1、2015-2016学年河南省南阳市高二（下）期末数学试卷（理科）一、选择题（每题5分）1虚数的平方是（）A正实数B虚数C负实数D虚数或负实数2有一段“三段论”推理是这样的：对于可导函数f（x），如果f（x0）=0，那么x=x0是函数f（x）的极值点，因为函数f（x）=x3在x=0处的导数值f（0）=0，所以，x=0是函数f（x）=x3的极值点以上推理中（）A大前提错误B小前提错误C推理形式错误D结论正确3已知变量x与y正相关，且由观测数据算得样本平均数=3， =3.5，则由该观测数据算得的线性回归方程可能是（）A =0.4x+2.3B =2x2.4C =2x+9.5D =0.3x+4.44甲射
2、击命中目标的概率是，乙命中目标的概率是，丙命中目标的概率是，现在三人同时射击目标，则目标被击中的概率为（）ABCD5已知X是离散型随机变量，P（X=1）=，P（X=a）=，E（X）=，则D（2X1）等于（）ABCD6复数i+2i2+3i3+4i4+2016i2016的虚部是（）A1008B1008C1008iD1008i7（x2+x+y）5的展开式中，x7y的系数为（）A10B20C30D608已知XN（，2）时，P（X+）=0.6826，P（2X+2）=0.9544，P（3X+3）=0.9974，则dx=（）A0.043B0.0215C0.3413D0.47729函数y=f（x）的图象如图所
3、示，则导函数y=f（x）的图象大致是（）ABCD10如图，将一个各面都涂了油漆的正方体，切割为125个同样大小的小正方体，经过搅拌后，从中随机取一个小正方体，记它的涂漆面数为X，则X的均值E（X）=（）ABCD11从6名身高不同的同学中选出5名从左至右排成一排照相，要求站在偶数位置的同学高于相邻奇数位置的同学，则可产生不同的照片数为（）A96B98C108D12012已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，且f（3）=0，当x0时，有f（x）xf（x）0成立，则不等式f（x）0的解集是（）A（，3）（0，3）B（，3）（3，+）C（3，0）（0，3）D（3，0）（3，+）二、填空题（每题5分）1
4、3已知复数z满足z（1i）=1i，则|z+1|=14在一次篮球练习课中，规定每人最多投篮4次，若投中3次就称为“优秀”并停止投篮，已知甲每次投篮投中的概率是，设甲投中蓝的次数为X，则期望E（X）=15已知f（x）=，定义f1（x）=f（x），f2（x）=f1（x），fn+1（x）=fn（x），nN*经计算f1（x）=，f2（x）=，f3（x）=，照此规律，则fn（x）=16甲罐中有4个红球，3个白球和3个黑球；乙罐中有5个红球，3个白球和2个黑球先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别以A1、A2和A3表示由甲罐取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙罐中随机取出一球，以B表示由乙罐取出的球是红球
5、的事件，下列的结论：P（B）=；P（B|A1）=；事件B与事件A1不相互独立；A1，A2，A3是两两互斥的事件；P（B）的值不能确定，因为它与A1，A2，A3中哪一个发生有关，其中正确结论的序号为（把正确结论的序号都填上）三、解答题17已知（x+3x2）n的展开式中，各项系数和比它的二项式系数和大992，求：（1）展开式中二项式系数最大的项；（2）展开式中系数最大的项18已知函数f（x）=x3+ax在（1，0）上是增函数（1）求实数a的取值范围A；（2）当a为A中最小值时，定义数列an满足：a1（1，0），且2an+1=f（an），用数学归纳法证明an（1，0），并判断an+1与an的大小19
6、3个人坐在一排6个座位上，问：（）3个人都相邻的坐法有多少种？（）空位都不相邻的坐法有多少种？（）空位至少有2个相邻的坐法有多少种？20甲、乙两人进行围棋比赛，约定每局胜者得1分，负者得0分，比赛进行到有一人比对方多2分或下满6局时停止设甲在每局中获胜的概率为p（p），且各局胜负相互独立已知第二局比赛结束时比赛停止的概率为（1）求p的值；（2）设表示比赛停止时已比赛的局数，求随机变量的分布列和数学期望E21某校为了探索一种新的教学模式，进行了一项课题实验，甲班为实验班，乙班为对比班，甲乙两班的人数均为50人，一年后对两班进行测试，测试成绩的分组区间为80，90）、90，100）、100，110
