1、课时作业(五十一)一、选择题1直线ykx2与抛物线y28x有且只有一个公共点,则k的值为()A1 B1或3 C0 D1或0解析:由得ky28y160,若k0,则y2,若k0,则0,即6464k0,解得k1,因此若直线ykx2与抛物线y28x有且只有一个公共点,则k0或k1.答案:D2若以椭圆上一点和两个焦点为顶点的三角形面积的最大值为1,则椭圆长轴长的最小值为()A1 B. C2 D2解析:设椭圆1(ab0),则使三角形面积最大时,三角形在椭圆上的顶点为椭圆短轴端点,S2cbbc1.a22.a.长轴长2a2,故选D.答案:D3(2013山西适应性训练考试)过抛物线y22px(p0)的焦点作倾斜
2、角为30的直线l与抛物线交于P,Q两点,分别过P,Q两点作PP1,QQ1垂直于抛物线的准线于P1,Q1,若|PQ|2,则四边形PP1Q1Q的面积是()A1 B2 C3 D.解析:S(|PP1|QQ1|)|P1Q1|PQ|PQ|sin 3041.答案:A4抛物线的顶点在坐标原点,焦点与双曲线1的一个焦点重合,则该抛物线的标准方程可能是()Ax24y Bx24yCy212x Dx212y解析:由题意,得c3.抛物线的焦点坐标为(0,3)或(0,3)抛物线的标准方程为x212y或x212y.答案:D5(2013四川卷)从椭圆1(ab0)上一点P向x轴作垂线,垂足恰为左焦点F1,A是椭圆与x轴正半轴的
3、交点,B是椭圆与y轴正半轴的交点,且ABOP(O是坐标原点),则该椭圆的离心率是()A. B. C. D.解析:由已知,点P(c,y)在椭圆上,代入椭圆方程,得P.ABOP,kABkOP,即,则bc,a2b2c22c2,则,即该椭圆的离心率是,选C.答案:C6(2013东北三校第二次联考)已知椭圆1(ab0)与双曲线1(m0,n0)有相同的焦点(c,0)和(c,0),若c是a与m的等比中项,n2是2m2与c2的等差中项,则椭圆的离心率是()A. B. C. D.解析:由题知m2n2c2,即n2c2m2,n2是2m2与c2的等差中项,有2m2c22n22c22m2得m2即m,又因c是a与m的等比
4、中项,所以amc2,即ac2,选A.答案:A二、填空题7(2013河南十所名校第三次联考)圆x2y22xmy20关于抛物线x24y的准线对称,则m_.解析:由条件易知圆心在抛物线x24y的准线y1上,得m2.答案:28已知抛物线C的顶点在坐标原点,焦点为F(0,1),直线l与抛物线C相交于A,B两点,若AB的中点为(2,2),则直线l的方程为_解析:由题意知,抛物线的方程为x24y,设A(x1,y1),B(x2,y2),且x1x2,联立方程得两式相减得xx4(y1y2),1,直线l的方程为y2(x2),即yx.答案:xy09(2013江西卷)抛物线x22px(p0)的焦点为F,其准线与双曲线1
5、相交于A,B两点,若ABF为等边三角形,则p_.解析:由x22py(p0)得焦点F,准线l为y,所以可求得抛物线的准线与双曲线1的交点A,B,所以|AB|,则|AF|AB|,所以sin ,即,解得p6.答案:6三、解答题10(2013新课标全国卷)在平面直角坐标系xOy中,已知圆P在x轴上截得线段长为2,在y轴上截得线段长为2.(1)求圆心P的轨迹方程;(2)若P点到直线yx的距离为,求圆P的方程解:(1)设P(x,y),圆P的半径为r.由题设y22r2,x23r2,从而y22x23.故P点的轨迹方程为y2x21.(2)设P(x0,y0)由已知得.又P点在双曲线y2x21上,从而得由得此时,圆
