1、高考资源网（ ），您身边的高考专家12.2复数1复数的有关概念(1)复数的概念形如abi (a，bR)的数叫做复数，其中a，b分别是它的实部和虚部若b0，则abi为实数，若b0，则abi为虚数，若a0且b0，则abi为纯虚数(2)复数相等：abicdiac且bd(a，b，c，dR)(3)共轭复数：abi与cdi共轭ac，bd(a，b，c，dR)(4)复平面建立直角坐标系来表示复数的平面，叫做复平面x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴实轴上的点都表示实数；除原点外，虚轴上的点都表示纯虚数；各象限内的点都表示非纯虚数(5)复数的模向量的模r叫做复数zabi的模，记作_|z|_或|abi|，即|z|abi|.
2、2复数的几何意义(1)复数zabi复平面内的点Z(a，b)(a，bR)(2)复数zabi平面向量(a，bR)3复数的运算(1)复数的加、减、乘、除运算法则设z1abi，z2cdi (a，b，c，dR)，则加法：z1z2(abi)(cdi)(ac)(bd)i；减法：z1z2(abi)(cdi)(ac)(bd)i；乘法：z1z2(abi)(cdi)(acbd)(adbc)i；除法：i(cdi0)(2)复数加法的运算定律复数的加法满足交换律、结合律，即对任何z1、z2、z3C，有z1z2z2z1，(z1z2)z3z1(z2z3)1判断下面结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)方程x2x10没有
3、解()(2)复数zabi(a，bR)中，虚部为bi.()(3)复数中有相等复数的概念，因此复数可以比较大小()(4)原点是实轴与虚轴的交点()(5)复数的模实质上就是复平面内复数对应的点到原点的距离，也就是复数对应的向量的模()2(2012北京)设a，bR.“a0”是“复数abi是纯虚数”的()A充分而不必要条件 B必要而不充分条件C充分必要条件 D既不充分也不必要条件答案B解析当a0，且b0时，abi不是纯虚数；若abi是纯虚数，则a0.故“a0”是“复数abi是纯虚数”的必要而不充分条件3(2013陕西)设z是复数，则下列命题中的假命题是()A若z20，则z是实数B若z20，则z是虚数C若
4、z是虚数，则z20D若z是纯虚数，则z20答案C解析设zabi(a，bR)，z2a2b22abi，由z20，得即或.所以a0时b0，b0时aR.故z是实数，所以A为真命题；由于实数的平方不小于0，所以当z20时，z一定是虚数，故B为真命题；由于i210，故C为假命题，D为真命题4(2013四川)如图，在复平面内，点A表示复数z，由图中表示z的共轭复数的点是()AA BBCC DD答案B解析表示复数z的点A与表示z的共轭复数的点关于x轴对称，B点表示.选B.5(2013广东)若i(xyi)34i，x，yR，则复数xyi的模是()A2 B3 C4 D5答案D解析由题意知xyi43i，所以|xyi|
5、43i|5.题型一复数的概念例1(1)已知aR，复数z12ai，z212i，若为纯虚数，则复数的虚部为()A1 Bi C. D0(2)若z1(m2m1)(m2m4)i(mR)，z232i，则“m1”是“z1z2”的()A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分又不必要条件思维启迪(1)若zabi(a，bR)，则b0时，zR；b0时，z是虚数；a0且b0时，z是纯虚数(2)直接根据复数相等的条件求解答案(1)A(2)A解析(1)由i是纯虚数，得a1，此时i，其虚部为1.(2)由，解得m2或m1，所以“m1”是“z1z2”的充分不必要条件思维升华处理有关复数的基本概念问题，关键是找准