7、）、110，120）、120，130），由此得到两个班测试成绩的频率分布直方图：（）完成下面22列联表，你能有97.5%的把握认为“这两个班在这次测试中成绩的差异与实施课题实验有关”吗？并说明理由；成绩小于100分成绩不小于100分合计甲班a=b=50乙班c=24d=2650合计e=f=100（）现从乙班50人中任意抽取3人，记表示抽到测试成绩在100，120）的人数，求的分布列和数学期望E附：K2=，其中n=a+b+c+dP（K2k0）0.150.100.050.0250.0100.0050.001k02.0722.7063.8415.2046.6357.87910.82822设函数f（x）
8、=ex（ax+b）（其中e=2.71828），g（x）=x2+2bx+2，已知它们在x=0处有相同的切线（1）求函数f（x），g（x）的解析式；（2）若函数F（x）=f（x）+g（x）2（ex+x），试判断函数F（x）的零点个数，并说明理由；（3）若函数f（x）在t，t+1（t3）上的最小值为（t），解关于t的不等式（t）4e22015-2016学年河南省南阳市高二（下）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（每题5分）1虚数的平方是（）A正实数B虚数C负实数D虚数或负实数【考点】复数的基本概念【分析】求出（a+bi）2=a2b2+2abi，从而得到虚数的平方是虚数或负实数【解答】解
9、：（a+bi）2=a2+b2i2+2abi=a2b2+2abi，b0，当a=0时，（a+bi）2是负实数，当a0时，（a+bi）2是虚数虚数的平方是虚数或负实数故选：D2有一段“三段论”推理是这样的：对于可导函数f（x），如果f（x0）=0，那么x=x0是函数f（x）的极值点，因为函数f（x）=x3在x=0处的导数值f（0）=0，所以，x=0是函数f（x）=x3的极值点以上推理中（）A大前提错误B小前提错误C推理形式错误D结论正确【考点】演绎推理的基本方法【分析】在使用三段论推理证明中，如果命题是错误的，则可能是“大前提”错误，也可能是“小前提”错误，也可能是推理形式错误，我们分析的其大前提的
10、形式：“对于可导函数f（x），如果f（x0）=0，那么x=x0是函数f（x）的极值点”，不难得到结论【解答】解：大前提是：“对于可导函数f（x），如果f（x0）=0，那么x=x0是函数f（x）的极值点”，不是真命题，因为对于可导函数f（x），如果f（x0）=0，且满足当x=x0附近的导函数值异号时，那么x=x0是函数f（x）的极值点，大前提错误，故选A3已知变量x与y正相关，且由观测数据算得样本平均数=3， =3.5，则由该观测数据算得的线性回归方程可能是（）A =0.4x+2.3B =2x2.4C =2x+9.5D =0.3x+4.4【考点】线性回归方程【分析】变量x与y正相关，可以排除C，
11、D；样本平均数代入可求这组样本数据的回归直线方程【解答】解：变量x与y正相关，可以排除C，D；样本平均数=3， =3.5，代入A符合，B不符合，故选：A4甲射击命中目标的概率是，乙命中目标的概率是，丙命中目标的概率是，现在三人同时射击目标，则目标被击中的概率为（）ABCD【考点】互斥事件的概率加法公式；相互独立事件的概率乘法公式【分析】根据相互独立事件的概率乘法公式，目标被击中的概率等于1减去甲、乙、丙三人都没有击中目标的概率，运算求得结果【解答】解：目标被击中的概率等于1减去甲、乙、丙三人都没有击中目标的概率，故目标被击中的概率是 1（1）（1）（1）=，故选：A5已知X是离散型随机变量，P
