1、1.3函数的基本性质【入门向导】数学与科技根据人类消耗的能源结构比例图的图象，简要说明近150年来人类消耗的能源结构变化情况，并对未来100年能源结构的变化趋势作出预测由图象可以看出近150年来人类消耗木材比例一直减少；消耗的煤炭比例先逐渐增多，到1940年左右达到最大值，以后又逐渐变少；从1880年左右开始消耗石油，到1990年左右所占比例达到最大值，以后又逐渐减少；天然气从1900年左右开始应用于能源，所占比例一直在逐渐增大，核能从1980年左右开始被应用，所占比例逐渐增大太阳能呢？从图象可以看出100年内，木材一般不会再作为能源消耗，煤炭、石油所占比例在逐渐变小，天然气、核能所占比例在逐
2、渐增大，新开发的能源，水化物和太阳能所占比例也逐渐增大解读函数的单调性一、函数的单调性是函数在某个区间上的性质1这个区间可以是整个定义域如yx在整个定义域(，)上是单调递增的，yx在整个定义域(，)上是单调递减的，此时单调性是函数的一个整体性质2这个区间也可以是定义域的一部分，也就是定义域的一个真子集，如yx22x1在整个定义域(，)上不具有单调性，但是在(，1上是减函数，在(1，)上是增函数，这时增减性即单调性是函数的一个局部性质3有的函数无单调性如函数y它的定义域是(，)，但无单调性可言，又如yx21，x0,1,2，它的定义域不是区间，也就不能说它在定义域上具有单调性二、单调性的证明与判断
3、函数单调性的证明与判断的主要方法是定义法严格按照单调性定义进行证明主要步骤有如下五步：(1)取值：定义域中x1，x2的选取，选取x1，x2时必须注意如下三点：x1，x2取值的任意性，即“任意取x1，x2”中，“任意”二字不能省略或丢掉，更不可随意取两个特殊值替代x1，x2；x1与x2有大小，一般规定x1x2；x1与x2同属一个单调区间(2)作差：指求f(x2)f(x1)(3)变形：这一步连同下一步“定号”是单调性证明与判定的核心内容，即将中的差式f(x2)f(x1)进一步化简变形，变到利于判断f(x2)f(x1)的正负为止常用的变形技巧有：通分、因式分解、有理化、配方等一般变形结果是将和差变形
4、为积商，这样才便于定号(4)定号：根据变形结果，确定f(x2)f(x1)的符号(5)判断：根据x1与x2的大小关系及f(x1)与f(x2)的大小关系，结合单调性定义得出结论例1 证明：函数yx3(xR)是增函数证明设x1，x2是R上的任意两个实数，且x1x2，则f(x1)f(x2)xx(x1x2)(xx1x2x)(x1x2)(x1x2)2xx1x2，x1x20.f(x1)f(x2)0，即f(x1)0时，x0，f(x)(x)22(x)3(x22x3)f(x)当x0，f(x)(x)22(x)3(x22x3)f(x)所以f(x)是奇函数剖析尽管对于定义域内的每一个不为零的x，都有f(x)f(x)成立
5、，但当x0时，f(0)3f(0)，所以函数f(x)既不是奇函数也不是偶函数.断函数单调性的方法一、用定义证明函数的单调性例1 证明：函数f(x)在定义域上是减函数证明f(x)的定义域为0，)，设0x10，且f(x2)f(x1)()()，x1x20，f(x2)f(x1)0，即f(x2)f(x1)f(x)在定义域0，)上是减函数点评(1)有的同学认为由0x1x2，得0多么直接呢，其实这种证明方法不正确，因为我们没有这样的性质作依据其次，这种证明利用了函数y的单调性，而y的单调性，我们没有证明，因此不能直接使用(2)在本题的证明中，我们使用了“分子有理化”这种证明技巧，在今后的学习中，我们还会经常遇
6、到，因此要注意观察这类题目的结构特点，在今后的学习中学会使用这种方法例2 已知定义在(0，)上的函数f(x)对任意x，y(0，)，恒有f(xy)f(x)f(y)，且当0x0，判断f(x)在(0，)上的单调性分析抽象函数单调性的判断要紧扣定义，并且要注意对原题条件的应用解设x1，x2(0，)且x1x2，则f(x1)f(x2)f(x2)f(x2)f()f(x2)f(x2)f()x1，x2(0，)且x1x2，00.f(x1)f(x2)f(x)在(0，)上是减函数二、利用已知函数的单调性判断较复杂函数的单调性例3 求函数f(x)(a0)的单调区间分析此函数可化为f(x)x，可根据y的单调性判断解f(x