6、P的半径r.由得此时,圆P的半径r.故圆P的方程为x2(y1)23或x2(y1)23.11(2013新课标全国卷)已知圆M:(x1)2y21,圆N:(x1)2y29,动圆P与圆M外切并且与圆N内切,圆心P的轨迹为曲线C.(1)求C的方程;(2)l是与圆P,圆M都相切的一条直线,l与曲线C交于A,B两点,当圆P的半径最长时,求|AB|.解:由已知得圆M的圆心为M(1,0),半径r11;圆N的圆心为N(1,0),半径r23.设圆P的圆心为P(x,y),半径为R.(1)因为圆P与圆M外切并且与圆N内切,所以|PM|PN|(Rr1)(r2R)r1r24.由椭圆的定义可知,曲线C是以M,N为左、右焦点,
7、长半轴长为2,短半轴长为的椭圆(左顶点除外),其方程为1(x2)(2)对于曲线C上任意一点P(x,y),由于|PM|PN|2R22,所以R2,当且仅当圆P的圆心为(2,0)时,R2.所以当圆P的半径最长时,其方程为(x2)2y24.若l的倾斜角为90,则l与y轴重合,可得|AB|2.若l的倾斜角不为90,由r1R知l不平行于x轴,设l与x轴的交点为Q,则,可求得Q(4,0),所以可设l:yk(x4)由l与圆M相切得1,解得k.当k时,将yx代入1,并整理得7x28x80,解得x1,2.所以|AB|x2x1|.当k时,由图形的对称性可知|AB|.综上,|AB|2或|AB|.12(2014湖北武汉
8、调考)已知平面内一动点P到点F(1,0)的距离与点P到y轴的距离的差等于1.(1)求动点P的轨迹C的方程;(2)过点F作两条斜率存在且互相垂直的直线l1,l2,设l1与轨迹C相交于点A,B,l2与轨迹C相交于点D,E,求的最小值解:(1)设动点P的坐标为(x,y),由题意有|x|1,化简,得y22x2|x|.当x0时,y24x;当x0时,y0.动点P的轨迹C的方程为y24x(x0)和y0(x0)(2)由题意知,直线l1的斜率存在且不为0,设为k,则l1的方程为yk(x1)由得k2x2(2k24)xk20.设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1,x2是上述方程的两个实根,于是x1x22,x
9、1x21.l1l2,l2的斜率为.设D(x3,y3),E(x4,y4),则同理可是x3x424k2,x3x41.故()()|(x11)(x21)(x31)(x41)x1x2(x1x2)1x3x4(x3x4)1111184842 16.当且仅当k2,即k1时,取最小值16.热点预测13(2013辽宁五校第一联合体考试)在直角坐标系xOy上取两个定点A1(2,0)、A2(2,0),再取两个动点N1(0,m)、N2(0,n),且mn3.(1)求直线A1N1与A2N2交点的轨迹M的方程;(2)已知F2(1,0),设直线l:ykxm与(1)中的轨迹M交于P、Q两点,直线F2P、F2Q的倾斜角为、,且,求
10、证:直线l过定点,并求该定点的坐标解:(1)依题意知直线A1N1的方程为:y(x2),直线A2N2的方程为:y(x2),设Q(x,y)是直线A1N1与A2N2的交点,得y2(x24),由mn3,整理得1.N1、N2不与原点重合,点A1(2,0)、A2(2,0)不在轨迹M上,轨迹M的方程为1(x2)(2)由题意知,直线l的斜率存在且不为零,联立方程得,消去y,得(34k2)x28kmx4m2120,设P(x1,y1)、Q(x2,y2),则,且kF2P,kF2Q.由已知,得kF2PkF2Q0,0,化简,得2kx1x2(mk)(x1x2)2m0,代入,得2k2m0,整理得m4k.直线l的方程为yk(x4),因此直线l过定点,该定点的坐标为(4,0)