1、第六节椭 圆1.椭圆的定义设F1,F2，M分别为平面内的两个定点与动点，若_=2a，且2a|F1F2|，则点M的轨迹为椭圆,_叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离|F1F2|叫做椭圆的_.|MF1|+|MF2|两个定点焦距2.椭圆的标准方程和几何性质图形标准方程_(ab0)_(ab0)图形性质范围_x_y_x_y_对称性对称轴：_对称中心：_顶点A1_，A2_B1_，B2_A1_，A2_B1_，B2_-aa-bb-bb-aa坐标轴原点(-a，0)(a，0)(0，-b)(0，b)(0，-a)(0，a)(-b，0)(b，0)图形性质轴长轴A1A2的长为2a短轴B1B2的长为2b焦距|F1F2|=2c离心
2、率e=_a,b,c的关系a2=_(0，1)b2+c2判断下面结论是否正确(请在括号中打“”或“”).(1)平面内与两个定点F1,F2的距离之和等于常数的点的轨迹是椭圆.()(2)椭圆上一点P与两焦点F1,F2构成PF1F2的周长为2a+2c(其中a为椭圆的长半轴长，c为椭圆的半焦距).()(3)椭圆的离心率e越大，椭圆就越圆.()(4)椭圆既是轴对称图形,又是中心对称图形.()【解析】(1)错误.由椭圆的定义知,当该常数大于|F1F2|时，其轨迹才是椭圆,而常数等于|F1F2|时，其轨迹为线段F1F2,常数小于|F1F2|时,不存在图形.(2)正确.由椭圆的定义得,|PF1|+|PF2|=2a
3、,又|F1F2|=2c,|PF1|+|PF2|+|F1F2|=2a+2c.(3)错误.因为e=所以e越大,则越小，椭圆就越扁.(4)正确.由椭圆的对称性知,其关于原点中心对称,也关于两坐标轴对称.答案:(1)(2)(3)(4)1.已知椭圆=1上一点P到椭圆一个焦点F1的距离为3,则P到另一个焦点F2的距离为()(A)2 (B)3 (C)5 (D)7【解析】选D.a=5,且|PF1|=3,|PF1|+|PF2|=10,|PF2|=10-3=7.2.椭圆的焦点坐标为(-5,0)和(5,0),椭圆上一点与两焦点的距离和是26,则椭圆的方程为()(A)=1 (B)=1(C)=1 (D)=1【解析】选A
4、.已知c=5,2a=26.a=13,b=12.又焦点在x轴上，故方程为=1.3.“-3m5”是“方程=1表示椭圆”的()(A)充分不必要条件(B)必要不充分条件(C)充要条件(D)既不充分也不必要条件【解析】选B.方程=1表示椭圆，则-3m5且m1.故方程=1表示椭圆,可得-3m5成立，但-3m5时,如m=1却不表示椭圆,故选B.4.已知椭圆=1的离心率e=则m的值为_.【解析】当焦点在x轴上时,0m5，a2=5,b2=m,c2=5-m,又e=解得m=3.当焦点在y轴上时,m5，a2=m,b2=5，c2=m-5,又e=解得m=综上可知m=3或答案:3或5.已知椭圆的短轴长为6，离心率为则椭圆的
5、一个焦点到长轴端点的距离为_.【解析】因为椭圆的短轴长为6，所以b=3.又因为离心率为所以又因为a2=b2+c2,解组成的方程组得：a=5,c=4.所以，焦点到长轴端点的距离为：a+c=9或a-c=1.答案:9或1考向 1 椭圆的定义及应用【典例1】(1)(2013揭阳模拟)已知F1，F2是椭圆=1的两焦点，过点F2的直线交椭圆于A，B两点，在AF1B中，若有两边之和是10，则第三边的长度为()(A)6 (B)5 (C)4 (D)3(2)(2013珠海模拟)在ABC中，点B(-12,0),C(12,0),且AC,AB边上的中线长之和等于39,则ABC的重心的轨迹方程为_.(3)已知F1,F2是
6、椭圆C:=1(ab0)的两个焦点,P为椭圆C上的一点，且 若PF1F2的面积为9,则b=_.【思路点拨】(1)根据椭圆的定义求解.(2)先寻找到ABC的重心与两定点B,C的关系，再根据椭圆的定义求出轨迹方程.(3)关键抓住点P为椭圆C上的一点，从而依据定义有|PF1|+|PF2|=2a,再利用 求出|PF1|PF2|，即得b值.【规范解答】(1)选A.根据椭圆定义，知AF1B的周长为4a=16，故所求的第三边的长度为16-10=6.(2)如图,设M是ABC的重心，BD是AC边上的中线，CE是AB边上的中线,由重心的性质知|BM|=|BD|,|CM|=|CE|.于是|MB|+|MC|=|BD|+
