1、课时作业(五十一)一、选择题1直线ykx2与抛物线y28x有且只有一个公共点，则k的值为()A1 B1或3 C0 D1或0解析：由得ky28y160，若k0，则y2，若k0，则0，即6464k0，解得k1，因此若直线ykx2与抛物线y28x有且只有一个公共点，则k0或k1.答案：D2若以椭圆上一点和两个焦点为顶点的三角形面积的最大值为1，则椭圆长轴长的最小值为()A1 B. C2 D2解析：设椭圆1(ab0)，则使三角形面积最大时，三角形在椭圆上的顶点为椭圆短轴端点，S2cbbc1.a22.a.长轴长2a2，故选D.答案：D3(2013山西适应性训练考试)过抛物线y22px(p0)的焦点作倾斜
2、角为30的直线l与抛物线交于P，Q两点，分别过P，Q两点作PP1，QQ1垂直于抛物线的准线于P1，Q1，若|PQ|2，则四边形PP1Q1Q的面积是()A1 B2 C3 D.解析：S(|PP1|QQ1|)|P1Q1|PQ|PQ|sin 3041.答案：A4抛物线的顶点在坐标原点，焦点与双曲线1的一个焦点重合，则该抛物线的标准方程可能是()Ax24y Bx24yCy212x Dx212y解析：由题意，得c3.抛物线的焦点坐标为(0,3)或(0，3)抛物线的标准方程为x212y或x212y.答案：D5(2013四川卷)从椭圆1(ab0)上一点P向x轴作垂线，垂足恰为左焦点F1，A是椭圆与x轴正半轴的
3、交点，B是椭圆与y轴正半轴的交点，且ABOP(O是坐标原点)，则该椭圆的离心率是()A. B. C. D.解析：由已知，点P(c，y)在椭圆上，代入椭圆方程，得P.ABOP，kABkOP，即，则bc，a2b2c22c2，则，即该椭圆的离心率是，选C.答案：C6(2013东北三校第二次联考)已知椭圆1(ab0)与双曲线1(m0，n0)有相同的焦点(c,0)和(c,0)，若c是a与m的等比中项，n2是2m2与c2的等差中项，则椭圆的离心率是()A. B. C. D.解析：由题知m2n2c2，即n2c2m2，n2是2m2与c2的等差中项，有2m2c22n22c22m2得m2即m，又因c是a与m的等比
4、中项，所以amc2，即ac2，选A.答案：A二、填空题7(2013河南十所名校第三次联考)圆x2y22xmy20关于抛物线x24y的准线对称，则m_.解析：由条件易知圆心在抛物线x24y的准线y1上，得m2.答案：28已知抛物线C的顶点在坐标原点，焦点为F(0，1)，直线l与抛物线C相交于A，B两点，若AB的中点为(2，2)，则直线l的方程为_解析：由题意知，抛物线的方程为x24y，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，且x1x2，联立方程得两式相减得xx4(y1y2)，1，直线l的方程为y2(x2)，即yx.答案：xy09(2013江西卷)抛物线x22px(p0)的焦点为F，其准线与双曲线1
5、相交于A，B两点，若ABF为等边三角形，则p_.解析：由x22py(p0)得焦点F，准线l为y，所以可求得抛物线的准线与双曲线1的交点A，B，所以|AB|，则|AF|AB|，所以sin ，即，解得p6.答案：6三、解答题10(2013新课标全国卷)在平面直角坐标系xOy中，已知圆P在x轴上截得线段长为2，在y轴上截得线段长为2.(1)求圆心P的轨迹方程；(2)若P点到直线yx的距离为，求圆P的方程解：(1)设P(x，y)，圆P的半径为r.由题设y22r2，x23r2，从而y22x23.故P点的轨迹方程为y2x21.(2)设P(x0，y0)由已知得.又P点在双曲线y2x21上，从而得由得此时，圆
