1、课时作业47立体几何中的向量方法(二)求空间角和距离授课提示：对应学生用书第248页1(2017江苏卷)如图，在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，AA1平面ABCD，且ABAD2，AA1，BAD120.求异面直线A1B与AC1所成角的余弦值解析：在平面ABCD内，过点A作AEAD，交BC于点E.因为AA1平面ABCD，所以AA1AE，AA1AD.如图，以，1为正交基底，建立空间直角坐标系Axyz.因为ABAD2，AA1，BAD120，则A(0,0,0)，B(，1,0)，D(0,2,0)，E(，0,0)，A1(0,0，)，C1(，1，)(，1，)，(，1，)，则cos，因此异面直线A1B与A
2、C1所成角的余弦值为.2(2017浙江卷)如图，已知四棱锥PABCD，PAD是以AD为斜边的等腰直角三角形，BCAD，CDAD，PCAD2DC2CB，E为PD的中点(1)证明：CE平面PAB；(2)求直线CE与平面PBC所成角的正弦值解析：(1)证明：如图，设PA中点为F，连接EF，FB.因为E，F分别为PD，PA的中点，所以EFAD且EFAD.又因为BCAD，BCAD，所以EFBC且EFBC，即四边形BCEF为平行四边形，所以CEBF.CE平面PAB，BF平面PAB，因此CE平面PAB.(2)分别取BC，AD的中点M，N.连接PN交EF于点Q，连接MQ.因为E，F，N分别是PD，PA，AD的
3、中点，所以Q为EF中点，在平行四边形BCEF中，MQCE.由PAD为等腰直角三角形得PNAD.由DCAD，N是AD的中点得BNAD，PNBNN.所以AD平面PBN，由BCAD得BC平面PBN，BC平面PBC，那么平面PBC平面PBN.过点Q作PB的垂线，垂足为H，连接MH.MH是MQ在平面PBC上的射影，所以QMH是直线CE与平面PBC所成的角设CD1.在PCD中，由PC2，CD1，PD得CE，在PBN中，由PNBN1，PB得QH，在RtMQH中，QH，MQ，所以sinQMH.所以，直线CE与平面PBC所成角的正弦值是.一题多解(1)证明：设AD的中点为O，连接OB，OP.PAD是以AD为斜边
4、的等腰直角三角形，OPAD.BCADOD，且BCOD，四边形BCDO为平行四边形，又CDAD，OBAD，OPOBO，AD平面OPB.过点O在平面POB内作OB的垂线OM，交PB于M，以O为原点，OB所在直线为x轴，OD所在直线为y轴，OM所在直线为z轴，建立空间直角坐标系Oxyz，如图设CD1，则有A(0，1，0)，B(1,0,0)，C(1,1,0)，D(0,1,0)设P(x,0，z)(z0)，由PC2，OP1，得得x，z.即点P，而E为PD的中点，E.设平面PAB的法向量为n(x1，y1，z1)，(1,1,0)，取y11，得n(1，1，)而，则n0，而CE平面PAB，CE平面PAB.(2)设
5、平面PBC的法向量为m(x2，y2，z2)，(0,1,0)，取x21，得m(1,0，)设直线CE与平面PBC所成角为.则sin|cosm，|，故直线CE与平面PBC所成角的正弦值为.3(2017新课标全国卷)如图，四面体ABCD中，ABC是正三角形，ACD是直角三角形，ABDCBD，ABBD.(1)证明：平面ACD平面ABC；(2)过AC的平面交BD于点E，若平面AEC把四面体ABCD分成体积相等的两部分，求二面角DAEC的余弦值解析：(1)证明：由题设可得ABDCBD，从而ADCD.又ACD是直角三角形，所以ADC90.取AC的中点O，连接DO，BO，则DOAC，DOAO.又因为ABC是正三
6、角形，故BOAC，所以DOB为二面角DACB的平面角在RtAOB中，BO2AO2AB2，又ABBD，所以BO2DO2BO2AO2AB2BD2，故DOB90.所以平面ACD平面ABC.(2)由题设及(1)知，OA，OB，OD两两垂直，以O为坐标原点，的方向为x轴正方向，|为单位长度，建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz，则A(1,0,0)，B(0，0)，C(1,0,0)，D(0,0,1)由题设知，四面体ABCE的体积为四面体ABCD的体积的，从而E到平面ABC的距离为D到平面ABC的距离的，即E为DB的中点，得E，故(1,0,1)，(2,0,0)，.设n(x，y，z)是平面DAE的法向量，则即可