7、)x.a0，y的单调递减区间是(，0)和(0，)，yx在R上单调递减，f(x)(a0)的单调区间是(，0)和(0，)点评运用已知的结论，直接得到函数的单调性如一次函数、二次函数、反比例函数的单调性均可直接说出了解以下结论，对于直接判断函数的单调性有好处：函数yf(x)与函数yf(x)在相对应的区间上的单调性相反当f(x)恒为正或恒为负时，函数y与yf(x)在相对应的区间上的单调性相反在公共区间内，增函数增函数增函数，增函数减函数增函数等三、图象法例4 求函数yx22|x|3的单调区间分析“脱去”绝对值符号，画出函数图象，由图象观察得出解当x0时，yx22x3(x1)24；当x0时，yx22x3
8、(x1)24.画出图象如图所示：故在(，1和0,1上，函数是增函数；在1,0和1，)上，函数是减函数函数单调性的应用一、比较大小例5 若函数f(x)x2mxn，对任意实数x都有f(2x)f(2x)成立，试比较f(1)，f(2)，f(4)的大小解依题意可知f(x)的对称轴为x2，f(1)f(5)f(x)在2，)上是增函数，f(2)f(4)f(5)，即f(2)f(4)f(1)点评(1)利用单调性可以比较函数值的大小，即增函数中自变量大函数值也大，减函数中自变量小函数值反而变大；(2)利用函数单调性比较大小应注意将自变量放在同一单调区间二、解不等式例6 已知yf(x)在定义域(1,1)上是增函数，且
9、f(t1)f(12t)，求实数t的取值范围解依题意可得解得0t0，函数f(x)x3ax是区间1，)上的单调函数，求实数a的取值范围解任取x1，x21，)，且x10.yf(x2)f(x1)(xax2)(xax1)(x2x1)(xx1x2xa)1x13.显然不存在常数a，使(xx1x2xa)恒为负值又f(x)在1，)上是单调函数，必有一个常数a，使xx1x2xa恒为正数，即xx1x2xa.当x1，x21，)时，xx1x2x3，a3.此时，xx2x10，y0，即函数f(x)在1，)上是增函数，a的取值范围是(0,3四、利用函数单调性求函数的最值例8 已知函数f(x)，x1，)(1)当a4时，求f(x
10、)的最小值；(2)当a时，求f(x)的最小值；(3)若a为正常数，求f(x)的最小值解(1)当a4时，f(x)x2，易知，f(x)在1,2上是减函数，在2，)上是增函数，f(x)minf(2)6.(2)当a时，f(x)x2.易知，f(x)在1，)上为增函数f(x)minf(1).(3)函数f(x)x2在(0，上是减函数，在，)上是增函数若1，即a1时，f(x)在区间1，)上先减后增，f(x)minf()22.若1，即0c.求证：.证明设f(x)(x0)，设0x1x2，则f(x1)f(x2)0.f(x1)c，f(ab)f(c)，即.又f(a)f(b)，.点评本题通过构造函数，利用函数单调性证明不
11、等式判断函数奇偶性的方法函数奇偶性是函数的一个重要性质，在各种考试中屡次出现，其表现形式多种多样，求解方法也不单一，不同的形式对应不同的解决策略现介绍三种常见的方法，供同学们学习时参考一、定义法首先求出函数的定义域，确定其定义域是否关于原点对称，若对称再利用f(x)f(x)(符合为偶函数)或f(x)f(x)(符合为奇函数)，否则既不是奇函数也不是偶函数例10 判断函数f(x)的奇偶性解要使函数有意义，则解得2x2且x0，此函数的定义域2,0)(0,2关于原点对称，且满足x30，则函数f(x)，f(x)f(x)，故函数f(x)是奇函数点评判断函数的奇偶性时，首先一定要观察函数定义域是否关于原点对