12、（X=1）=，P（X=a）=，E（X）=，则D（2X1）等于（）ABCD【考点】离散型随机变量及其分布列【分析】由已知条件利用离散型随机变量的数学期望计算公式求出a，进而求出D（X），由此能求出D（2X1）【解答】解：X是离散型随机变量，P（X=1）=，P（X=a）=，E（X）=，由已知得，解得a=2，D（X）=（1）2+（2）2=，D（2x1）=22D（X）=4=故选：A6复数i+2i2+3i3+4i4+2016i2016的虚部是（）A1008B1008C1008iD1008i【考点】复数代数形式的混合运算【分析】利用错位相减法进行求和化简即可【解答】解：设S=i+2i2+3i3+4i4+2
13、016i2016，则iS=i2+2i3+3i4+4i5+2016i2017，两式相减得（1i）S=i+i2+3i3+4i4+i20162016i2017，=2016i=2016i=2016i，则S=10081008i，则对应复数的虚部为1008，故选：B7（x2+x+y）5的展开式中，x7y的系数为（）A10B20C30D60【考点】二项式定理的应用【分析】只有当其中一个因式取y，一个因式取x，其余的3个因式都取x2 时，才能可得到含x7y的项，由此得出结论【解答】解：（x2+x+y）5表示5个因式（x2+x+y）的乘积，当只有一个因式取y，一个因式取x，其余的3个因式都取x2，即可得到含x7
14、y的项故x7y的系数为=20，故选：B8已知XN（，2）时，P（X+）=0.6826，P（2X+2）=0.9544，P（3X+3）=0.9974，则dx=（）A0.043B0.0215C0.3413D0.4772【考点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义【分析】由题意可得=0，=1，求出P（3X4）=P（2X4）P（1X3），即可得出结论【解答】解：由题意，=1，=1，P（3X4）=P（2X4）P（1X3）=（0.99740.9544）=0.0215，故选：B9函数y=f（x）的图象如图所示，则导函数y=f（x）的图象大致是（）ABCD【考点】函数的图象；导数的几何意义【分析】先根据函数y=
15、f（x）的图象可知函数在区间（，0），（0，+）上都是单调减函数，可知导函数y=f（x）在区间（，0），（0，+）上的值小于0，然后得出它的导函数的性质即可直接判断【解答】解析：由f（x）的图象及f（x）的意义知，在x0时，f（x）为单调递增函数，且f（x）0；在x0时，f（x）为单调递减函数且f（x）0故选D10如图，将一个各面都涂了油漆的正方体，切割为125个同样大小的小正方体，经过搅拌后，从中随机取一个小正方体，记它的涂漆面数为X，则X的均值E（X）=（）ABCD【考点】离散型随机变量的期望与方差【分析】由题意可知：X所有可能取值为0，1，2，38个顶点处的8个小正方体涂有3面，每一条棱
16、上除了两个顶点处的小正方体，还剩下3个，一共有312=36个小正方体涂有2面，每个表面去掉四条棱上的16个小正方形，还剩下9个小正方形，因此一共有96=54个小正方体涂有一面，由以上可知：还剩下125（8+36+54）=27个内部的小正方体的6个面都没有涂油漆，根据上面的分析即可得出其概率及X的分布列，利用数学期望的计算公式即可得出【解答】解：由题意可知：X所有可能取值为0，1，2，38个顶点处的8个小正方体涂有3面，P（X=3）=；每一条棱上除了两个顶点处的小正方体，还剩下3个，一共有312=36个小正方体涂有2面，P（X=2）=；每个表面去掉四条棱上的16个小正方形，还剩下9个小正方形，因
17、此一共有96=54个小正方体涂有一面，P（X=1）=由以上可知：还剩下125（8+36+54）=27个内部的小正方体的6个面都没有涂油漆，P（X=0）=X0123P故X的分布列为因此E（X）=故选B11从6名身高不同的同学中选出5名从左至右排成一排照相，要求站在偶数位置的同学高于相邻奇数位置的同学，则可产生不同的照片数为（）A96B98C108D120【考点】排列、组合的实际应用【分析】根据题意，首先计算从6个人中选取5人的情况数目，进而按照选出5人的身高与所站位置的不同分2种情况讨论：1、若从五人中的身高是前两名排在第二，四位，2、若第一高排在2号第二高排在1号，第三高排在4号，或第一高排在