6、P的半径r.由得此时，圆P的半径r.故圆P的方程为x2(y1)23或x2(y1)23.11(2013新课标全国卷)已知圆M：(x1)2y21，圆N：(x1)2y29，动圆P与圆M外切并且与圆N内切，圆心P的轨迹为曲线C.(1)求C的方程；(2)l是与圆P，圆M都相切的一条直线，l与曲线C交于A，B两点，当圆P的半径最长时，求|AB|.解：由已知得圆M的圆心为M(1,0)，半径r11；圆N的圆心为N(1,0)，半径r23.设圆P的圆心为P(x，y)，半径为R.(1)因为圆P与圆M外切并且与圆N内切，所以|PM|PN|(Rr1)(r2R)r1r24.由椭圆的定义可知，曲线C是以M，N为左、右焦点，
7、长半轴长为2，短半轴长为的椭圆(左顶点除外)，其方程为1(x2)(2)对于曲线C上任意一点P(x，y)，由于|PM|PN|2R22，所以R2，当且仅当圆P的圆心为(2,0)时，R2.所以当圆P的半径最长时，其方程为(x2)2y24.若l的倾斜角为90，则l与y轴重合，可得|AB|2.若l的倾斜角不为90，由r1R知l不平行于x轴，设l与x轴的交点为Q，则，可求得Q(4,0)，所以可设l：yk(x4)由l与圆M相切得1，解得k.当k时，将yx代入1，并整理得7x28x80，解得x1,2.所以|AB|x2x1|.当k时，由图形的对称性可知|AB|.综上，|AB|2或|AB|.12(2014湖北武汉
8、调考)已知平面内一动点P到点F(1,0)的距离与点P到y轴的距离的差等于1.(1)求动点P的轨迹C的方程；(2)过点F作两条斜率存在且互相垂直的直线l1，l2，设l1与轨迹C相交于点A，B，l2与轨迹C相交于点D，E，求的最小值解：(1)设动点P的坐标为(x，y)，由题意有|x|1，化简，得y22x2|x|.当x0时，y24x；当x0时，y0.动点P的轨迹C的方程为y24x(x0)和y0(x0)(2)由题意知，直线l1的斜率存在且不为0，设为k，则l1的方程为yk(x1)由得k2x2(2k24)xk20.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1，x2是上述方程的两个实根，于是x1x22，x
9、1x21.l1l2，l2的斜率为.设D(x3，y3)，E(x4，y4)，则同理可是x3x424k2，x3x41.故()()|(x11)(x21)(x31)(x41)x1x2(x1x2)1x3x4(x3x4)1111184842 16.当且仅当k2，即k1时，取最小值16.热点预测13(2013辽宁五校第一联合体考试)在直角坐标系xOy上取两个定点A1(2,0)、A2(2,0)，再取两个动点N1(0，m)、N2(0，n)，且mn3.(1)求直线A1N1与A2N2交点的轨迹M的方程；(2)已知F2(1,0)，设直线l：ykxm与(1)中的轨迹M交于P、Q两点，直线F2P、F2Q的倾斜角为、，且，求
10、证：直线l过定点，并求该定点的坐标解：(1)依题意知直线A1N1的方程为：y(x2)，直线A2N2的方程为：y(x2)，设Q(x，y)是直线A1N1与A2N2的交点，得y2(x24)，由mn3，整理得1.N1、N2不与原点重合，点A1(2,0)、A2(2,0)不在轨迹M上，轨迹M的方程为1(x2)(2)由题意知，直线l的斜率存在且不为零，联立方程得，消去y，得(34k2)x28kmx4m2120，设P(x1，y1)、Q(x2，y2)，则，且kF2P，kF2Q.由已知，得kF2PkF2Q0，0，化简，得2kx1x2(mk)(x1x2)2m0，代入，得2k2m0，整理得m4k.直线l的方程为yk(x4)，因此直线l过定点，该定点的坐标为(4,0)