12、称，这是判断奇偶性的前提条件二、等价转化法利用函数奇偶性定义的等价形式进行处理，往往借助f(x)f(x)0来解决，方法比较简便三、图象法奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称例11 判断函数f(x)|x2|x2|的奇偶性解f(x)|x2|x2|其图象(如图)关于y轴对称，该函数为偶函数点评利用图象法(数形结合法)解题，形象直观、清晰可见同时数形结合思想一直都是高考考查的重点，同学们要注意领会一道课本习题的拓展证明：(1)若f(x)axb，则f()；(2)若f(x)x2axb，则f().探究为自变量x1、x2中点，对应的函数值f()为“中点的纵坐标”而f(x1)f(x2)为x1、x2
13、对应的函数值所对应的点的中点，即“纵坐标的中点”f(x)axb的图象为直线，所以“中点的纵坐标”等于“纵坐标的中点”，即有f().而f(x)x2axb的图象为开口向上的抛物线，图象向下凹进，由图象可得到“中点的纵坐标”不大于“纵坐标的中点”，即有f().拓展在给定区间内，若函数f(x)的图象向上凸出，则函数f(x)在该区间上为凸函数，结合图象易得到f()；在给定区间内，若函数f(x)的图象向下凹进，则函数f(x)在该区间上为凹函数，结合图象易得到f().这一性质，可以称为函数的凹凸性活用函数的基本性质掌握函数与方程的互化，构造函数求值某些求值问题，若能根据问题的结构特征，注重揭示内在联系，挖掘
14、隐含因素，用运动、变化、相互联系的函数观点来分析、处理变量之间的联系，利用函数的单调性，借助函数的奇偶性把问题解决例12 已知实数x，y满足(x)(y)1，求xy的值解由已知条件可得xy.构造函数f(t)t.显然f(t)t是R上递增函数因为f(x)f(y)，所以xy，即xy0.例13 已知(x2y)5x52x2y0，求xy的值解已知方程化为(x2y)5(x2y)(x5x)由式的结构，构造函数f(t)t5t.显然，f(t)是奇函数，且在R上单调递增由于式可写成f(x2y)f(x)f(x)，所以有x2yx，即xy0.三种数学思想在函数奇偶性中的应用一、数形结合思想例14 设奇函数f(x)的定义域为
15、5,5若当x0,5时，f(x)的图象如图所示，则不等式f(x)0的解集为_解析注意到奇函数的图象关于原点成中心对称，用对称的思想方法画全函数f(x)在5,5上的图象(如图所示)，数形结合，得f(x)0的解集为x|2x0或2x5答案(2,0)(2,5二、分类讨论思想例15 已知函数f(x)x2(x0，aR)，试判断f(x)的奇偶性解当a0时，f(x)x2，对任意x(，0)(0，)，f(x)(x)2x2f(x)，f(x)为偶函数当a0时，f(x)x2(a0，x0)，取x1，得f(1)f(1)20，f(1)f(1)2a0，f(1)f(1)，f(1)f(1)，函数f(x)既不是奇函数，也不是偶函数三、
16、方程思想例16 已知f(x)是定义在R上的奇函数，且f(x)，试求f(x)分析利用奇函数的性质、定义求出参数m、n的值是关键解由f(0)0知m0.由f(x)是奇函数知f(x)f(x)，即，x2nx1x2nx1，n0.f(x).二次函数在某区间上的最值思维规律解读一、定函数在定区间上的最值例17 求函数f(x)x22x2在区间1,4上的最大值和最小值解f(x)(x1)21，其对称轴为x1.因为函数对称轴x1在区间1,4内，又函数开口向上，所以当x1时，f(x)取到最小值为1.又f(1)5，f(4)10，所以在x4时，f(x)取到最大值为10.二、定函数在动区间上的最值例18 函数f(x)x22x
17、2在区间t，t1上的最小值为g(t)，求g(t)的表达式解f(x)(x1)21，其对称轴为x1.当t11时，即t1时，区间t，t1在对称轴的右侧，f(x)在此区间上是增函数所以此时g(t)f(t)t22t2.综上得g(t)三、动函数在定区间上的最值例19 函数f(x)x2ax3在区间2,2上的最大值为g(a)，求g(a)的表达式解f(x)(x)23，其对称轴为x.当对称轴x在区间2,2的右侧，即2，a4时，f(x)在此区间上是减函数所以此时g(a)f(2)72a.当对称轴x在区间2,2内时，如果20，即0a4时，x2距离对称轴较远，所以此时f(x)在x2时取到最大值，为g(a)f(2)72a；
