1、【新教材】4.4.3 不同函数增长的差异（人教A版）1.掌握常见增长函数的定义、图象、性质,并体会其增长的快慢.2.理解直线上升、对数增长、指数爆炸的含义以及三种函数模型的性质的比较,培养数学建模和数学运算等核心素养. 1.数学抽象：常见增长函数的定义、图象、性质；2.逻辑推理：三种函数的增长速度比较；3.数学运算：由函数图像求函数解析式；4.数据分析：由图象判断指数函数、对数函数和幂函数；5.数学建模：通过由抽象到具体，由具体到一般的数形结合思想总结函数性质.重点：比较函数值得大小；难点：几种增长函数模型的应用一、 预习导入阅读课本136-138页，填写。1.三种函数模型的性质函数性质y=a
2、x(a1)y=logax(a1)y=xn(n0)在(0,+)上的增减性单调递增单调递增单调递增图象的变化随x增大逐渐_随x增大逐渐_随n值不同而不同2.三种函数的增长速度比较(1)在区间(0,+)上,函数y=ax(a1),y=logax(a1)和y=xn(n0)都是_,但_不同.(2)在区间(0,+)上随着x的增大,函数y=ax(a1)的增长速度越来越快,会超过并远远大于y=xn(n0)的增长速度,而函数y=logax(a1)的增长速度则会_.(3)存在一个x0,使得当xx0时,有_.1.判断正误:(1)函数y=x2比y=2x增长的速度更快些.()(2)当a1,n0时,在区间(0,+)上,对任
3、意的x,总有logaxxn0,b1)表达的函数模型,称为指数型函数模型,也常称为“爆炸型”函数模型.()2.已知三个变量y1,y2,y3随着变量x的变化情况如下表:x1357911y151356251 7153 6456 655y25292452 18919 685177 149y356.106.616.957.27.4则关于x分别呈对数型函数、指数型函数、幂函数型函数变化的变量依次为()A.y1,y2,y3B.y2,y1,y3 C.y3,y2,y1D.y1,y3,y2题型一 比较函数增长的差异例1 函数f(x)=2x和g(x)=x3的图象如图所示.设两函数的图象交于点A(x1,y1),B(x
4、2,y2),且x11时,有下列结论:指数函数y=ax,当a越大时,其函数值的增长越快;指数函数y=ax,当a越小时,其函数值的增长越快;对数函数y=logax,当a越大时,其函数值的增长越快;对数函数y=logax,当a越小时,其函数值的增长越快.其中正确的结论是()A. B. C. D.2.已知函数y1=2x,y2=x2,y3=log2x,当2xy2y3B.y2y1y3 C.y1y3y2D.y2y3y1题型二 体会指数函数的增长速度例2 甲、乙、丙三个公司分别到慈善总会捐款给某灾区,捐款方式如下:甲公司:在10天内,每天捐款5万元给灾区;乙公司:在10天内,第1天捐款1万元,以后每天比前一天
5、多捐款1万元;丙公司:在10天内,第1天捐款0.1万元,以后每天捐款都比前一天翻一番.你觉得哪个公司捐款最多?跟踪训练二1.某民营企业生产A,B两种产品,根据市场调查和预测,A产品的利润与投资的函数模型为y=k1x,B产品的利润与投资的函数模型为y=k2x(利润和投资的单位为百万元),其关系分别如图,图所示.(1)分别求出A,B两种产品的利润与投资的函数关系式;(2)该企业已筹集到资金1千万元,并准备全部投入到A,B两种产品的生产中,问怎样分配这1千万元,才能使企业获得最大利润,其最大利润为多少?(精确到万元)1在一次数学试验中，采集到如下一组数据：x2.01.001.002.003.00y0
6、.240.5112.023.988.02则x，y的函数关系与下列哪类函数最接近？(其中a，b为待定系数)()AyabxByabxCyax2b Dya2下列函数中，随着x的增大，增长速度最快的是()Ay50By1 000xCy0.42x1 Dyex3有一组实验数据如下表所示：x12345y1.55.913.424.137下列所给函数模型较适合的是()Aylogax(a1) Byaxb(a1)Cyax2b(a0) Dylogaxb(a1)4y12x，y2x2，y3log2x，当2x4时，有()Ay1y2y3 By2y1y3Cy1y3y2 Dy2y3y15小明2015年用7 200元买一台笔记本电子