18、4号第二高在5号，第三高在2号，分别求出每一种情况的排法数目，由分类计数原理计算可得答案【解答】解：根据题意，先从6个人中选取5人，有C65=6种取法，进而分2种情况讨论：1、若从五人中的身高是前两名排在第二，四位，则这5个人的排法有A22A33=12种，则此时有612=72种方法；2、若第一高排在2号第二高排在1号，第三高排在4号，或第一高排在4号第二高在5号，第三高在2号，则此时有2C65+2C65=24种方法；则一共有72+24=96种排法；故选：A12已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，且f（3）=0，当x0时，有f（x）xf（x）0成立，则不等式f（x）0的解集是（）A（，3）（0
19、，3）B（，3）（3，+）C（3，0）（0，3）D（3，0）（3，+）【考点】利用导数研究函数的单调性；函数奇偶性的性质；导数的运算【分析】构造函数g（x）=，求函数的导数，以及函数的单调性，结合函数奇偶性和单调性的关系将不等式f（x）0转化为g（x）0或g（x）0进行求解即可【解答】解：设g（x）=，则g（x）=，当x0时，有f（x）xf（x）0成立，当x0时，有xf（x）f（x）0成立，即此时g（x）0，函数g（x）为减函数，f（x）是定义在R上的奇函数且f（3）=0，f（3）=0，且g（x）是偶函数，g（3）=g（3）=0，当x0时，f（x）0等价为g（x）0，即g（x）g（3），得0x
20、3，当x0时，f（x）0等价为g（x）0，即g（x）g（3），此时函数g（x）增函数，得x3，综上不等式f（x）0的解集是（，3）（0，3），故选：A二、填空题（每题5分）13已知复数z满足z（1i）=1i，则|z+1|=【考点】复数求模【分析】设出z=a+bi，求出a，b的值，从而求出|z+1|的值即可【解答】解：设z=a+bi，z（1i）=1i，（a+bi）（1i）=a+b+（ba）i=1i，解得：，z=i，则|z+1|=|1i|=，故答案为：14在一次篮球练习课中，规定每人最多投篮4次，若投中3次就称为“优秀”并停止投篮，已知甲每次投篮投中的概率是，设甲投中蓝的次数为X，则期望E（X）=
21、【考点】离散型随机变量的期望与方差【分析】由题意得X的可能取值为0，1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出甲投中蓝的次数X的数学期望【解答】解：由题意得X的可能取值为0，1，2，3，P（X=0）=（1）4=，P（X=1）=，P（X=2）=，P（X=3）=1（）=，EX=0=故答案为：15已知f（x）=，定义f1（x）=f（x），f2（x）=f1（x），fn+1（x）=fn（x），nN*经计算f1（x）=，f2（x）=，f3（x）=，照此规律，则fn（x）=【考点】归纳推理【分析】由已知中定义f1（x）=f（x），f2（x）=f1（x），fn+1（x）=fn（x），nN*结合f1（x）=，f
22、2（x）=，f3（x）=，分析出fn（x）解析式随n变化的规律，可得答案【解答】解：f1（x）=，f2（x）=，f3（x）=，由此归纳可得：fn（x）=，故答案为：16甲罐中有4个红球，3个白球和3个黑球；乙罐中有5个红球，3个白球和2个黑球先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别以A1、A2和A3表示由甲罐取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙罐中随机取出一球，以B表示由乙罐取出的球是红球的事件，下列的结论：P（B）=；P（B|A1）=；事件B与事件A1不相互独立；A1，A2，A3是两两互斥的事件；P（B）的值不能确定，因为它与A1，A2，A3中哪一个发生有关，其中正确结论的序号为（把正确结论