7、|CE|=(|BD|+|CE|)=39=26.又26|BC|=24,根据椭圆的定义知，点M的轨迹是以B，C为焦点的椭圆.2a=|MB|+|MC|=26,a=13.又2c=|BC|=24,c=12.b2=a2-c2=132-122=25.故所求的轨迹方程为=1(y0).答案:=1(y0)(3)由题意知|PF1|+|PF2|=2a,|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2=4c2,(|PF1|+|PF2|)2-2|PF1|PF2|=4c2,2|PF1|PF2|=4a2-4c2=4b2.|PF1|PF2|=2b2,=|PF1|PF2|=2b2=b2=9.b=3.答案:3【互动探究】将本例题(3)中
8、条件“”“PF1F2的面积为9”分别改为“F1PF2=60”“=”,则结果如何?【解析】由题意得|PF1|+|PF2|=2a,又F1PF2=60,|PF1|2+|PF2|2-2|PF1|PF2|cos60=|F1F2|2,(PF1+PF2)2-3|PF1|PF2|=4c2,3|PF1|PF2|=4a2-4c2=4b2,|PF1|PF2|=b2,=|PF1|PF2|sin60=b2=b2=b=3.【拓展提升】(1)(2)焦点三角形的应用椭圆上一点P与椭圆的两焦点组成的三角形通常称为“焦点三角形”，利用定义可求其周长;利用定义和余弦定理可求|PF1|PF2|；通过整体代入可求其面积等.【提醒】利用
9、椭圆的定义定形状时，一定要注意常数2a|F1F2|这一条件.【变式备选】已知动点P到两个定点F1(-1,0),F2(1,0)的距离之和为(1)，则点P轨迹的离心率的取值范围为()(A)1)(B)(C)(0,(D)(1)【解析】选C.由已知，到两定点F1(-1,0)，F2(1,0)的距离之和为(1)的点的轨迹是一个椭圆,其中心坐标为(0,0)，长轴长为(1)，焦距为2,故a=,c=1,所以离心率e=因为1,所以e(0,，即点P轨迹的离心率的取值范围为(0,.考向 2 椭圆的标准方程与几何性质【典例2】(1)(2012江西高考)椭圆=1(ab0)的左、右顶点分别是A,B，左、右焦点分别是F1，F2
10、，若|AF1|,|F1F2|,|F1B|成等比数列，则此椭圆的离心率为_.(2)(2012广东高考)在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C:=1(ab0)的离心率e=且椭圆C上的点到Q(0，2)的距离的最大值为3.求椭圆C的方程;在椭圆C上，是否存在点M(m,n)使得直线l:mx+ny=1与圆O:x2+y2相交于不同的两点A,B，且OAB的面积最大？若存在，求出点M的坐标及相对应的OAB的面积；若不存在，请说明理由.【思路点拨】(1)根据椭圆的几何性质，利用数形结合的思想,将|AF1|,|F1F2|,|F1B|用含a,c的代数式表示，再由其成等比数列构建a,c的方程,转化为关于离心率e的方程，得
11、e.(2)先根据e=将待定系数a用b表示，再根据椭圆C上任意一点P(x,y)满足椭圆C的方程，将|PQ|表示为y的函数，求其最大值，从而求出b,得C的方程;可求出原点到直线l的距离,进而求出|AB|的长，即可求出SOAB=|AB|d=再根据M(m,n)在椭圆上，+n2=1,即n2=1-因而SOAB=从而确定出m，n的值.问题得解.【规范解答】(1)由几何性质知|AF1|=a-c,|F1F2|=2c,|F1B|=a+c,又三者成等比数列,所以|F1F2|2=|AF1|F1B|,即4c2=a2-c2,a2=5c2,所以e2=e=答案:(2)由e=得a=b，椭圆C:=1，即x2+3y2=3b2.设P
12、(x,y)为椭圆C上任意一点,则|PQ|=(-byb).若b1，则-b-1，当y=-b时,|PQ|max=3,又b0，得b=1(舍去),若b1，则-b-1，当y=-1时，|PQ|max=3,得b=1,椭圆C的方程为+y2=1.假设存在点M(m,n)满足题意,则+n2=1,即n2=1-设原点到直线l:mx+ny=1的距离为d,则d=|AB|=2 =2SOAB=|AB|d=当且仅当1=即m2=n2=亦即m=n=时,(SOAB)max=M()或M().显然存在这样的点M()或M()或M()或M()，使SAOB最大，最大值为【拓展提升】1.用待定系数法求椭圆标准方程的四个步骤(1)作判断：根据条件判断