7、技术的飞速发展，笔记本成本不断降低，每过一年笔记本的价格降低三分之一三年后小明这台笔记本还值_元6已知某工厂生产某种产品的月产量y与月份x满足关系ya(0.5)xb，现已知该厂今年1月、2月生产该产品分别为1万件、1.5万件则此厂3月份该产品的产量为_万件7燕子每年秋天都要从北方飞向南方过冬，研究燕子的科学家发现，两岁燕子的飞行速度可以表示为函数v5log2，单位是m/s，其中Q表示燕子的耗氧量(1)求燕子静止时的耗氧量是多少个单位；(2)当一只燕子的耗氧量是80个单位时，它的飞行速度是多少？答案小试牛刀1.(1)(2)(3)2.C自主探究例1 【答案】(1)C1对应的函数为g(x)=x3,C
8、2对应的函数为f(x)=2x.（2）f(2 019)g(2 019)g(6)f(6).【解析】(1)C1对应的函数为g(x)=x3,C2对应的函数为f(x)=2x.(2)因为f(1)g(1),f(2)g(2),f(9)g(10),所以1x12,9x210,所以x16x2,从图象上可以看出,当x1xx2时,f(x)g(x),所以f(6)x2时,f(x)g(x),所以f(2 019)g(2 019).因为g(2 019)g(6),所以f(2 019)g(2 019)g(6)f(6).变式1.【答案】C1对应的函数为g(x)=x3,C2对应的函数为f(x)=3x.【解析】由图象的变化趋势以及指数函数
9、和幂函数的增长速度可知:C1对应的函数为g(x)=x3,C2对应的函数为f(x)=3x.变式2.【答案】f(2 019)g(2 019)g(8)f(8).【解析】因为f(1)g(1),f(2)g(2),f(9)g(10),所以1x12,9x210,所以x18x2,从图象上可以看出,当x1xx2时,f(x)g(x),所以f(8)x2时,f(x)g(x),所以f(2 019)g(2 019).因为g(2 019)g(8),所以f(2 019)g(2 019)g(8)f(8).跟踪训练一1.【答案】B2.【答案】B【解析】在同一平面直角坐标系中画出这三个函数的图象(图略),在区间(2,4)内,从上到
10、下图象依次对应的函数为y2=x2,y1=2x,y3=log2x,故y2y1y3.例2 【答案】丙公司捐款最多,为102.3万元. 【解析】三个公司在10天内捐款情况如下表所示.公司捐款数量/万元时间甲乙丙第1天510.1第2天520.2第3天530.4第4天540.8第5天551.6第6天563.2第7天576.4第8天5812.8第9天5925.6第10天51051.2总计5055102.3由上表可以看出,丙公司捐款最多,为102.3万元. 跟踪训练二1.【答案】(1)A:y=12x(x0),B:y=54x(x0).(2)投资A产品844万元,投资B产品156万元时,总利润最大,最大值约为5
11、78万元.【解析】(1)A:y=k1x过点(1,0.5),k1=12.B:y=k2x过点(4,2.5),(9,3.75),k24=2.5,k29=3.75.k2=54,=12.A:y=12x(x0),B:y=54x(x0).(2)设投资B产品x(百万元),则投资A产品(10-x)(百万元),总利润y=12(10-x)+54x=-12x-542+18532(0x10).所以当x=1.25,x=1.562 51.56时,ymax5.78.故投资A产品844万元,投资B产品156万元时,总利润最大,最大值约为578万元.当堂检测1-4BDCB561.757.【答案】(1)燕子静止时的耗氧量是10个单位(2)当一只燕子的耗氧量是80个单位时，它的飞行速度为15 m/s.【解析】(1)由题知，当燕子静止时，它的速度v0，代入题中所给公式可得：05log2，解得Q10.即燕子静止时的耗氧量是10个单位(2)将耗氧量Q80代入题给公式得：v5log25log2815(m/s)即当一只燕子的耗氧量是80个单位时，它的飞行速度为15 m/s.
