1、第3讲简谐运动的图像和公式目标定位1.知道所有简谐运动的图像都是正弦(或余弦)曲线.2.会根据简谐运动的图像找出物体振动的周期和振幅，并能分析有关问题.3.理解简谐运动的表达式，能从该表达式中获取振幅、周期(频率)、相位、初相等相关信息一、简谐运动的图像1坐标系的建立：以横坐标表示时间，纵坐标表示位移，描绘出简谐运动中振动物体离开平衡位置的位移x随时间t变化的图像，称为简谐运动的图像(或称振动图像)2图像形状：严格的理论和实验都证明所有简谐运动的运动图像都是正弦(或余弦)曲线3. 由简谐运动图像，可找出物体振动的周期和振幅想一想在描述简谐运动图像时，为什么能用薄板移动的距离表示时间？答案匀速拉
2、动薄板时，薄板的位移与时间成正比，即xvt，因此，一定的位移就对应一定的时间，这样匀速拉动薄板时薄板移动的距离就能表示时间二、简谐运动的表达式xAsin(t)其中，f，综合可得xAsin(t)Asin(2ft)式中A表示振动的振幅，T和f分别表示物体振动的周期和频率物体在不同的初始位置开始振动，值不同三、简谐运动的相位、相位差1相位在式xAsin(2ft)中，“2ft”这个量叫做简谐运动的相位t0时的相位叫做初相位，简称初相2相位差指两振动的相位之差一、对简谐运动图像的认识1形状：正(余)弦曲线2物理意义表示振动质点在不同时刻偏离平衡位置的位移，是位移随时间的变化规律3获取信息(1)简谐运动的
3、振幅A和周期T，再根据f求出频率(2)任意时刻质点的位移的大小和方向如图131所示，质点在t1、t2时刻的位移分别为x1和x2.图131图132(3)任意时刻质点的振动方向：看下一时刻质点的位置，如图132中a点，下一时刻离平衡位置更远，故a此刻质点向x轴正方向振动(4)判断质点的速度、加速度、位移的变化情况：若远离平衡位置，则速度越来越小，加速度、位移越来越大；若靠近平衡位置，则速度越来越大，加速度、位移越来越小注意：振动图像描述的是振动质点的位移随时间的变化关系，而非质点运动的轨迹比如弹簧振子沿一直线做往复运动，其轨迹为一直线，而它的振动图像却是正弦曲线图133【例1】如图133所示为某物
4、体做简谐运动的图像，下列说法中正确的是()A由PQ，位移在增大B由PQ，速度在增大C由MN，位移先减小后增大D由MN，加速度先增大后减小解析由PQ，位置坐标越来越大，质点远离平衡位置运动，位移在增大而速度在减小，选项A正确，选项B错误；由MN，质点先向平衡位置运动，经平衡位置后又远离平衡位置，因此位移先减小后增大，由a可知，加速度先减小后增大，选项C正确，选项D错误答案AC借题发挥简谐运动图像的应用(1)可以从图像中直接读出某时刻质点的位移大小和方向、速度方向、加速度方向、质点的最大位移(2)可比较不同时刻质点位移的大小、速度的大小、加速度的大小(3)可以预测一段时间后质点位于平衡位置的正向或
5、负向，质点位移的大小与方向，速度、加速度的大小和方向的变化趋势针对训练1一质点做简谐运动，其位移x与时间t的关系图像如图134所示，由图可知()图134A质点振动的频率是4 HzB质点振动的振幅是2 cmCt3 s时，质点的速度最大D在t3 s时，质点的振幅为零解析由题图可以直接看出振幅为2 cm，周期为4 s，所以频率为0.25 Hz，所以选项A错误，B正确；t3 s时，质点经过平衡位置，速度最大，所以选项C正确；振幅等于质点偏离平衡位置的最大位移，与质点的位移有着本质的区别，t3 s时，质点的位移为零，但振幅仍为2 cm，所以选项D错误答案BC二、简谐运动的表达式与相位、相位差做简谐运动的
6、物体位移随时间t变化的表达式xAsin(2ft)1由简谐运动的表达式我们可以直接读出振幅A，频率f和初相.可根据T求周期，可以求某一时刻质点的位移x.2关于两个相同频率的简谐运动的相位差21的理解(1)取值范围：.(2)0，表明两振动步调完全相同，称为同相，表明两振动步调完全相反，称为反相(3)0，表示振动2比振动1超前0，表示振动2比振动1滞后【例2】一个小球和轻质弹簧组成的系统按x15sincm的规律振动(1)求该振动的周期、频率、振幅和初相(2)另一简谐运动的表达式为x25sincm，求它们的相位差解析(1)已知8 rad/s，由得T s，f4 Hz.A5 cm，1.(2)由(t2)(t
