1241010，所以直线与圆相交又圆x2y21的圆心坐标为(0,0)，且001，所以直线不过圆心法二圆x2y21的圆心坐标为(0,0)，半径长为1，则圆心到直线yx1距离d.又01所以直线yx1与圆x2y21相交但直线不过圆心答案相交2圆(x2)2y24与圆(x2)2(y1)29的位置关系为_解析两圆圆心分别为(2,0)和(2,1)，半径分别为2和3，圆心距d.32d32，两圆相交答案相交3
66、过点A(2,4)向圆x2y24所引切线的方程为_解析显然x2为所求切线之一；另设直线方程为y4k(x2)，即kxy42k0，那么2，解得k，即3x4y100.答案x2或3x4y1004(2013安徽卷改编)直线x2y50被圆x2y22x4y0截得的弦长为_解析圆的标准方程为(x1)2(y2)25，则圆心(1,2)到直线x2y50的距离d1，直线x2y50被圆x2y22x4y0截得的弦长为24.答案45(2014威海期末考试)若直线ykx与圆(x2)2y21的两个交点关于直线2xyb0对称，则k，b的值分别为_解析因为直线ykx与圆(x2)2y21的两个交点关于直线2xyb0对称，则ykx与直线
67、2xyb0垂直，且2xyb0过圆心，所以解得k，b4.答案k，b46若直线xy10与圆(xa)2y22有公共点，则实数a的取值范围是_解析由题意可得，圆的圆心为(a,0)，半径为，即|a1|2，解得3a1.答案3,17过点M的直线l与圆C：(x1)2y24交于A，B两点，C为圆心，当ACB最小时，直线l的方程为_解析由题意得，当CMAB时，ACB最小，从而直线方程y1，即2x4y30.答案2x4y308(2014盐城二模)两圆相交于两点(1,3)和(m，1)，两圆圆心都在直线xyc0上，且m、c均为实数，则mc_.解析根据两圆相交的性质可知，两点(1,3)和(m，1)的中点在直线xyc0上，并
68、且过两点的直线与xyc0垂直，故有m5，c2，mc3.答案3二、解答题9求过两圆x2y24xy1，x2y22x2y10的交点的圆中面积最小的圆的方程解由得2xy0代入得x或1，两圆两个交点为，(1，2)过两交点圆中，以，(1，2)为端点的线段为直径的圆时，面积最小该圆圆心为，半径为，圆方程为22.10已知：圆C：x2y28y120，直线l：axy2a0.(1)当a为何值时，直线l与圆C相切；(2)当直线l与圆C相交于A，B两点，且|AB|2时，求直线l的方程解将圆C的方程x2y28y120化成标准方程为x2(y4)24，则此圆的圆心为(0,4)，半径为2.(1)若直线l与圆C相切，则有2，解得
69、a.(2)过圆心C作CDAB，则根据题意和圆的性质，得解得a7或1.故所求直线方程为7xy140或xy20.能力提升题组(建议用时：25分钟)一、填空题1(2014安徽宣城六校联考)已知点P(x0，y0)，圆O：x2y2r2(r0)，直线l：x0xy0yr2，有以下几个结论：若点P在圆O上，则直线l与圆O相切；若点P在圆O外，则直线l与圆O相离；若点P在圆O内，则直线l与圆O相交；无论点P在何处，直线l与圆O恒相切，其中正确的结论是_解析根据点到直线的距离公式有d，若点P在圆O上，则xyr2，dr，相切；若点P在圆O外，则xyr2，dr，相交；若点P在圆O内，则xyr2，dr，相离，故只有正确
70、答案2(2014长沙模拟)若圆C：x2y22x4y30关于直线2axby60对称，则由点(a，b)向圆所作的切线长的最小值是_解析圆的标准方程为(x1)2(y2)22，所以圆心为(1,2)，半径为.因为圆关于直线2axby60对称，所以圆心在直线2axby60上，所以2a2b60，即ba3，点(a，b)到圆心的距离为d.所以当a2时，d有最小值3，此时切线长最小，为4.答案43(2013湖北卷)已知圆O：x2y25，直线l：xcos ysin 1(00，b0)，即bxayab0.由直线l与圆O相切，得，即.所以DE2a2b22(a2b2)228，当且仅当ab2时等号成立，此时直线l的方程为xy