13、椭圆的焦点在x轴上，还是在y轴上，还是两个坐标轴都有可能.(2)设方程：根据上述判断设出方程.(3)找关系：根据已知条件，建立关于a,b,c的方程组.(4)得方程：解方程组，将解代入所设方程，即为所求.【提醒】当椭圆焦点位置不明确而无法确定标准方程时，可设为=1(m0,n0,mn)，也可设为Ax2+By2=1(A0,B0且AB).2.利用椭圆几何性质的注意点及技巧(1)注意椭圆几何性质中的不等关系在求与椭圆有关的一些量的范围，或者最大值、最小值时，经常用到椭圆标准方程中x,y的范围，离心率的范围等不等关系.(2)利用椭圆几何性质的技巧求解与椭圆几何性质有关的问题时，要结合图形进行分析，当涉及顶
14、点、焦点、长轴、短轴等椭圆的基本量时，要理清它们之间的内在联系.3.求椭圆的离心率问题的一般思路求椭圆的离心率或其范围时，一般是依据题设得出一个关于a,b,c的等式(或不等式)，利用a2=b2+c2消去b，即可求得离心率或离心率的范围.【变式训练】(2013长沙模拟)已知椭圆C1:=1(ab0)的右焦点为F,上顶点为A，P为C1上任一点，MN是圆C2:x2+(y-3)2=1的一条直径，若与AF平行且在y轴上的截距为3-的直线l恰好与圆C2相切.(1)求椭圆C1的离心率.(2)若的最大值为49,求椭圆C1的方程.【解析】(1)由题意可知直线l的方程为bx+cy-(3-)c=0,因为直线l与圆C2
15、:x2+(y-3)2=1相切，所以d=1,即a2=2c2,从而e=(2)设P(x,y),则=1(c0),即x2+2y2=2c2,又 =x2+(3-y)2-1=-(y+3)2+2c2+17(-cyc),当c3时,()max=17+2c2=49,解得c=4,此时椭圆方程为=1.当0c3,()max=-(-c+3)2+17+2c2=49,解得c=5 -3.但c=5 -33,故舍去.综上所述，椭圆C1的方程为=1.考向 3 直线与椭圆的位置关系【典例3】(1)(2013佛山模拟)若直线mx+ny=4和圆O：x2+y2=4没有交点，则过点(m,n)的直线与椭圆=1的交点个数为()(A)至多1个(B)2个
16、(C)1个(D)0个(2)(2013兰州模拟)设椭圆C1:=1(ab0)的左、右焦点分别是F1,F2，下顶点为A,线段OA的中点为B(O为坐标原点),如图.若抛物线C2:y=x2-1与y轴的交点为B，且经过F1，F2点.求椭圆C1的方程.设M(0，),N为抛物线C2上的一动点，过点N作抛物线C2的切线交椭圆C1于P，Q两点，求MPQ面积的最大值.【思路点拨】(1)判断点(m,n)与椭圆的位置关系，然后再判断直线与椭圆的交点个数.(2)求出y=x2-1与x轴，y轴的交点坐标得到c,b的值，再根据a2=b2+c2求出a,代入C1的方程.设N(t,t2-1)，建立过点N的直线方程，与椭圆方程联立，利
17、用根与系数的关系设而不求，整体代入求得|PQ|，进而用点到直线的距离公式求出点M到直线PQ的距离d,从而得SMPQ=|PQ|d求解.【规范解答】(1)选B.直线mx+ny=4和圆O：x2+y2=4没有交点，2,m2+n2b0)的左顶点，B，C在椭圆E上，若四边形OABC为平行四边形，且OAB30，则椭圆E的离心率等于_.【解析】依题设知,BCAO且BC=AO，BC=a.又由椭圆的对称性得B,C关于y轴对称且OAB=30,点C的坐标为()，又因为点C在椭圆E上，所以有=1，解得a2=9b2，因此，a2=9(a2-c2)，即所以椭圆E的离心率等于答案:3.已知椭圆C：=1(ab0)的长轴长为4，且
18、离心率为e=(1)求椭圆的方程.(2)椭圆C：=1(ab0)的左顶点为A，右顶点为B，点S是椭圆C上位于x轴上方的动点，直线AS，BS与直线l：x=3分别交于M，N两点，求线段MN的长度的最小值.【解析】(1)由2a=4,得a=2,e=c=b2=22-()2=2,所求的椭圆方程为=1.(2)依题意，直线AS的斜率k存在，且k0,故可设直线AS的方程为y=k(x+2),从而M(3，5k)，由得:(1+2k2)x2+8k2x+8k2-4=0,设S(x1,y1),则(-2)x1=得x1=从而y1=则S().又B(2，0)，可得直线SB的方程为化简得：y=(x-2).由得 N(3，),故|MN|=|5k+|.又k0,|MN|=5k+当且仅当5k=即k=时等号成立.当k=时，线段MN的长度取得最小值