23、的序号都填上）【考点】概率的基本性质【分析】根据古典概型概率计算公式及事件的相关概念，逐一分析五个结论的真假，可得答案【解答】解：甲罐中有4个红球，3个白球和3个黑球；乙罐中有5个红球，3个白球和2个黑球先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别以A1、A2和A3表示由甲罐取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙罐中随机取出一球，以B表示由乙罐取出的球是红球的事件，则P（B）=+=，故错误；P（B|A1）=，正确；事件B与事件A1不相互独立，正确；A1，A2，A3是两两互斥的事件，正确；故答案为：三、解答题17已知（x+3x2）n的展开式中，各项系数和比它的二项式系数和大992，求：（1）展开式中二
24、项式系数最大的项；（2）展开式中系数最大的项【考点】二项式系数的性质【分析】（1）由题意可得 4n2n=992，求得n的值，可得展开式中二项式系数最大的项（2）利用通项公式求得第r+1项的系数为3r，r=0，1，2，3，4，5，检验可得系数最大的项【解答】解：（1）由题意可得 4n2n=992，求得 2n=32，n=5故展开式中二项式系数最大的项为第三项或第四项，即 T3=9x6=90x6，或 T4=27=270（2）由于（x+3x2）5的展开式的通项公式为 Tr+1=3r，故第r+1项的系数为3r，r=0，1，2，3，4，5，故当r=4时，该项的系数最大，即第5项的系数最大，该项为 T5=8
25、1=40518已知函数f（x）=x3+ax在（1，0）上是增函数（1）求实数a的取值范围A；（2）当a为A中最小值时，定义数列an满足：a1（1，0），且2an+1=f（an），用数学归纳法证明an（1，0），并判断an+1与an的大小【考点】数学归纳法；利用导数研究函数的单调性【分析】（1）通过函数的导数值恒大于等于0，求实数a的取值范围A；（2）直接利用数学归纳法证明步骤证明an（1，0），通过作差法比较an+1与an的大小【解答】解：（1）f（x）=3x2+a0即a3x2在x（1，0）恒成立，a3a3，+）；A=3，+）； （2）用数学归纳法证明：an（1，0）（）n=1时，由题设a1（
26、1，0）；（）假设n=k时，ak（1，0）则当n=k+1时，由（1）知：f（x）=x3+3x在（1，0）上是增函数，又ak（1，0），所以，综合（）（）得：对任意nN*，an（1，0） 因为an（1，0），所以an+1an0，即an+1an 193个人坐在一排6个座位上，问：（）3个人都相邻的坐法有多少种？（）空位都不相邻的坐法有多少种？（）空位至少有2个相邻的坐法有多少种？【考点】计数原理的应用【分析】（）采用捆绑法和插空法，把3人都相邻捆绑在一起，插入到这4个间隔中的一个即可（）插空法，先排人，再插空位，（）3个空位至少有2个相邻的情况有两类，根据分类计数原理可得【解答】解：（）先排好3个
27、空位，包含两端共有4个间隔，把3人都相邻捆绑在一起，插入到这4个间隔中的一个即可，故3个人都相邻的坐法有=24种，（）3个人排有=6种，3人排好后包含两端共有4个间隔，可以插入空位，空位都不相邻将3个空位安插在这4个间隔中，故有=24种，（）3个空位至少有2个相邻的情况有两类，第一类，3个空位恰有2个相邻，另一个不相邻有=72种，第二类，3个空位都相邻，有=24种，根据分类计数原理的得72+24=96种20甲、乙两人进行围棋比赛，约定每局胜者得1分，负者得0分，比赛进行到有一人比对方多2分或下满6局时停止设甲在每局中获胜的概率为p（p），且各局胜负相互独立已知第二局比赛结束时比赛停止的概率为（
28、1）求p的值；（2）设表示比赛停止时已比赛的局数，求随机变量的分布列和数学期望E【考点】互斥事件的概率加法公式；离散型随机变量及其分布列【分析】（1）已知各局胜负相互独立，第二局比赛结束时比赛停止，包含甲连胜2局或乙连胜2局，写出甲连胜两局的概率和乙连胜两局的概率求和为解出关于P的方程（2）因为比赛进行到有一人比对方多2分或下满6局时停止，所以的所有可能取值为2，4，6，而=2已经做出概率，只要求出=4或=6时的概率即可，最后求出期望【解答】解：（1）当甲连胜2局或乙连胜2局时，第二局比赛结束时比赛停止，故，解得（2）依题意知的所有可能取值为2，4，6，设每两局比赛为一轮，则该轮结束时比赛停止