7、1)21得，.答案(1) s4 Hz5 cm(2)针对训练2有两个振动，其表达式分别是x14sincm，x25sincm，下列说法正确的是()A它们的振幅相同 B它们的周期相同C它们的相位差恒定 D它们的振动步调一致解析由简谐运动的公式可看出，振幅分别为4 cm、5 cm，故不同；都是100 rad/s，所以周期(T)都是 s；由(100t)(100t)得相位差(为)恒定；0，即振动步调不一致答案BC简谐运动的图像图1351如图135表示某质点简谐运动的图像，以下说法正确的是()At1、t2时刻的速度相同B从t1到t2这段时间内，速度与位移同向C从t2到t3这段时间内，速度变大，位移变小Dt1
8、、t3时刻的回复力方向相反解析t1时刻振子速度最大，t2时刻振子速度为零，故A不正确；t1到t2这段时间内，质点远离平衡位置，故速度、位移均背离平衡位置，所以二者方向相同，则B正确；在t2到t3这段时间内，质点向平衡位置运动，速度在增大，而位移在减小，故C正确；t1和t3时刻质点在平衡位置，回复力为零，故D错误答案BC图1362装有砂粒的试管竖直静立于水面，如图136所示，将管竖直提起少许，然后由静止释放并开始计时，在一定时间内试管在竖直方向近似做简谐运动若取竖直向上为正方向，则如图所示描述试管振动的图像中可能正确的是()解析试管在竖直方向上做简谐运动，平衡位置是在重力与浮力相等的位置，开始时
9、向上提起的距离，就是其偏离平衡位置的位移，为正向最大位移故正确答案为D.答案D简谐运动的表达式3一弹簧振子A的位移y随时间t变化的关系式为y0.1sin 2.5t，位移y的单位为m，时间t的单位为s.则()A弹簧振子的振幅为0.2 mB弹簧振子的周期为1.25 sC在t0.2 s时，振子的运动速度为零D若另一弹簧振子B的位移y随时间变化的关系式为y0.2 sin，则振动A滞后B解析由振动方程为y0.1 sin2.5t，可读出振幅A0.1 m，圆频率2.5，故周期T0.8 s，故A、B错误；在t0.2 s时，振子的位移最大，故速度最小，为零，故C正确；两振动的相位差212.5t2.5t，即B超前
10、A，或说A滞后B，选项D正确答案CD4物体A做简谐运动的振动方程是xA3sin m，物体B做简谐运动的振动方程是xB5sin m比较A、B的运动()A振幅是矢量，A的振幅是6 m，B的振幅是10 mB周期是标量，A、B周期相等，都为100 sCA振动的频率fA等于B振动的频率fBDA的相位始终超前B的相位解析振幅是标量，A、B的振动范围分别是6 m,10 m，但振幅分别为3 m,5 m，A错；A、B的周期均为T s6.28102 s，B错；因为TATB，故fAfB，C对；AB，为定值，D对答案CD题组一简谐运动的图像1关于简谐运动的图像，下列说法中正确的是()A表示质点振动的轨迹是正弦或余弦曲
11、线B由图像可判断任一时刻质点相对平衡位置的位移大小与方向C表示质点的位移随时间变化的规律D由图像可判断任一时刻质点的速度方向解析振动图像表示位移随时间的变化规律，不是运动轨迹，A错，C对；由振动图像可判断质点位移和速度大小及方向，B、D正确答案BCD2如图137所示是一做简谐运动的物体的振动图像，下列说法正确的是()图137A振动周期是2102 sB第2个102 s内物体的位移是10 cmC物体的振动频率为25 HzD物体的振幅是10 cm解析振动周期是完成一次全振动所用的时间，在图像上是两相邻极大值间的距离，所以周期是4102 s又f，所以f25 Hz，则A项错误，C项正确；正、负最大值表示
