1、第一节直线的倾斜角与斜率、直线的方程1直线的倾斜角(1)定义：在平面直角坐标系中，对于一条与x轴相交的直线l，把x轴(正方向)按逆时针方向绕着交点旋转到和直线l重合所成的角，叫作直线l的倾斜角，当直线l和x轴平行时，它的倾斜角为0.(2)倾斜角的范围为0，)_2直线的斜率(1)定义：一条直线的倾斜角的正切值叫做这条直线的斜率，斜率常用小写字母k表示，即ktan_，倾斜角是90的直线没有斜率(2)过两点的直线的斜率公式：经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1x2)的直线的斜率公式为k.3直线方程名称几何条件方程局限性点斜式过点(x0，y0)，斜率为kyy0k(xx0)不含垂直于x轴
2、的直线斜截式斜率为k，纵截距为bykxb不含垂直于x轴的直线两点式过两点(x1，y1)，(x2，y2)，(x1x2，y1y2)不包括垂直于坐标轴的直线截距式在x轴、y轴上的截距分别为a，b(a，b0)1不包括垂直于坐标轴和过原点的直线一般式AxByC0(A，B不全为0)1利用两点式计算斜率时易忽视x1x2时斜率k不存在的情况2用直线的点斜式求方程时，在斜率k不明确的情况下，注意分k存在与不存在讨论，否则会造成失误3直线的截距式中易忽视截距均不为0这一条件，当截距为0时可用点斜式4由一般式AxByC0确定斜率k时易忽视判断B是否为0，当B0时，k不存在；当B0时，k.试一试1若直线(2m2m3)
3、x(m2m)y4m1在x轴上的截距为1，则实数m是()A1B2C D2或解析：选D当2m2m30时，即m1或m时，在x轴上截距为1，即2m23m20，故m2或m.2过点M(2，m)，N(m,4)的直线的斜率等于1，则m的值为_解析：kMN1，m1.答案：13过点M(3，4)，且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程为_解析：若直线过原点，则k，所以yx，即4x3y0.若直线不过原点设1，即xya.则a3(4)1，所以直线的方程为xy10.答案：4x3y0或xy101求斜率可用ktan (90)，其中为倾斜角，由此可见倾斜角与斜率相互联系不可分割，牢记：“斜率变化分两段，90是分界线，遇到斜率要谨记
4、，存在与否需讨论”2求直线方程的一般方法(1)直接法：根据已知条件，选择适当的直线方程形式，直接写出直线方程，选择时，应注意各种形式的方程的适用范围，必要时要分类讨论(2)待定系数法，具体步骤为：设所求直线方程的某种形式；由条件建立所求参数的方程(组)；解这个方程(组)求出参数；把参数的值代入所设直线方程练一练1直线xsin y20的倾斜角的取值范围是()A0，) B.C. D.解析：选B设倾斜角为，则有tan sin 其中sin 1,1又0，)，0或.2过点(5,10)且到原点的距离是5的直线的方程为_解析：当斜率不存在时，所求直线方程为x50；当斜率存在时，设其为k，则所求直线方程为y10
5、k(x5)，即kxy(105k)0.由点到直线的距离公式，得5，解得k.故所求直线方程为3x4y250.综上知，所求直线方程为x50或3x4y250.答案：x50或3x4y250考点一直线的倾斜角与斜率1(2013秦皇岛模拟)直线xy10的倾斜角是()A.B.C. D.解析：选D由直线的方程得直线的斜率为k，设倾斜角为，则tan ，又0，)，所以.2(2014常州模拟)若ab0，则过点P与Q的直线PQ的倾斜角的取值范围是_解析：kPQ0，又倾斜角的取值范围为0，)，故直线PQ的倾斜角的取值范围为.答案：类题通法1求倾斜角的取值范围的一般步骤(1)求出斜率ktan 的取值范围；(2)利用三角函数