6、复数的实部和虚部，从定义出发，把复数问题转化成实数问题来处理(1)(2013安徽)设i是虚数单位若复数a(aR)是纯虚数，则a的值为()A3 B1 C1 D3(2)(2012江西)若复数z1i(i为虚数单位)，是z的共轭复数，则z22的虚部为()A0 B1 C1 D2答案(1)D(2)A解析(1)aa(3i)(a3)i，由aR，且a为纯虚数知a3.(2)利用复数运算法则求解z1i，1i，z22(1i)2(1i)22i2i0.题型二复数的运算例2计算：(1)_；(2)()6_.思维启迪复数的除法运算，实质上是分母实数化的运算答案(1)33i(2)1i解析(1)3i(i1)33i.(2)原式6i6
7、1i.思维升华(1)复数的加法、减法、乘法运算可以类比多项式运算，除法关键是分子分母同乘以分母的共轭复数，注意要把i的幂写成最简形式(2)记住以下结论，可提高运算速度，(1i)22i；i；i；bai；i4n1，i4n1i，i4n21，i4n3i(nN)(1)已知复数z，是z的共轭复数，则z_.(2)()2 014_.答案(1)(2)0解析(1)方法一|z|，z|z|2.方法二z，z.(2)原式()21 007i()1 007ii1 007ii42513ii30.题型三复数的几何意义例3如图所示，平行四边形OABC，顶点O，A，C分别表示0,32i，24i，试求：(1)、所表示的复数；(2)对角
8、线所表示的复数；(3)求B点对应的复数思维启迪结合图形和已知点对应的复数，根据加减法的几何意义，即可求解解(1)，所表示的复数为32i.，所表示的复数为32i.(2)，所表示的复数为(32i)(24i)52i.(3)，所表示的复数为(32i)(24i)16i，即B点对应的复数为16i.思维升华因为复平面内的点、向量及向量对应的复数是一一对应的，要求某个向量对应的复数时，只要找出所求向量的始点和终点，或者用向量相等直接给出结论即可已知z是复数，z2i、均为实数(i为虚数单位)，且复数(zai)2在复平面内对应的点在第一象限，求实数a的取值范围解设zxyi(x、yR)，z2ix(y2)i，由题意得
9、y2.(x2i)(2i)(2x2)(x4)i，由题意得x4.z42i.(zai)2(124aa2)8(a2)i，根据条件，可知，解得2a6，实数a的取值范围是(2,6)解决复数问题的实数化思想典例：(12分)已知x，y为共轭复数，且(xy)23xyi46i，求x，y.思维启迪(1)x，y为共轭复数，可用复数的基本形式表示出来；(2)利用复数相等，将复数问题转化为实数问题规范解答解设xabi (a，bR)，则yabi，xy2a，xya2b2，3分代入原式，得(2a)23(a2b2)i46i，5分根据复数相等得，7分解得或或或.9分故所求复数为或或或.12分温馨提醒(1)复数问题要把握一点，即复数
10、问题实数化，这是解决复数问题最基本的思想方法(2)本题求解的关键是先把x、y用复数的形式表示出来，再用待定系数法求解这是常用的数学方法(3)本题易错原因为想不到利用待定系数法，或不能将复数问题转化为实数方程求解.方法与技巧1复数的代数形式的运算主要有加、减、乘、除及求低次方根除法实际上是分母实数化的过程2在复数的几何意义中，加法和减法对应向量的三角形法则的方向是应注意的问题，平移往往和加法、减法相结合3实轴上的点都表示实数，除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数复数集C和复平面内所有的点所成的集合及平面向量是一一对应关系，即4复数运算常用的性质：(1)(1i)22i；i，i；(2)设i，则|1；1
11、20；2.(3)inin1in2in30(nN*)失误与防范1判定复数是实数，仅注重虚部等于0是不够的，还需考虑它的实部是否有意义2对于复系数(系数不全为实数)的一元二次方程的求解，判别式不再成立因此解此类方程的解，一般都是将实根代入方程，用复数相等的条件进行求解3两个虚数不能比较大小4利用复数相等abicdi列方程时，注意a，b，c，dR的前提条件5注意不能把实数集中的所有运算法则和运算性质照搬到复数集中来例如，若z1，z2C，zz0，就不能推出z1z20；z20在复数范围内有可能成立.A组专项基础训练一、选择题1若复数z(x21)(x1)i为纯虚数，则实数x的值为()A1 B0 C1 D1
