1、第七节 指数函数与对数函数第二章 函数、导数及其应用考 纲 要 求1理解指数函数和对数函数的概念，并理解指数函数和对数函数的单调性与函数图象通过的特殊点2知道指数函数和对数函数是两类重要的函数模型3了解指数函数yax与对数函数ylogax互为反函数(a0，a1).课 前 自 修知识梳理一、指数函数与对数函数的关系同底的指数函数yax与对数函数ylogax(a0且a1)互为反函数，它们的图象关于直线yx对称二、指数函数与对数函数的图象所经过的定点1指数函数yax的图象经过定点(0,1)，函数yaxm的图象经过定点_，函数yaxmn经过定点_2对数函数ylogax的图象经过定点(1,0)，函数yl
2、oga(xm)的图象经过定点_，函数ynloga(xm)经过定点_(m,1)(m,1n)(m1,0)(m1，n)基础自测1.(2011北京市石景山区检测)函数f(x)2x的反函数yf1(x)的图象是()A2不论a(a0且a1)取何实数，函数y5loga(x3)的图象都经过的一个定点是()A(2，5)B(2,5)C(2，5)D(3,5)解析：ylogax的图象经过定点(1,0)，将ylogax的图象向左平移3个单位长度，得到函数yloga(x3)的图象，则定点(1,0)平移到了定点(2,0)，再将yloga(x3)的图象向下平移5个单位长度得到函数y5loga(x3)的图象，则定点(2,0)平移
3、到了定点(2，5)故选C.答案：C3.若函数f(x)ax(a0且a1)的反函数的图象过点(2，1)，则a_.解析：由于互为反函数的关系，f(x)过点(1,2)，代入得a12a.答案：4(2011杭州市学军中学月考)已知函数f(x)满足f(x)f(4x)，且当x2时，f(x)是增函数，若af(1.20.9)，bf(0.91.2)，cf(log 9)，则a，b，c大小关系为_.解析：由f(x)f(4x)，知函数f(x)关于直线x2对称，在x(2，)上递增，故在x(，2)上递减，11.20.92,00.91.21，log 92，所以abc.答案：ab0且a1)取何实数，函数yax34的图象都经过的一
4、个定点是()A(3,4)B(3,5)C(3,5)D(3，4)解析：yax图象经过定点(0,1)，将yax的图象向右平移3个单位长度，得到函数yax3的图象，则定点(0,1)平移到了定点(3,1)，再将yax3的图象向上平移4个单位长度得到函数yax34的图象，则定点(3,1)平移到了定点(3,5)故选B.答案：B点评：随着图象的平移，定点也跟着平移，在平移过程中，注意不要把平移方向和平移距离弄错变式探究2不论a(a0且a1)取何实数，函数yploga(xq)的图象都经过定点(2,3)，则p_，q_.解析：依题意，即将ylogax图象经过定点(1,0)平移到点(2,3)，只需将ylogax的图象
5、向右平移1个单位长度，再向上平移3个单位长度即可p3，q1.答案：31考点三对数函数与其他知识的综合【例3】已知函数f(x)log4(ax22x3)(1)若f(1)1，求f(x)的单调区间(2)是否存在实数a，使f(x)的最小值为0？若存在，求出a的值；若不存在，说明理由解析：(1)f(1)1，log4(a5)1.a54，a1.这时f(x)log4(x22x3)由x22x30得1x3，函数定义域为(1,3)令g(x)x22x3，则g(x)在(，1)上单调递增，在(1，)上单调递减，又ylog4x在(0，)上单调递增，所以f(x)的单调递增区间是(1,1)，单调递减区间是(1,3)变式探究3(2
6、012荆门、天门等八市联考)已知函数f(x)axxb的零点x0(n，n1)(nZ)，其中常数a，b满足2a3，3b2，则n等于 ()A1B2C1D2解析：令g(x)ax，t(x)xb，则f(x)g(x)t(x)，因此函数f(x)axxb的零点问题转化为g(x)ax，t(x)xb图象的交点问题易知1a2,0b1，所以直线t(x)xb与g(x)ax的交点应在y轴的左侧，排除C，D.若n(1)，g(1)a11，t(1)1b，g(1)t(1)a1(1b)log321log3210，即g(1)0，a1)，给定区间a+2,a+3.(1)若f1(x)与f2(x)在给定区间a+2,a+3上都有意义，求a的取值
7、范围；(2)讨论f1(x)与f2(x)在给定区间a+2,a+3上是否是接近的(2)构造函数F(x)f1(x)f2(x)loga(xa)(x3a)，对于函数t(xa)(x3a)来讲，显然其在(，2a上单调递减，在2a，)上单调递增，且ylogat在其定义域内一定是减函数由于0a1，得02a2a2，点评：该题属于信息给予的题目，考生首先要理解“接近”与“非接近”的含义，再对含有对数式的函数的是否“接近”进行研究，转化成含有对数因式的不等式问题，解不等式即可变式探究4(2012惠州市一模)定义函数yf(x)，xD，若存在常数C，对任意的x1D，存在唯一的x2D，使得C，则称函数f(x)在D上的均值为
8、C.已知f(x)lg x，x10,100，则函数f(x)lg x在x10,100上的均值为()A.B.C.D10课时升华1指数函数值和对数函数值都受到底数a大小变化的影响，因此解题时常对底数a按0a1进行分类讨论2形如yaf(x)(a0，a1)的函数有如下性质：(1)定义域与函数f(x)的定义域相同；(2)先确定函数uf(x)的值域，然后以u的值域作为函数yau(a0，a1)的定义域求得函数yaf(x)(a0，a1)的值域3形如ylogaf(x)(a0，a1)的函数有如下性质：(1)定义域是函数uf(x)的定义域与不等式f(x)0的解集的交集M；(2)先确定函数uf(x)(xM)的值域，然后以
9、u的值域作为函数ylogau(a0，a1)的定义域求得函数ylogaf(x)(a0，a1)的值域4函数yaxmn和ynloga(xm)的图象过定点问题，可用平移图象的方法解决.感 悟 高 考品味高考1(2012天津卷)已知a21.2，b0.8，c2log52，则a，b，c的大小关系为()AcbaBcabCbacDbca解析：利用中间值判断大小b0.820.821.2a，c2log52log522log55120.8b，故cba.答案：A2(2011山东卷)已知函数f(x)logaxxb(a0，且a1)当2a3b4时，函数f(x)的零点x0(n，n1)，nN*，则n_.2高考预测1(2012大连市双基测试)为了得到函数y3 x的图象，可以把函数yx的图象()A向左平移3个单位长度B向右平移3个单位长度C向左平移1个单位长度D向右平移1个单位长度解析：因为y3 xx1，所以将yx的图象向右移1个单位长度即可故选D.答案：D2(2012陕西师大附中等五校联考)已知函数f(x)ex1，g(x)x24x3，若存在f(a)g(b)，则实数b的取值范围为()A1,3B(1,3)C2，2 D(2，2)解析：因为f(x)ex11，若存在f(a)g(b)，则只需g(b)b24b31即可，解得2b2.故选D.答案：D
