1、余数问题定义：在整数的除法中，只有能整除和不能整除两种情况。当不能整除时，就产生余数性质：性质1：余数小于除数性质2：被除数除数商余数除数(被除数余数)商；商(被除数余数)除数。性质3：如果a，b除以c的余数相同，那么a与b的差能被c整除性质4：a与b的和除以c的余数，等于a，b分别除以c的余数之和性质5：a与b的乘积除以c的余数，等于a，b分别除以c的余数之积同余定义：若两个整数a，b被自然数m除有相同的余数，那么称a，b对于模m同余，用式子表示为ab(mod m) 同余性质：性质1：aa(mod m)，(反身性) 性质2：若ab(mod m)，那么ba(mod m)，(对称性)。性质3：若
2、ab(mod m)，bc(mod m)，那么ac(mod m)，(传递性)。性质4：若ab(mod m)，cd(mod m)，那么acbd(mod m)，(可加减性)。性质5：若ab(mod m)，cd(mod m)，那么acbd(mod m)(可乘性)。性质6：若ab(mod m)，那么anbn(mod m)，(其中n为自然数)。性质7：若acbc(mod m)，(c，m)1，那么ab(mod m)，(记号(c，m)表示c与m的最大公约数)。例1被3除余2，被4除余3，被5除余4的最小的数是( )例2有一个数除以3余数是2，除以5余数是3，那么这个数除以15的余数是( )。例3一个小于200
3、的自然数，被7除余2，被8除余3，被9除余1，这个数是多少？ 例4有一串数：1、3、8、22、60、164、448，其中第一个数是1，第二个数是3，从第三个数起，每个数恰好是前两个数之和的2倍。那么在这串数中，第2000个数除以9的余数是例5求14389除以7的余数。例6算式777计算结果的末两位数字是多少?例7有一个自然数，用它分别去除63、90、130都有余数，三个余数的和为25。这三个余数中最大的一个是多少？测试题1一串数1、2、4、7、11、16、22、29这串数的组成规律，第2个数比第1个数多1；第3个数比第2个数多2；第4个数比第3个数多3；依此类推；那么这串数左起第1992个数除
4、以5的余数是_。2有一个数，甲将其除以8，乙将其除以9。甲所得的商数与乙所得的余数之和为13。试求甲所得的余数。3在1，2，3，29，30这30个自然数中，最多能取出_个数，使取出的这些数中，任意两个不同的数的和都不是7的倍数。4桌面上原有硬纸片5张。从中取出若干张来，并将每张都任意剪成7张较小的纸片，然后放回桌面，像这样，取出，剪小，放回；再取出，剪小，放回；是否可能在某次放回后，桌上的纸片数刚好是1991？5某班有41名同学，每人手中有10元到50元钱各不相同。他们到书店买书，已知简装书3元一本，精装书4元一本，要求每人都要把自己手中的钱全部用完，并且尽可能多买几本书，那么最后全班一共买了
5、多少本精装书?6某校开运动会，打算发给1991位学生每人一瓶汽水，由于商店规定每7个空瓶可换一瓶汽水，所以不必买1991瓶汽水，但是最少要买多少瓶汽水?答案1【分析】设这串数为a1，a2，a3，a1992，依题意知a11a211a3112a41123a511234a19921123199119961991因为99651991，199153981，所以9961991的积除以5余数为1，19961991除以5的余数是2。因此，这串数左起第1992个数除以5的余数是2。2【分析】设甲所得的商和余数分别为a和b，乙所得的商和余数分别为c和d，于是由题意知8ab9cd，ad13。将d13a代入前一式并整
6、理后即得9(ac)13b上式左端是9的倍数，因此13b也是9的倍数。由于b是被8除的余数，所以b介于0与7之间。故b4。3【分析】我们把1到30共30个自然数根据除以7所得余数不同情况分为七组。例如，除以7余1的有1，8，15，22，29这五个数，除以7余2的有2，9，16，23，30五个数，除以7余3的有3，10，17，24四个数，要使取出的数中任意两个不同的数的和都不是7的倍数，那么能被7整除的数只能取1个，取了除以7余1的数，就不能再取除以7余6的数；取了除以7余2的数，就不能再取除以7余5的数；取了除以7余3的数，就不能再取除以7余4的数。为了使取出的个数最多，我们把除以7分别余1、余
7、2、余3的数全部取出来连同1个能被7整除的数，共有554115(个)所以，最多能取出15个数。4【分析】每次放回后，桌面上的纸片数都增加6的倍数，总数一定是6的倍数加5。而199163315，所以是可能的。5【分析】每人都要把手中的钱用完，而且尽可能多买几本书，意即3元一本的简装书要尽量多买，4元一本的精装书要尽量少买甚至不买。我们分三种情况进行讨论：当钱数被3整除时，精装书就可以不买；当钱数被3除余1时，3k13(k1)4，精装书只要买1本，其中k为大于2的自然数。当钱数被3除余2时，3k13(k2)8，精装书只要买2本，其中k为大于2的自然数。在10至50这41个自然数中，被3除余1和2的数均各有14个。所以全班一共买精装书1414242(本)6【分析】因为733431991240174，不考虑余数，能用空瓶换三次汽水，由于每7个空瓶可换一瓶汽水，原有空瓶不一定能被7整除，那么第二次以后换时要考虑上一次的余数，最多能用空瓶换四次汽水。1991(1)1707。2825如果买1707瓶汽水，170772436可换243瓶汽水，(2436)7354可换35瓶汽水，(354)754可换5瓶汽水，(54)712可换一瓶汽水，127不能再换。170724335511991。如果买1706瓶，用空瓶换的数量不变，但170624335511990。所以最少要买1707瓶汽水。
