1、技法专题检测(四)压轴大题抢分技法专练1(2015德州模拟)如图,A,B分别是椭圆C:1(ab0)的左、右顶点,F为其右焦点,2是|AF|与|BF|的等差中项,是|AF|与|BF|的等比中项(1)求椭圆C的方程;(2)已知点P是椭圆C上异于A,B的动点,直线l过点A且垂直于x轴,过点F作直线FQ垂直于AP,交直线l于点Q.证明:Q,P,B三点共线2(2015济南模拟)已知函数f(x)exaxa(aR且a0)(1)若函数f(x)在x0处取得极值,求实数a的值,并求此时f(x)在2,1上的最大值;(2)若函数f(x)不存在零点,求实数a的取值范围3(2015云南省师大附中适应性考试)已知椭圆C:1
2、(ab0)的离心率为,且抛物线y24x的焦点恰好是椭圆C的一个焦点(1)求椭圆C的方程;(2)过点D(0,3)作直线l与椭圆C交于A,B两点,点N满足 (O为原点),求四边形OANB面积的最大值,并求此时直线l的方程4(2015山东胶东示范校联考)已知函数f(x)aln x,g(x)f(x),h(x)f(x)g(x)(1)若函数h(x)在1,)上单调递减,求实数a的取值范围;(2)当a2时,若不等式h(x)tg(x1)(x1,)恒成立,求实数t的取值范围答 案1解:(1)设椭圆C的右焦点为F(c,0),则由题意可得|AF|ac,|BF|ac,故解得a2,c1,又a2b2c2,所以b,所以椭圆C
3、的方程为1.(2)证明:由(1)知直线l的方程为x2,由题意易知直线AP的斜率存在且不为0,设直线AP的方程为yk(x2)(k0),联立消去y得(34k2)x216k2x16k2120,故xPxAxP2,所以xP,yP,即P,又QFAP,所以kQF,故直线QF的方程为y(x1)联立解得故Q,所以kPQ,kBQ,所以kPQkBQ,即Q,P,B三点共线2解:(1)函数f(x)的定义域为R,f(x)exa,f(0)e0a0,a1,f(x)ex1.在区间(,0)上,f(x)0,f(x)单调递增在x0处,f(x)取得极小值,易知f(x)在区间2,0上单调递减,在区间(0,1上单调递增,且f(2)3,f(
4、1)e,f(2)f(1)故f(x)在区间2,1上的最大值为3.(2)f(x)exa,由于ex0.当a0时,f(x)0,f(x)是增函数,且当x1时,f(x)exa(x1)0.当x0时,取x,则f1aa0时,函数f(x)存在零点,不满足题意当a0时,令f(x)exa0,解得xln(a)在区间(,ln(a)上,f(x)0,f(x)单调递增,当xln(a)时,f(x)取得最小值函数f(x)不存在零点等价于f(ln(a)eln(a)aln(a)a2aaln(a)0,解得e2a0k22.由根与系数的关系得,x1x2,x1x2.SOAB|OD|x1x2|x1x2|,SOANB2SOAB3|x1x2|333
5、24,令k22t,则k2t2(由上式知t0),SOANB2424242,当且仅当t,即k2时取等号,当k时,平行四边形OANB的面积的最大值为2.此时直线l的方程为yx3.4解:函数f(x)的定义域为(0,),g(x)f(x).h(x)f(x)g(x).(1)h(x).因为函数h(x)在1,)上单调递减,所以h(x)0在1,)上恒成立即a1ln x在1,)上恒成立而函数y1ln x在1,)上单调递减,所以其最大值为1ln 11.所以实数a的取值范围为1,)(2)当a2时,f(x)2ln x,h(x),g(x1),不等式h(x)tg(x1)即为.又x1,),故t(2ln x)记q(x)(2ln x)(x1,),则q(x)( 2ln x).令m(x)x1ln x,则m(x)1,当x1,)时,m(x)0恒成立,且仅在x1处取等号,则m(x)单调递增,m(x)minm(1)0,故m(x)0在1,)上恒成立,即x1ln x0在1,)上恒成立,所以q(x)0在1,)上恒成立,且仅在x1处取等号,即函数q(x)在1,)上单调递增故q(x)q(1)(2ln 1)4.故t4,即t的取值范围为(,4