71、20.(3)设M(x1，y1)，P(x2，y2)，则N(x1，y1)，xy2，xy2.直线MP与x轴交点为，即m.直线NP与x轴交点为，即n.所以mn2，故mn2为定值考点三与圆有关的最值与范围问题【例3】 (2014扬州中学质检(三)已知C：x2(y1)21和直线l：y1，由C外一点P(a，b)向C引切线PQ，切点为Q，且满足PQ等于P到直线l的距离(1)求实数a，b满足的关系式；(2)设M为C上一点，求线段PM长的最小值；(3)当P在x轴上时，在l上求一点R，使得|CRPR|最大解(1)过P作PHl于H，则由题意可得PQ，PH|b1|.因为PQPH，所以|b1|，即a2(b1)21(b1)
72、2，整理，得a，b满足的关系式是a24b1.(2)由平面几何可知，当PC最小时线段PC与C交于M，此时PM的值最小因为PC，且ba2，所以当b时，PCmin，此时PMminPCmin1.(3)因为a24b1，令b0，得a1.由题意知P1(1,0)，P2(1,0)由平面几何可知，当R为直线CP与直线l的交点时，|CRPR|取最大值因为直线CP1方程为yx1，直线CP2方程为yx1.所以由解得由解得故当点P的坐标为(1,0)时，点R的坐标为(2，1)；当点P的坐标为(1,0)时，点R的坐标为(2，1)规律方法 解与圆有关的最值与范围问题，可以通过建立目标函数求得，还可以用基本不等式和圆的几何意义求
73、解【训练3】 若动点P在直线l1：xy20上，动点Q在直线l2：xy60上，设线段PQ的中点为M(x0，y0)，且(x02)2(y02)28，则xy的取值范围是_解析因为l1l2，所以点M(x0，y0)在直线xy0，即xy40上运动，此直线在圆面(x2)2(y2)28内为线段AB，原点O到线段AB上任一点距离的范围是|OC|，|OA|或|OB|，即为2，4，所以xy的取值范围是8,16答案8,16与圆有关的最值与范围问题是江苏高考考查解析几何的重点，解这类问题的主要方法是建立目标函数，利用基本不等式以及圆的几何意义，特别是几何法，是解与圆有关的问题的特有的典型方法 学生用书第137页思想方法1
74、1用方程的思想解决圆过定点的问题【典例】 已知圆O的方程为x2y21，直线l1过点A(3,0)，且与圆O相切(1)求直线l1的方程；(2)设圆O与x轴交于P，Q两点，M是圆O上异于P，Q的任意一点，过点A且与x轴垂直的直线为l2，直线PM交直线l2于点P，直线QM交直线l2于点Q.求证：以PQ为直径的圆C总经过定点，并求出定点坐标(1)解直线l1过点A(3,0)，且与圆C：x2y21相切，设直线l的方程为yk(x3)，(斜率不存在时，明显不符合要求)，即kxy3k0，则圆心O(0,0)到直线l1的距离为d1，解得k，直线l1的方程为y(x3)(2)证明对于圆方程x2y21，令y0，得x1，故可
75、令P(1,0)，Q(1,0)又直线l2过点A且与x轴垂直，直线l2的方程为x3，设M(s，t)，则直线PM的方程为y(x1)解方程组得P.同理可得，Q，以PQ为直径的圆C的方程为(x3)(x3)0，又s2t21，整理得(x2y26x1)y0，若圆C经过定点，只需令y0，从而有x26x10，解得x32，圆C总经过定点，坐标为(32，0)反思感悟 (1)本题第(1)问考生解答比较完整第(2)问得分率不高，原因为二：一是写不出圆C的方程；二是整理得(x2y26x1)y0后，不知如何解决定点问题(2)解决与圆有关的问题时，以下几点易造成失分；利用点斜式求圆的切线方程时，易忽视斜率不存在的情况两圆相切时