7、取n.设m是平面AEC的法向量，则同理可取m(0，1，)，则cosn，m.所以二面角DAEC的余弦值为.4(2018广东省五校高三第一次考试)如图，菱形ABCD中，ABC60，AC与BD相交于点O，AE平面ABCD，CFAE，ABAE2.(1)求证：BD平面ACFE；(2)当直线FO与平面BED所成的角为45时，求异面直线OF与BE所成的角的余弦值大小解析：(1)证明：四边形ABCD是菱形，BDAC.AE平面ABCD，BD平面ABCD，BDAE.ACAEA，BD平面ACFE.(2)以O为原点，的方向为x，y轴正方向，过O且平行于CF的直线为z轴(向上为正方向)，建立空间直角坐标系Oxyz，则B
8、(0，0)，D(0，0)，E(1,0,2)，F(1,0，a)(a0)，(1,0，a)设平面EBD的法向量为n(x，y，z)，则有，即，令z1，则n(2,0,1)，由题意得sin45|cos，n|，解得a3或.由a0，得a3，(1,0,3)，(1，2)，cos，故异面直线OF与BE所成的角的余弦值为.5(2017新课标全国卷)如图，四棱锥PABCD中，侧面PAD为等边三角形且垂直于底面ABCD，ABBCAD，BADABC90，E是PD的中点(1)证明：直线CE平面PAB；(2)点M在棱PC上，且直线BM与底面ABCD所成角为45，求二面角MABD的余弦值解析：(1)证明：取PA的中点F，连接EF
9、，BF.因为E是PD的中点，所以EFAD，EFAD.由BADABC90得BCAD，又BCAD，所以EF綊BC，四边形BCEF是平行四边形，CEBF.又BF平面PAB，CE平面PAB，故CE平面PAB.(2)由已知得BAAD，以A为坐标原点，的方向为x轴正方向，|为单位长度，建立如图所示的空间直角坐标系Axyz，则A(0,0,0)，B(1,0,0)，C(1,1,0)，P(0,1，)，(1,0，)，(1,0,0)设M(x，y，z)(0x1)，则(x1，y，z)，(x，y1，z)因为BM与底面ABCD所成的角为45，而n(0,0,1)是底面ABCD的法向量，所以|cos，n|sin 45，即(x1)
10、2y2z20.又M在棱PC上，设，则x，y1，z.由解得(舍去)，或所以M，从而.设m(x0，y0，z0)是平面ABM的法向量，则即所以可取m(0，2)于是cosm，n.因此二面角MABD的余弦值为.能力挑战6如图所示，已知正三棱柱ABCA1B1C1中，AB2，AA1，点D为AC的中点，点E在线段AA1上(1)当AEEA112时，求证：DEBC1；(2)是否存在点E，使二面角DBEA等于60？若存在，求AE的长；若不存在，请说明理由解析：(1)证明：连接DC1，因为ABCA1B1C1为正三棱柱，所以ABC为正三角形又因为D为AC的中点，所以BDAC.又平面ABC平面ACC1A1，所以BD平面A
11、CC1A1.所以BDDE.因为AEEA112，AB2，AA1，所以AE，AD1.所以在RtADE中，ADE30.在RtDCC1中，C1DC60.所以EDC190，即EDDC1，DC1BDD.所以DE平面BDC1，又因为BC1平面BDC1，所以EDBC1.(2)假设存在点E满足条件，设AEh.取A1C1的中点D1，连接DD1，则DD1平面ABC，所以DD1AD，DD1BD.如图，分别以DA，DB，DD1所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系Dxyz，则A(1,0,0)，B(0，0)，E(1,0，h)所以(0，0)，(1,0，h)，(1，0)，(0,0，h)设平面DBE的一个法向量为n1(x1，y1，z1)，则即令z11，得n1(h,0,1)同理，设平面ABE的一个法向量为n2(x2，y2，z2)，则，即，得n2(，1,0)所以|cosn1，n2|cos 60.解得h，故存在点E满足条件当AE时，二面角DBEA等于60.
