1、专题检测（十一） 空间几何体的三视图、表面积及体积一、选择题1如图所示是一个物体的三视图，则此三视图所描述物体的直观图是()解析：选D先观察俯视图，由俯视图可知选项B和D中的一个正确，由正视图和侧视图可知选项D正确2设一个球形西瓜，切下一刀后所得切面圆的半径为4，球心到切面圆心的距离为3，则该西瓜的体积为()A100B.C. D.解析：选D因为切面圆的半径r4，球心到切面的距离d3，所以球的半径R5，故球的体积VR353，即该西瓜的体积为.3(2019届高三开封高三定位考试)某几何体的三视图如图所示，其中俯视图为扇形，则该几何体的体积为()A4 B2C. D解析：选B由题意知该几何体的直观图如
2、图所示，该几何体为圆柱的一部分，设底面扇形的圆心角为，由tan ，得，故底面面积为22，则该几何体的体积为32.4九章算术中，将底面是直角三角形的直三棱柱称为“堑堵”已知某“堑堵”的三视图如图所示，俯视图中间的实线平分矩形的面积，则该“堑堵”的侧面积为()A2 B42C44 D46解析：选C由三视图知，该几何体是直三棱柱ABCA1B1C1，其直观图如图所示，其中ABAA12，BCAC，C90，侧面为三个矩形，故该“堑堵”的侧面积S(22)244.5(2018惠州二调)如图，某几何体的三视图是三个全等的等腰直角三角形，且直角边长都等于1，则该几何体的外接球的体积为()A.B.C3 D.解析：选B
3、还原几何体为如图所示的三棱锥ABCD，将其放入棱长为1的正方体中，如图所示，则三棱锥ABCD外接球的半径R，该几何体的外接球的体积VR3，故选B.6已知某几何体的三视图如图所示，根据图中标出的尺寸(单位：cm)，可得这个几何体的体积是()A. cm3 B. cm3C2 cm3 D4 cm3解析：选B由三视图可知，该几何体为底面是正方形，且边长为2 cm，高为2 cm的四棱锥，如图，故V222(cm3)7如图，已知EAB所在的平面与矩形ABCD所在的平面互相垂直，EAEB3，AD2，AEB60，则多面体EABCD的外接球的表面积为()A. B8C16 D64解析：选C由题知EAB为等边三角形，设
4、球心为O，O在平面ABCD的射影为矩形ABCD的中心，O在平面ABE上的射影为EAB的重心G，又由平面EAB平面ABCD，则OGA为直角三角形，OG1，AG，所以R24，所以多面体EABCD的外接球的表面积为4R216.8(2018昆明摸底)古人采取“用臼舂米”的方法脱去稻谷的外壳，获得可供食用的大米，用于舂米的“臼”多用石头或木头制成一个“臼”的三视图如图所示，则凿去部分(看成一个简单的组合体)的体积为()A63 B72C79 D99解析：选A由三视图得凿去部分是圆柱与半球的组合体，其中圆柱的高为5，底面圆的半径为3，半球的半径为3，所以组合体的体积为3253363.9(2019届高三武汉调
5、研)一个几何体的三视图如图所示，则它的表面积为()A28 B242C204 D202解析：选B根据该几何体的三视图作出其直观图如图所示，可知该几何体是一个底面是梯形的四棱柱根据三视图给出的数据，可得该几何体中梯形的上底长为2，下底长为3，高为2，所以该几何体的表面积S (23)222223222242，故选B.10.如图是一个几何体的三视图，其中正视图是边长为2的等边三角形，侧视图是直角边长分别为1和的直角三角形，俯视图是半径为1的半圆，则该几何体的内接三棱锥的体积的最大值为()A. B.C. D.解析：选B由三视图可知该几何体为半个圆锥，圆锥的母线长l2，底面半径r1，高h.由半圆锥的直观图
6、可得，当三棱锥的底面是斜边，为半圆直径，高为半径的等腰直角三角形，棱锥的高为半圆锥的高时，其内接三棱锥的体积达到最大值，最大体积为V21，故选B.11(2019届高三贵阳摸底考试)某实心几何体是用棱长为1 cm的正方体无缝粘合而成的，其三视图如图所示，则该几何体的表面积为()A50 cm2 B61 cm2C84 cm2 D86 cm2解析：选D根据题意可知该几何体由3个长方体(最下面长方体的长、宽、高分别为5 cm,5 cm, 1 cm；中间长方体的长、宽、高分别为3 cm,3 cm,1 cm；最上面长方体的长、宽、高分别为1 cm,1 cm,1 cm)叠合而成，长、宽、高分别为5 cm,5
