1、三次函数问题已三次函数为载体的试题，可综合考查导数、函数、方程、不等式和曲线等知识，是近年高考试题的一大亮点。提炼一、三次函数，则.记方程的判别式。（1） 若，此时在R上是增函数，此时函数无极值，如图一。（2） 若，令两根为且，当在上单调递增；当在上单调递减，此时函数在处取极大值，在处取极小值。如图二。提炼二、三次函数，则.记方程的判别式。（1） 若，此时在R上是减函数，此时函数无极值，如图三。（2） 若，令两根为且，当在上单调递减；在上单调递增，此时函数在处取极小值，在处取极大值。如图四。 例1、（05北京17）已知函数f (x)=x33x29xa, （I）求f(x)的单调递减区间；（II）
2、若f(x)在区间2，2上的最大值为20，求它在该区间上的最小值解：（I） f (x)3x26x9令f (x)0，解得x3， 所以函数f(x)的单调递减区间为（，1），（3，） （II）因为f(2)81218a=2a，f(2)81218a22a， 所以f(2)f(2)因为在（1，3）上f (x)0，所以f(x)在1, 2上单调递增，又由于f(x)在2，1上单调递减，因此f(2)和f(1)分别是f(x)在区间2，2上的最大值和最小值，于是有 22a20，解得 a2 故f(x)=x33x29x2，因此f(1)13927， 即函数f(x)在区间2，2上的最小值为7例2、（05天津21）已知mR，设P：
3、和是方程的两个实根，不等式对任意实数-1,1恒成立；Q：函数在(,+)上有极值。求使P正确且Q正确的m的取值范围。解：()由题设和是方程的两个实根，得+且2，所以，当-1,1时，的最大值为9，即3。由题意，不等式对任意实数-1,1恒成立的m的解集等于不等式的解集由此不等式得 或不等式的解为 不等式的解为或因为，对或或时，P是正确的()对函数求导令，即此一元二次不等式的判别式若D0，则有两个相等的实根，且的符号如下：x(,)(,+)+0+因为，f()不是函数f()的极值若D0，则有两个不相等的实根和 (0时，函数f()在(,+)上有极值由得或，因为，当或时，Q是正确得综上，使P正确且Q正确时，实
4、数m的取值范围为(-,1)例3、（05重庆19）设函数R。（1）若处取得极值，求常数a的值；（2）若上为增函数，求a的取值范围。解：（）因取得极值， 所以 解得经检验知当为极值点.（）令当和上为增函数，故当上为增函数.当上为增函数，从而上也为增函数. 综上所述，当上为增函数。例4、（05全国II21）设为实数，函数（）求的极值；（）当在什么范围内取值时，曲线与轴仅有一个交点。解：（I） 若，则当变化时，的变化情况如下表：（，1）100极大值极小值所以的极大值是，极小值是。（II）函数，由此可知取足够大的正数时，有，取足够小的负数时，有，所以曲线与轴至少有一个交点。结合的单调性可知：当的极大值，
5、即时，它的极小值也小于0，因此曲线与轴仅有一个交点，它在上；当的极小值，即 时，它的极大值也大于0，因此曲线与轴仅有一个交点，它在上。所以当时，曲线与轴仅有一个交点。例5、（05湖南文19）设，点P（，0）是函数的图象的一个公共点，两函数的图象在点P处有相同的切线。（）用表示a，b，c；（）若函数在（1，3）上单调递减，求的取值范围。解：（I）因为函数，的图象都过点（，0），所以， 即.因为所以.又因为，在点（，0）处有相同的切线，所以而将代入上式得 因此故，（II）解法一.当时，函数单调递减.由，若；若由题意，函数在（1，3）上单调递减，则所以又当时，函数在（1，3）上单调递减.所以的取值范
6、围为解法二：因为函数在（1，3）上单调递减，且是（1，3）上的抛物线，所以 即解得所以的取值范围为例6、(05福建文20)已知函数的图象过点P（0，2），且在点M（1，f（1）处的切线方程为. （）求函数的解析式；（）求函数的单调区间.解：（）由的图象经过P（0，2），知d=2，所以由在处的切线方程是，知故所求的解析式是 （）解得 当当故内是增函数，在内是减函数，在内是增函数.例7、（05山东理19文19)已知是函数的一个极值点，其中。（I）求与的关系式；（II）求的单调区间；（III）(理科做)当时，函数的图象上任意一点的切线斜率恒大于3，求的取值范围.解(I)因为是函数的一个极值点,所以,
7、即，所以（II）由（I）知，=当时，有，当变化时，与的变化如下表：100调调递减极小值单调递增极大值单调递减故有上表知，当时，在单调递减，在单调递增，在上单调递减.（III）由已知得，即又所以即设，其函数开口向上，由题意知式恒成立，所以解之得又所以即的取值范围为练习：1、（04浙江）已知a为实数，（）求导数；（）若，求在-2，2 上的最大值和最小值；（）若在（-,-2和2,+)上都是递增的，求a的取值范围.2、（天津卷20）已知函数在处取得极值。(I)讨论和是函数的极大值还是极小值；(II)过点作曲线的切线，求此切线方程。3、（湖南20）如图，已知曲线C1：y=x3(x0)与曲线C2:y=2x3+3x(x0)交于O，A,直线x=t(0t1)与曲线C1,C2分别交于B，D。（）写出四边形ABOD的面积S与t的函数关系式S=f(t);OtxyDBAC1C2B（）讨论f(t)的单调性，并求f(t) 的最大值.