12、物体的振幅，所以振幅A10 cm，则D项正确；第2个102 s的初位置是10 cm，末位置是0，根据位移的概念有x10 cm，则B项正确答案BCD图1383一质点做简谐运动的振动图像如图138所示，则该质点()A在00.01 s内，速度与加速度同向B在0.01 s0.02 s内，速度与回复力同向C在0.025 s时，速度为正，加速度为正D在0.04 s时，速度最大，回复力为零解析F、a与x始终反向，所以由x的正负就能确定a的正负在xt图像上，图线各点切线的斜率表示该点的速度，由斜率的正负又可确定v的正负，由此判断A、C正确答案AC4图139甲所示为以O点为平衡位置，在A、B两点间做简谐运动的弹
13、簧振子，图乙为这个弹簧振子的振动图像，由图可知下列说法中正确的是()图139A在t0.2 s时，弹簧振子可能运动到B位置B在t0.1 s与t0.3 s两个时刻，弹簧振子的速度相同C从t0到t0.2 s的时间内，弹簧振子的动能持续地增加D在t0.2 s与t0.6 s两个时刻，弹簧振子的加速度相同答案A图13105如图1310所示是某一质点做简谐运动的图像，下列说法正确的是()A在第1 s内，质点速度逐渐增大B在第1 s内，质点加速度逐渐增大C在第1 s内，质点的回复力逐渐增大D在第4 s内质点的动能逐渐增大E在第4 s内质点的势能逐渐增大F在第4 s内质点的机械能逐渐增大解析在第1 s内，质点由
14、平衡位置向正向最大位移处运动，速度减小，位移增大，回复力和加速度都增大；在第4 s内，质点由负向最大位移处向平衡位置运动，速度增大，位移减小，动能增大，势能减小，但机械能守恒，选项B、C、D正确答案BCD6一个弹簧振子沿x轴做简谐运动，取平衡位置O为x轴坐标原点从某时刻开始计时，经过四分之一周期，振子具有沿x轴正方向的最大加速度能正确反映振子位移x与时间t关系的图像是()解析根据Fkx及牛顿第二定律得ax，当振子具有沿x轴正方向的最大加速度时，具有沿x轴负方向的最大位移，故选项A正确，选项B、C、D错误答案A图13117图1311为甲、乙两单摆的振动图像，则()A若甲、乙两单摆在同一地点摆动，
15、则甲、乙两单摆的摆长之比l甲l乙21B若甲、乙两单摆在同一地点摆动，则甲、乙两单摆的摆长之比l甲l乙41C若甲、乙两摆摆长相同，且在不同的星球上摆动，则甲、乙两摆所在星球的重力加速度之比g甲g乙41D若甲、乙两摆摆长相同，且在不同的星球上摆动，则甲、乙两摆所在星球的重力加速度之比g甲g乙14解析由图像可知T甲T乙21，若两单摆在同一地点，则两摆长之比为l甲l乙41；若两摆长相等，则所在星球的重力加速度之比为g甲g乙14.答案BD8如图1312甲、乙所示为一单摆及其振动图像，由图回答：图1312 (1)单摆的振幅为_，频率为_，摆长约为_；图中所示周期内位移x最大的时刻为_(2)若摆球从E指向G
16、为正方向，为最大摆角，则图像中O、A、B、C点分别对应单摆中的_点一个周期内加速度为正且减小，并与速度同方向的时间范围是_势能增加且速度为正的时间范围是_解析(1)由纵坐标的最大位移可直接读取振幅为3 cm.从横坐标可直接读取完成一个全振动的时间即周期T2 s，进而算出频率f0.5 Hz，算出摆长l1 m.从题图中看出纵坐标有最大值的时刻为0.5 s末和1.5 s末(2)题图中O点位移为零，O到A的过程位移为正，且增大，A处最大，历时周期，显然摆球是从平衡位置E起振并向G方向运动的，所以O点对应E点，A点对应G点A点到B点的过程分析方法相同，因而O、A、B、C点对应E、G、E、F点摆动中EF间
17、加速度为正，靠近平衡位置过程中速度逐渐减小且加速度与速度方向相同，即从F到E的运动过程对应题图中C到D的过程，时间范围是1.5 s2 s摆球远离平衡位置势能增加，即从E向两侧摆动，又因速度为正，显然是从E到G的过程对应题图中为O到A的过程，时间范围是00.5 s.答案(1)3 cm0.5 Hz1 m0.5 s末和1.5 s末(2)E、G、E、F1.5 s2 s00.5 s题组二简谐运动的表达式与相位、相位差9有一个弹簧振子，振幅为0.8 cm，周期为0.5 s，初始时具有负方向最大加速度，则它的振动方程是()Ax8103sinmBx8103sinmCx8101sinmDx8101sinm解析4