76、忽视内切还是外切判断直线与圆及圆与圆的位置关系时，重视代数法忽略几何法【自主体验】已知圆C的方程为(x4)2y216，直线l过圆心且垂直于x轴，其中G点在圆上，F点坐标为(6,0)(1)若直线FG与直线l交于点T，且G为线段FT的中点，求直线FG被圆C所截得的弦长；(2)在平面上是否存在定点P，使得对圆C上任意的点G有？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由解(1)由题意，设G(5，yG)，代入(x4)2y216，得yG，所以FG的斜率为k，FG的方程为y(x6)设圆心C(4,0)到FG的距离为d，由点到直线的距离公式得d.则直线FG被圆C截得的弦长为27.故直线FG被圆C截得的弦长为7
77、.(2)设P(s，t)，G(x0，y0)，则由，得，整理得3(xy)(482s)x02ty0144s2t20.又G(x0，y0)在圆C：(x4)2y216上，所以xy8x00.将代入，得(2s24)x02ty0144s2t20.又由G(x0，y0)为圆C上任意一点可知，解得s12，t0.所以在平面上存在定点P(12,0)，使得结论成立.基础巩固题组(建议用时：40分钟)一、填空题1已知实数x，y满足则点(x，y)到圆(x2)2(y6)21上点的距离的最小值是_答案412已知x，y满足x2y24x6y120，则x2y2最小值为_解析法一点(x，y)在圆(x2)2(y3)21上，故点(x，y)到原
78、点距离的平方即x2y2最小值为(1)2142.法二设圆的参数方程为则x2y2144cos 6sin ，所以x2y2的最小值为14142.答案1423圆C的方程为(x2)2y24，圆M的方程为(x25cos )2(y5sin )21(R)过圆M上任意一点P作圆C的两条切线PE，PF，切点分别为E，F，则的最小值是_解析如图所示，连接CE，CF.由题意，可知圆心M(25cos ，5sin )，设则可得圆心M的轨迹方程为(x2)2y225，由图，可知只有当M，P，C三点共线时，才能够满足最小，此时|PC|4，|EC|2，故|PE|PF|2，EPF60，则(2)2cos 606.答案64(2013南京
79、29中模拟)过圆x2y21上一点作圆的切线与x轴、y轴的正半轴交于A、B两点，则AB的最小值为_解析设圆上的点为(x0，y0)，其中x00，y00，切线方程为x0xy0y1，分别令x0，y0，得A、B，所以AB2.答案25(2014南通模拟)若圆C：(xa)2(y1)21在不等式xy10所表示的平面区域内，则a的最小值为_解析由题意，得解得a2.答案26(2014南京一中月考)过点(，0)引直线l与曲线y相交于A，B两点，O为坐标原点，当AOB的面积取最大值时，直线l的斜率等于_解析设O到l的距离为d则|AB|直线pyk(x)，SAOBd2d，当且仅当d21d2即d2时取到最大值，dk2又A、
80、B两点在一、二象限，k0，k答案7直线axby1与圆x2y21相交于A，B两点(其中a，b是实数)，且AOB是直角三角形(O是坐标原点)，则点P(a，b)与点(0,1)之间的距离的最大值为_解析AOB是直角三角形等价于圆心(0,0)到直线axby1的距离等于，由点到直线的距离公式，得，即2a2b22，即a21且b，点P(a，b)与点(0,1)之间的距离为d ，因此当b时，d取最大值，此时dmax1.答案18(2012北京师大附中检测)已知P是直线3x4y80上的动点，PA、PB是圆x2y22x2y10的切线，A、B是切点，C是圆心，那么四边形PACB面积的最小值是_解析如图所示，由题意，圆x2