6、的单调性，借助图像或单位圆数形结合，确定倾斜角的取值范围2求倾斜角时要注意斜率是否存在考点二直线方程典例根据所给条件求直线的方程：(1)直线过点(4,0)，倾斜角的正弦值为；(2)直线过点(3,4)，且在两坐标轴上的截距之和为12.解(1)由题设知，该直线的斜率存在，故可采用点斜式设倾斜角为，则sin (0)，从而cos ，则ktan .故所求直线方程为y(x4)即x3y40或x3y40.(2)由题设知截距不为0，设直线方程为1，又因为直线过点(3,4)，所以1，解得a4或a9.故所求直线方程为4xy160或x3y90.类题通法1在求直线方程时，应选择适当的形式，并注意各种形式的适用条件2对于
7、点斜式、截距式方程使用时要注意分类讨论思想的运用针对训练经过点P(5，4)，且与两坐标轴围成的三角形的面积为5的直线方程是()A8x5y200或2x5y120B8x5y200或2x5y100C8x5y100或2x5y100D8x5y200或2x5y100解析：选D由题意设所求方程为y4k(x5)，即kxy5k40.由|5k4|5|5得，k或k.考点三直线方程的综合应用直线方程的综合应用是常考内容之一，它与函数、向量、不等式相结合，命题多为客观题.归纳起来常见的命题角度有：(1)与基本不等式相结合求最值问题；(2)直线方程与平面向量的综合.角度一与基本不等式相结合求最值问题1已知直线l过点M(1
8、,1)，且与x轴，y轴的正半轴分别相交于A，B两点，O为坐标原点求：(1)当|OA|OB|取得最小值时，直线l的方程；(2)当|MA|2|MB|2取得最小值时，直线l的方程解：(1)设A(a,0)，B(0，b)(a0，b0)设直线l的方程为1，则1，所以|OA|OB|ab(ab) 2224，当且仅当ab2时取等号，此时直线l的方程为xy20.(2)设直线l的斜率为k，则k0，直线l的方程为y1k(x1)，则A，B(0,1k), 所以|MA|2|MB|221212(11k)22k2224，当且仅当k2，即k1时，|MA|2|MB|2取得最小值4，此时直线l的方程为xy20.角度二直线方程与平面向
9、量的综合2已知直线l过点M(2,1)，且与x轴，y轴的正半轴分别相交于A，B两点，O为坐标原点求当取得最小值时，直线l的方程解：设A(a,0)，B(0，b)则a0，b0，直线l的方程为1，所以1.故(a2，1)(2，b1)2(a2)b12ab5(2ab)54，当且仅当ab3时取等号，此时直线l的方程为xy30.类题通法1含有参数的直线方程可看作直线系方程，这时要能够整理成过两条定直线交点的直线系，即能够看出“动中有定”2求解与直线方程有关的最值问题，选设出直线方程，建立目标函数，再利用基本不等式求解最值.课堂练通考点1(2014云南检测)直线x的倾斜角等于 ()A0B.C. D解析：选C直线x
10、，知倾斜角为.2直线l：xsin 30ycos 15010的斜率是()A. B.C D解析：选A设直线l的斜率为k，则k.3在等腰三角形AOB中，AOAB，点O(0,0)，A(1,3)，点B在x轴的正半轴上，则直线AB的方程为()Ay13(x3) By13(x3)Cy33(x1) Dy33(x1)解析：选D因为AOAB，所以直线AB的斜率与直线AO的斜率互为相反数，所以kABkOA3，所以直线AB的点斜式方程为：y33(x1)4若过点P(1a,1a)与Q(3,2a)的直线的倾斜角为钝角，则实数a的取值范围是_解析：ktan .为钝角，0，即(a1)(a2)0，故2a1.答案：(2,1)5已知直
11、线l与两坐标轴围成的三角形的面积为3，分别求满足下列条件的直线l的方程：(1)过定点A(3,4)；(2)斜率为.解：(1)设直线l的方程为yk(x3)4，它在x轴，y轴上的截距分别是3,3k4，由已知，得(3k4)6，解得k1或k2.故直线l的方程为2x3y60或8x3y120.(2)设直线l在y轴上的截距为b ，则直线l的方程是yxb，它在x轴上的截距是6b，已知，得|6bb|6，b1.直线l的方程为x6y60或x6y60.课下提升考能第组：全员必做题1若直线l与直线y1，x7分别交于点P，Q，且线段PQ的中点坐标为(1，1)，则直线l的斜率为()A. BC D.解析：选B设P(xP,1)，