12、或1答案A解析由复数z为纯虚数，得，解得x1，故选A.2在复平面内，向量对应的复数是2i，向量对应的复数是13i，则向量对应的复数是()A12i B12iC34i D34i答案D解析因为13i(2i)34i.3若i为虚数单位，图中复平面内点Z表示复数z，则表示复数的点是()AE BF CG DH答案D解析由题图知复数z3i，2i.表示复数的点为H.4(2013山东)复数z(i为虚数单位)，则|z|等于()A25 B. C5 D.答案C解析z43i，所以|z|5.5复数的共轭复数是()Ai B.iCi Di答案C解析方法一i，的共轭复数为i.方法二i.的共轭复数为i.二、填空题6(2013天津)
13、i是虚数单位，复数(3i)(12i)_.答案55i解析(3i)(12i)35i2i255i.7(2012湖北)若abi(a，b为实数，i为虚数单位)，则ab_.答案3解析利用复数相等的条件求出a，b的值(3b)(3b)ii.解得ab3.8复数(3i)m(2i)对应的点在第三象限内，则实数m的取值范围是_答案m解析z(3m2)(m1)i，其对应点(3m2，m1)，在第三象限内，故3m20且m10，m.三、解答题9已知复数z1满足(z12)(1i)1i(i为虚数单位)，复数z2的虚部为2，且z1z2是实数，求z2.解(z12)(1i)1iz12i.设z2a2i，aR，则z1z2(2i)(a2i)(
14、2a2)(4a)i.z1z2R，a4.z242i.10复数z1(10a2)i，z2(2a5)i，若1z2是实数，求实数a的值解1z2(a210)i(2a5)i(a210)(2a5)i(a22a15)i.1z2是实数，a22a150，解得a5或a3.又(a5)(a1)0，a5且a1，故a3.B组专项能力提升1(2012课标全国)下面是关于复数z的四个命题：p1：|z|2; p2：z22i；p3：z的共轭复数为1i; p4：z的虚部为1.其中的真命题为()Ap2，p3 Bp1，p2 Cp2，p4 Dp3，p4答案C解析利用复数的有关概念以及复数的运算求解z1i，|z|，p1是假命题；z2(1i)2
15、2i，p2是真命题；1i，p3是假命题；z的虚部为1，p4是真命题其中的真命题共有2个：p2，p4.2设f(n)nn(nN*)，则集合f(n)中元素的个数为()A1 B2 C3 D无数个答案C解析f(n)nnin(i)n，f(1)0，f(2)2，f(3)0，f(4)2，f(5)0，集合中共有3个元素3对任意复数zxyi(x，yR)，i为虚数单位，则下列结论正确的是()A|z|2y Bz2x2y2C|z|2x D|z|x|y|答案D解析xyi(x，yR)，|z|xyixyi|2yi|2y|，A不正确；对于B，z2x2y22xyi，故B不正确；|z|2y|2x不一定成立，C不正确；对于D，|z|x
16、|y|，故D正确4设复数z满足i(z1)32i(i为虚数单位)，则z的实部是_答案1解析设zabi(a、bR)，由i(z1)32i，得b(a1)i32i，a12，a1.5已知集合M1，m,3(m25m6)i，N1,3，若MN3，则实数m的值为_答案3或6解析MN3，3M且1M，m1,3(m25m6)i3或m3，m25m60且m1或m3，解得m6或m3.6若1i是关于x的实系数方程x2bxc0的一个复数根，则b_，c_.答案23解析利用实系数方程的根与系数的关系求解实系数一元二次方程x2bxc0的一个虚根为1i，其共轭复数1i也是方程的根由根与系数的关系知，b2，c3.欢迎广大教师踊跃来稿，稿酬丰厚。