29、的概率为，若该轮结束时比赛还将继续，则甲、乙在该轮中必是各得一分，此时，该轮比赛结果对下轮比赛是否停止没有影响，从而有，则随机变量的分布列为：246P故21某校为了探索一种新的教学模式，进行了一项课题实验，甲班为实验班，乙班为对比班，甲乙两班的人数均为50人，一年后对两班进行测试，测试成绩的分组区间为80，90）、90，100）、100，110）、110，120）、120，130），由此得到两个班测试成绩的频率分布直方图：（）完成下面22列联表，你能有97.5%的把握认为“这两个班在这次测试中成绩的差异与实施课题实验有关”吗？并说明理由；成绩小于100分成绩不小于100分合计甲班a=12b=3
30、850乙班c=24d=2650合计e=36f=64100（）现从乙班50人中任意抽取3人，记表示抽到测试成绩在100，120）的人数，求的分布列和数学期望E附：K2=，其中n=a+b+c+dP（K2k0）0.150.100.050.0250.0100.0050.001k02.0722.7063.8415.2046.6357.87910.828【考点】独立性检验的应用；频率分布直方图；用样本的频率分布估计总体分布【分析】（）由题意，a=0.0241050=12，b=5012=38，e=12+24=36，f=38+26=64，利用公式计算K2，与临界值比较，即可求得结论；（）确定乙班测试成绩在10
31、0，120）的有25人，可取0，1，2，3，计算相应的概率，从而可得分布列，即可求得数学期望【解答】解：（）由题意，a=0.0241050=12，b=5012=38，e=12+24=36，f=38+26=64，P（K25.204）=0.025，有97.5%的把握认为这两个班在这次测试中成绩的差异与实施课题实验有关”（）乙班测试成绩在100，120）的有25人，可取0，1，2，3，P（=0）=，P（=1）=P（=2）=，P（=3）=的分布列是0123PE=0+1+2+3= 22设函数f（x）=ex（ax+b）（其中e=2.71828），g（x）=x2+2bx+2，已知它们在x=0处有相同的切线（
32、1）求函数f（x），g（x）的解析式；（2）若函数F（x）=f（x）+g（x）2（ex+x），试判断函数F（x）的零点个数，并说明理由；（3）若函数f（x）在t，t+1（t3）上的最小值为（t），解关于t的不等式（t）4e2【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究曲线上某点切线方程【分析】（1）由已知条件得f（x）=ex（ax+a+b），g（x）=2x+2b，f（0）=a+b=g（0）=2b，f（0）=b=g（0）=2，由此求出a=b=2，从而能求出f（x）=2ex（x+1），g（x）=x2+4x+2（2）由题意F（x）=2（ex+1）（x+1），由导数性质得F（x）极小值=F（1）
33、=10，由此求出函数F（x）的零点个数为0（3）f（x）=2ex（x+2），由导数性质求出（t）=，由此能示出不等式（t）4e2的解集【解答】解：（1）f（x）=ex（ax+b），g（x）=x2+2bx+2f（x）=ex（ax+a+b），g（x）=2x+2b，由题意它们在x=0处有相同的切线，f（0）=a+b=g（0）=2b，a=b，f（0）=b=g（0）=2，a=b=2，f（x）=2ex（x+1），g（x）=x2+4x+2（2）由题意F（x）=2xex+x2+2x+2，F（x）=2（ex+1）（x+1），由F（x）0，得x1；由F（x）0，得x1，F（x）在（1，+）上单调递增，在（，1）上单调递减，F（x）极小值=F（1）=10，函数F（x）的零点个数为0（3）f（x）=2ex（x+2），由f（x）0，得x2，由f（x）0，得x1，F（x）在（2，+）单调递增，在（，2）单调调递减，t3，t+12当3t2时，f（x）在（t，2）单调递减，（2，t+1）单调递增，当t2时，f（x）在t，t+1单调递增，（t）=，当3t2时，（t）4e2，当t2时，（t）=2et（t+1），当2t1时，（t）4e2，当t1时，（t）=2et（t+1）是增函数，又（2）=6e2，1t2，不等式（t）4e2的解集为（3，22016年8月3日