12、由题意及中点坐标公式得xP72，解得xP5，即P(5,1)，所以k.2直线axbyc0同时要经过第一、第二、第四象限，则a，b，c应满足()Aab0，bc0 Bab0，bc0Cab0，bc0 Dab0，bc0解析：选A由于直线axbyc0经过第一、二、四象限，所以直线存在斜率，将方程变形为yx.易知0且0，故ab0，bc0.3若实数a，b满足a2b3，则直线2axby120必过定点()A(2,8) B(2,8)C(2，8) D(2，8)解析：选Da2b34a8b120，又2axby120，比较可知x2，y8故选D.4将直线y3x绕原点逆时针旋转90，再向右平移1个单位，所得到的直线为()Ayx
13、 Byx1Cy3x3 Dyx1解析：选A将直线y3x绕原点逆时针旋转90得到直线yx，再向右平移1个单位，所得直线的方程为y(x1)，即yx.5(2014浙江诸暨质检)已知两点M(2，3)，N(3，2)，直线l过点P(1,1)且与线段MN相交，则直线l的斜率k的取值范围是()Ak或k4 B4kC.k4 Dk4解析：选A如图所示，kPN，kPM4，要使直线l与线段MN相交，当l的倾斜角小于90时，kkPN；当l的倾斜角大于90时，kkPM，由已知得k或k4，故选A.6已知A(3,5)，B(4,7)，C(1，x)三点共线，则x_.解析：因为kAB2，kAC.A，B，C三点共线，所以kABkAC，即
14、2，解得x3.答案：37已知两点A(0,1)，B(1,0)，若直线yk(x1)与线段AB总有公共点，则k的取值范围是_解析：yk(x1)是过定点P(1,0)的直线，kPB0，kPA1.k的取值范围是0,1答案：0,18过点M(3,5)且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程为_解析：(1)当过原点时，直线方程为yx，(2)当不过原点时，设直线方程为1，即xya.代入点(3,5)，得a8.即直线方程为xy80.答案：yx或xy809已知两点A(1,2)，B(m,3)(1)求直线AB的方程；(2)已知实数m，求直线AB的倾斜角的取值范围解：(1)当m1时，直线AB的方程为x1；当m1时，直线AB的
15、方程为y2(x1)(2)当m1时，；当m1时，m1(0， ，k(， ，.综合知，直线AB的倾斜角.10已知直线l：kxy12k0(kR)(1)证明：直线l过定点；(2)若直线l不经过第四象限，求k的取值范围；(3)若直线l交x轴负半轴于点A，交y轴正半轴于点B，O为坐标原点，设AOB的面积为S，求S的最小值及此时直线l的方程解：(1)证明：法一：直线l的方程可化为yk(x2)1，故无论k取何值，直线l总过定点(2,1)法二：设直线l过定点(x0，y0)，则kx0y012k0对任意kR恒成立，即(x02)ky010恒成立，x020，y010，解得x02，y01，故直线l总过定点(2,1)(2)直
16、线l的方程为ykx2k1，则直线l在y轴上的截距为2k1，要使直线l不经过第四象限，则解得k的取值范围是0，)(3)依题意，直线l在x轴上的截距为，在y轴上的截距为12k，A，B(0,12k)又0，k0.故S|OA|OB|(12k)(44)4，当且仅当4k，即k时，取等号故S的最小值为4，此时直线l的方程为x2y40.第组：重点选做题1(2014哈尔滨模拟)函数yasin xbcos x的一条对称轴为x，则直线l：axbyc0的倾斜角为()A45B60C120 D135解析：选D由函数yf(x)asin xbcos x的一条对称轴为x知，f(0)f，即ba，直线l的斜率为1，倾斜角为135.2已知直线l1：ax2y2a4，l2：2xa2y2a24，当0a2时，直线l1，l2与两坐标轴围成一个四边形，当四边形的面积最小时，则a_.解析：由题意知直线l1，l2恒过定点P(2,2)，直线l1的纵截距为2a，直线l2的横截距为a22，所以四边形的面积S2(2a)2(a22)a2a42，当a时，面积最小答案：