7、cm,1 cm的长方体的表面积为2(555151)23570(cm2)；长、宽、高分别为3 cm,3 cm,1 cm的长方体的表面积为2(333131)21530(cm2)；长、宽、高分别为1 cm，1 cm,1 cm的长方体的表面积为2(111111)236(cm2)由于几何体的叠加而减少的面积为2(33)2(11)21020(cm2)，所以所求表面积为703062086(cm2)12在棱长为3的正方体ABCDA1B1C1D1中，P在线段BD1上，且，M为线段B1C1上的动点，则三棱锥MPBC的体积为()A1 B.C. D与M点的位置有关解析：选B，点P到平面BCC1B1的距离是D1到平面B
8、CC1B1距离的，即为1.M为线段B1C1上的点，SMBC33，VMPBCVPMBC1.13(2018洛阳尖子生第一次联考)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为()A2 B1C. D.解析：选C由题图可知该几何体是一个四棱锥，如图所示，其中PD平面ABCD，底面ABCD是一个对角线长为2的正方形，底面积S 222，高h1，则该几何体的体积VSh，故选C.14(2018武汉调研)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为()A. B.C. D.解析：选D由三视图知，该几何体是在长、宽、高分别为2,1,1的长方体中，截去一个三棱柱AA1D1BB1C1和一个三棱锥CBC1D后剩下的几何体，
9、即如图所示的四棱锥DABC1D1，四棱锥DABC1D1的底面积为S四边形ABC1D122，高h，其体积VS四边形ABC1D1h2.15(2019届高三安徽知名示范高中联考)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为()A1 B.C. D.解析：选C法一：该几何体的直观图为如图所示的四棱锥SABCD，SD平面ABCD，且SD1，四边形ABCD是平行四边形，且ABDC1，连接BD，由题意知BDDC，BDAB，且BD1，所以S四边形ABCD1，所以VSABCDS四边形ABCDSD.法二：由三视图易知该几何体为锥体，所以VSh，其中S指的是锥体的底面积，即俯视图中四边形的面积，易知S1，h指的是锥体
10、的高，从正视图和侧视图易知h1，所以VSh.16(2018福州质检)已知三棱锥PABC的四个顶点都在球O的表面上，PA平面ABC，ABBC，且PA8.若平面ABC截球O所得截面的面积为9，则球O的表面积为()A10 B25C50 D100解析：选D设球O的半径为R，由平面ABC截球O所得截面的面积为9，得ABC的外接圆的半径为3.设该外接圆的圆心为D，因为ABBC，所以点D为AC的中点，所以DC3.因为PA平面ABC，易证PBBC，所以PC为球O的直径又PA8，所以ODPA4，所以ROC5，所以球O的表面积为S4R2100.二、填空题17一个四棱锥的三视图如图所示，其中侧视图为正三角形，则该四
11、棱锥的体积是_解析：由四棱锥的三视图可知，该四棱锥的直观图如图中四棱锥PABCD所示，底面ABCD为边长为1的正方形，PAD是边长为1的等边三角形，作POAD于点O，则O为AD的中点，所以四棱锥的体积为V11.答案：18.如图，在正三棱柱ABCA1B1C1中，D为棱AA1的中点若AA14，AB2，则四棱锥BACC1D的体积为_解析：取AC的中点O，连接BO(图略)，则BOAC，所以BO平面ACC1D.因为AB2，所以BO.因为D为棱AA1的中点，AA14，所以AD2，所以S梯形ACC1D(24)26，所以四棱锥BACC1D的体积为62.答案：219.如图，半径为4的球O中有一内接圆柱，则圆柱的侧面积最大值是_解析：设圆柱的上底面半径为r，球的半径与上底面夹角为，则r4cos ，圆柱的高为8sin .所以圆柱的侧面积为32sin 2.当且仅当时，sin 21，圆柱的侧面积最大，所以圆柱的侧面积的最大值为32.答案：3220(2018沈阳质检)已知在正四棱锥SABCD中，SA6，那么当该棱锥的体积最大时，它的高为_解析：设正四棱锥的底面正方形的边长为a，高为h，因为在正四棱锥SABCD中，SA6，所以h2108，即a22162h2，所以正四棱锥的体积VSABCDa2h72hh3，令y72hh3，则y722h2，令y0，得0h6，令y6，所以当该棱锥的体积最大时，它的高为6.答案：6
