1、第2节空间几何体的表面积和体积 【选题明细表】知识点、方法题号几何体的表面积1、6、7、10、12、13、14、15几何体的体积1、2、3、4、5、8、9、11、13、15、16与球有关的问题5、12、14折叠与展开问题6、11、16一、选择题1.(2013年高考山东卷)一个四棱锥的侧棱长都相等,底面是正方形,其正(主)视图如图所示,则该四棱锥侧面积和体积分别是(B)(A)4,8(B)4,(C)4(+1),(D)8,8解析:由题意可以得到原四棱锥的底面正方形的边长为2,四棱锥的高为2,所以侧面三角形底边上的高为,该四棱锥的侧面积为S侧=24=4,体积为V=42=,故选B.2.(2013陕西宝鸡
2、市模拟)若一个底面是等腰直角三角形(C为直角顶点)的三棱柱的正视图如图所示,则该三棱柱的体积等于(A)(A)1(B)(C)(D)解析:由正视图知,该三棱柱的底面两直角边的长为,高为1,所以该三棱柱的体积V=1=1.故选A.3.(2013西安联考)某个容器的三视图中正视图与侧视图相同,如图所示,则这个容器的容积(不计容器材料的厚度)为(B)(A)(B)(C)(D)解析:由三视图知,原几何体为圆锥和圆柱的组合体,其中圆锥和圆柱的底面半径为1,圆柱的高为2,圆锥的高为1,所以这个容器的容积为V=122+121=,故选B.4.(2013兰州市诊断测试)某几何体的三视图如图所示,则它的体积是(C)(A)
3、(B)8-(C)8-(D)8-2解析:由三视图知,几何体为一个正方体里面挖去一个圆锥,正方体的棱长为2,圆锥的底面半径为1,高为2,所以该几何体的体积为V=23-122=8-,故选C.5.(2013山东兖州摸底)某几何体的三视图如图所示,它的体积为(C)(A)72(B)48(C)30(D)24解析:由三视图可知该几何体是半个球体和一个倒立圆锥体的组合体,球的半径为3,圆锥的底面半径为3、高为4,那么根据体积公式可得组合体的体积为30,故选C.6.已知矩形ABCD的面积为8,当矩形ABCD周长最小时,沿对角线AC把ACD折起得到三棱锥DABC,则三棱锥外接球的表面积等于(B)(A)8(B)16(
4、C)48(D)50解析:设矩形长为x,则宽为(x0),周长P=2x+22=8.当且仅当x=,即x=2时,周长取到最小值.此时正方形ABCD沿AC折起,取AC的中点为O,则OA=OB=OC=OD,三棱锥DABC的四个顶点都在以O为球心,以2为半径的球上,此球的表面积为422=16.7.(2013大连市一模)一个几何体的三视图如图所示,若该几何体的表面积为92 m2,则h等于(C)(A)2(B)3(C)4(D)5解析:由三视图可知该几何体是一个底面是直角梯形的四棱柱,几何体的表面积是24+(2+4+5+)h=92,即16h=64,解得h=4.故选C.二、填空题8.(2013年高考江苏卷)如图,在三
5、棱柱A1B1C1ABC中,D,E,F分别是AB,AC,AA1的中点.设三棱锥FADE的体积为V1,三棱柱A1B1C1ABC的体积为V2,则V1V2=.解析:=.答案:1249.(2013天津市一中月考)已知某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为.解析:由三视图可知几何体是一个圆柱体由平面截后剩余的一部分,并且可知该几何体是一个高为6,底面半径为1的圆柱体的一半,则知所求几何体体积为126=3.答案:310.(2013山西师大附中模拟)如图,一个空间几何体的正视图、侧视图都是面积为,一个内角为60的菱形,俯视图为正方形,那么这个几何体的表面积为.解析:由三视图知,该几何体是由两个完全相同的
6、正四棱锥组合在一起的.因为正视图、侧视图都是面积为,一个内角为60的菱形,所以菱形的边长为1,即正四棱锥的底面边长为1,侧面的斜高为1.因此,这个几何体的表面积为S=118=4.答案:411.(2013湖州模拟)如图所示,已知一个多面体的平面展开图由一个边长为1的正方形和4个边长为1的正三角形组成,则该多面体的体积是.解析:易知该几何体是正四棱锥.设为正四棱锥PABCD,连接BD,由PD=PB=1,BD=,知PDPB.设底面中心为O,则四棱锥高PO=,则其体积是V=Sh=12=.答案:12.(2013潍坊市一模)已知一圆柱内接于球O,且圆柱的底面直径与母线长均为2,则球O的表面积为.解析:圆柱
7、的底面直径与母线长均为2,所以球的直径=2,即球半径为,所以球的表面积为4()2=8.答案:8三、解答题13.如图,已知某几何体的三视图如图(单位:cm):(1)画出这个几何体的直观图(不要求写画法);(2)求这个几何体的表面积及体积.解:(1)这个几何体的直观图如图所示.(2)这个几何体可看成是正方体AC1及直三棱柱B1C1QA1D1P的组合体.由PA1=PD1=,A1D1=AD=2,可得PA1PD1.故所求几何体的表面积S=522+22+2()2=22+4(cm2),体积V=23+()22=10(cm3).14.(2013山东潍坊期末)一个几何体的三视图如图所示,其中正视图和侧视图是腰长为
8、4的两个全等的等腰直角三角形,若该几何体的所有顶点在同一球面上,求该球的表面积.解:如图所示该几何体的直观图,是有一条侧棱垂直于底面的四棱锥C1ABCD.其中底面ABCD是边长为4的正方形,高为CC1=4,该几何体的所有顶点在同一球面上,则球的直径为AC1=4=2R,所以球的半径为R=2,所以球的表面积是4R2=4(2)2=48.15.如图所示,在边长为5+的正方形ABCD中,以A为圆心画一个扇形,以O为圆心画一个圆,M,N,K为切点,以扇形为圆锥的侧面,以圆O为圆锥底面,围成一个圆锥,求圆锥的表面积与体积.解:设圆锥的母线长为l,底面半径为r,高为h,由已知条件解得r=,l=4,S=rl+r
9、2=10,h=,V=r2h=.16.(2013安徽黄山三校联考)如图(1)所示,ABC是等腰直角三角形,AC=BC=4,E、F分别为AC、AB的中点,将AEF沿EF折起,使A在平面BCEF上的射影O恰为EC的中点,得到图(2).(1)求证:EFAC;(2)求三棱锥FABC的体积.(1)证明:在ABC中,EF是等腰直角ABC的中位线,EFAC,在四棱锥ABCEF中,EFAE,EFEC,又ECAE=E,EF平面AEC,又AC平面AEC,EFAC.(2)解:在直角梯形BCEF中,EC=2,BC=4,SFBC=BCEC=4,AO平面BCEF,AOEC,又O为EC的中点,AEC为正三角形,边长为2,AO=,=SFBCAO=4=.