18、如果02，即4a0)”的函数图象的探究例21 试探究函数f(x)x(a0)，x(0，)的单调区间解任取0x1x2，则f(x1)f(x2)x1x2.由于x1x2及x1x2的符号已定，从而f(x1)f(x2)的符号取决于x1x2a的符号由于x1，x2只能取f(x)的某个单调区间上的值，因此考虑x1x2这一极端情形，则x1x2axa，若为零，得x1x2，从而将定义域(0，)分为两个区间(0，)及，)，由此讨论它的单调性即可任取0x1x2，则x1x20，0x1x2a，所以x1x2a0，即f(x1)f(x2)所以函数f(x)在(0，)上单调递减同理可知，函数f(x)在，)上单调递增由f(x)是奇函数，知
19、f(x)在(，)上单调递增，在(，0)上单调递减由函数的单调性及奇偶性，可作出如下图象：知识延伸(1)函数yx(a0)是一个常用且重要的函数，其图象如图所示，记住这个图象和性质会给解题带来方便(2)对形如f(x)这种“分式型”的函数，求它在区间a，b上的最值，常用“分离变量”法转化为yx(a0)模型求解谈复合函数的单调性设yf(t)是t的函数，tg(x)是x的函数，若tg(x)的值域是yf(t)定义域的子集，则y通过中间变量t构成x的函数，称为x的复合函数，记作yf(t)fg(x)如函数y，若设t1x，则y.这里t是x的函数，y是t的函数，所以y是x的复合函数，把t称为中间变量问题1已知函数y
20、f(t)的定义域为区间m，n，函数tg(x)的定义域为区间a，b，值域Dm，n若yf(t)在定义域内单调递增，tg(x)在定义域内单调递增，那么yfg(x)是否为a，b上的增函数？为什么？探究yfg(x)是区间a，b上的增函数证明如下：任取x1，x2a，b，且x1x2，则t1g(x1)，t2g(x2)，且t1，t2m，n因为tg(x)在a，b上递增，所以g(x1)g(x2)，即t1t2，而yf(t)在m，n递增，故f(t1)f(t2)，即fg(x1)0)当x(，1)时，t是x的减函数，y是t的减函数，所以(，1)是y的递增区间；当x(1，)时，t是x的增函数，y是t的减函数，所以(1，)是y的
21、递减区间综上知，函数y的递增区间为(，1)，递减区间为(1，)试一试 求y的单调区间解由x22x30，得x1或x3，令tx22x3(t0)，则y，因为y在(，0)，(0，)上为减函数，而tx22x3在(，1)，(1,1)上为减函数，在(1,3)，(3，)上是增函数，所以函数y的递增区间为(，1)，(1,1)，递减区间为(1,3)，(3，).函数基本性质如何考？1(辽宁高考)设f(x)是连续的偶函数，且当x0时是单调函数，则满足f(x)f的所有x之和为()A3 B3 C8 D8解析因为f(x)是连续的偶函数，且x0时是单调函数，由偶函数的性质可知若f(x)f，只有两种情况：x；x0.由知x23x
22、30，故两根之和为x1x23.由知x25x30，故两根之和为x3x45.因此满足条件的所有x之和为8.答案C2(全国高考)函数f(x)x的图象关于()Ay轴对称 B直线yx对称C坐标原点对称 D直线yx对称解析f(x)x的定义域为x|x0，f(x)xf(x)f(x)是一个奇函数f(x)的图象关于原点对称答案C3(重庆高考)若定义在R上的函数f(x)满足：对任意x1，x2R有f(x1x2)f(x1)f(x2)1，则下列说法一定正确的是()Af(x)为奇函数 Bf(x)为偶函数Cf(x)1为奇函数 Df(x)1为偶函数解析令x1x20，得f(0)2f(0)1，所以f(0)1.令x2x1，得f(0)f(x1)f(x1)1，即f(x1)1f(x1)1.所以f(x)1为奇函数答案C4(湖南高考)若f(x)x22ax与g(x)在区间1,2上都是减函数，则a的取值范围是()A(1,0)(0,1) B(1,0)(0,1C(0,1) D(0,1解析结合图象，由f(x)在1,2上为减函数知a1，由g(x)在1,2上是减函数知a0.00，且0，)是b，)的子集，即a0，且b0.答案a0且b0