81、y22x2y10的圆心是C(1,1)，半径为1，由PAPB易知四边形PACB的面积(PAPB)PA，故PA最小时，四边形PACB的面积最小由于PA，故PC最小时PA最小，此时CP垂直于直线3x4y80，P为垂足，PC3，PA2，所以四边形PACB面积的最小值是2.答案2二、解答题9已知以点C(tR，t0)为圆心的圆与x轴交于点O、A，与y轴交于点O、B，其中O为原点(1)求证：OAB的面积为定值；(2)设直线y2x4与圆C交于点M，N，若OMON，求圆C的方程(1)证明圆C过原点O，OC2t2.设圆C的方程是(xt)22t2，令x0，得y10，y2；令y0，得x10，x22t.SOABOAOB
82、|2t|4，即OAB的面积为定值(2)解OMON，CMCN，OC垂直平分线段MN.kMN2，kOC，直线OC的方程是y.t，解得t2或t2.当t2时，圆心C的坐标为(2,1)，OC，此时圆心C到直线y2x4的距离d，圆C与直线y2x4相交于两点当t2时，圆心C的坐标为(2，1)，OC，此时圆心C到直线y2x4的距离d，圆C与直线y2x4相离，t2不符合题意舍去圆C的方程为(x2)2(y1)25.10(2014宿迁联考)已知C过点P(1,1)，且与M：(x2)2(y2)2r2(r0)关于直线xy20对称(1)求C的方程；(2)设Q为C上的一个动点，求的最小值；(3)过点P作两条相异直线分别与C相
83、交于A、B，且直线PA和直线PB的倾斜角互补，O为坐标原点，试判断直线OP和AB是否平行？请说明理由解(1)设圆心C(a，b)，则有 解得则圆C的方程为x2y2r2，将点P的坐标代入，得r22.故圆C的方程为x2y22.(2)设Q(x，y)，则x2y22，且(x1，y1)(x2，y2)x2y2xy4xy2.所以的最小值为4.(也可由线性规划或三角代换求得)(3)由题意知，直线PA和直线PB的斜率存在，且互为相反数，故可设PA：y1k(x1)，PB：y1k(x1)由得(1k2)x22k(1k)x(1k)220.因为点P的横坐标x1一定是该方程的解，故可得xA.同理，xB.所以kAB1kOP.所以
84、直线AB和OP一定平行能力提升题组(建议用时：25分钟)一、填空题1过直线xy20上一点P作圆O：x2y21的两条切线，若两条切线的夹角是60，则点P的坐标是_解析因为点P在直线xy20上，所以可设点P(x0，x02)，设其中一个切点为M.因为两条切线的夹角为60，所以OPM30.故在RtOPM中，有OP2OM2，所以OP24，即x(x02)24，解得x0.故点P的坐标是(，)答案(，)2(2014南师附中月考)若直线l：axby10始终平分圆M：x2y24x2y10的周长，则(a2)2(b2)2的最小值为_解析由题意，圆(x2)2(y1)24的圆心(2，1)在直线axby10上，所以2ab1
85、0，即2ab10.因为表示点(a，b)与(2,2)的距离，所以的最小值为，即(a2)2(b2)2的最小值为5.答案53若直线2xya0与圆(x1)2y21有公共点，则实数a的取值范围是_解析若直线与圆有公共点，即直线与圆相交或相切，故有1，解得2a2.答案2，2二、解答题4已知圆M：(x1)2(y1)24，直线l：xy60，A为直线l上一点(1)若AM直线l，过A作圆M的两条切线，切点分别为P，Q，求PAQ的大小；(2)若圆M上存在两点B，C，使得BAC60，求点A横坐标的取值范围解(1)圆M的圆心M(1,1)，半径r2，直线l的斜率为1，而AMl，kAM1.直线AM的方程为yx.由解得，即A(3,3)如图，连结MP.PAMPAQ，sinPAM，PAM45 ，PAQ90 .(2)过A(a，b)作AD，AE，分别与圆M相切于D，E两点，因为DAEBAC，所以要使圆M上存在两点B，C，使得BAC60 ，只要使DAE60 .AM平分DAE，只要30 DAM90 .类似于第(1)题，只要sinDAM1，即且1.又ab60，解得1a5，即a的取值范围是1,5