18、，当t0时，具有负向最大加速度，则xA，所以初相，表达式为x8103sin m，A对答案A10某质点做简谐运动，其位移随时间变化的关系式为xAsin t，则质点()A第1 s末与第3 s末的位移相同B第1 s末与第3 s末的速度相同C第3 s末与第5 s末的位移方向相同D第3 s末与第5 s末的速度方向相同解析根据xAsin t可求得该质点振动周期为T 8 s，则该质点振动图像如右图所示，图像的斜率为正表示速度为正，反之为负，由图可以看出第1 s末和第3 s末的位移相同，但斜率一正一负，故速度方向相反，选项A正确，B错误；第3 s末和第5 s末的位移方向相反，但两点的斜率均为负，故速度方向相同
19、，选项C错误，D正确答案AD11一个质点做简谐运动的图像如图1313所示，下列叙述中正确的是()图1313A质点的振动频率为4 HzB在10 s内质点经过的路程为20 cmC在5 s末，质点做简谐运动的相位为Dt1.5 s和t4.5 s两时刻质点的位移大小相等，都是 cm解析由振动图像可直接得到周期T4 s，频率f0.25 Hz，故选项A错误；一个周期内做简谐运动的质点经过的路程是4A8 cm,10 s为2.5个周期，故质点经过的路程为20 cm，选项B正确；由图像知位移与时间的关系为xAsin(t0)0.02sin m.当t5 s时，其相位t05，故选项C错误；在1.5 s和4.5 s两时刻
20、，质点位移相同，与振幅的关系是xAsin 135A cm，故D正确答案BD图131412如图1314所示，一弹簧振子在M、N间沿光滑水平杆做简谐运动，坐标原点O为平衡位置，MN8 cm.从小球经过图中N点时开始计时，到第一次经过O点的时间为0.2 s，则小球的振动周期为_s，振动方程为x_cm .解析从N点到O点刚好为，则有0.2 s，故T0.8 s；由于，而振幅为4 cm，从最大位移处开始振动，所以振动方程为x4cos t cm.答案0.84cos t13.图1315如图1315所示为A、B两个简谐运动的位移时间图像请根据图像写出：(1)A的振幅是_ cm，周期是_ s；B的振幅是_cm，周
21、期是_s.(2)这两个简谐运动的位移随时间变化的关系式；(3)在时间t0.05 s时两质点的位移分别是多少？解析(1)由图像知：A的振幅是0.5 cm，周期是0.4 s；B的振幅是0.2 cm，周期是0.8 s.(2)由图像知：t0时刻A中振动的质点从平衡位置开始沿负方向振动，由T0.4 s，得5.则简谐运动的表达式为xA0.5sin(5t) cm.t0时刻B中振动的质点从平衡位置沿正方向已振动了周期，由T0.8 s得2.5，则简谐运动的表达式为xB0.2sincm.(3)将t0.05 s分别代入两个表达式中得：xA0.5sin(50.05) cm0.5 cm cm，xB0.2sincm0.2
22、sin cm.答案(1)0.50.40.20.8(2)xA0.5sin(5t)cm，xB0.2sincm(3)xA cm，xB0.2sin cm.14有一弹簧振子在水平方向上的B、C之间做简谐运动，已知B、C间的距离为20 cm，振子在2 s内完成了10次全振动若从某时刻振子经过平衡位置时开始计时(t0)，经过周期振子有正向最大加速度图1316(1)求振子的振幅和周期；(2)在图1316中作出该振子的位移时间图像；(3)写出振子的振动方程解析(1)xBC20 cm，t2 s，n10，由题意可知：A10 cm，T0.2 s.(2)由振子经过平衡位置开始计时经过周期振子有正向最大加速度，可知振子此时在负方向最大位移处所以位移时间图像如图所示(3)由A10 cm，T0.2 s，10 rad/s，故振子的振动方程为x10sin(10t)cm.答案(1)10 cm0.2 s(2)如解析图所示(3)x10sin(10t)cm
