1、抓住2个考点突破3个考向揭秘3年高考第5讲 数学归纳法抓住2个考点突破3个考向揭秘3年高考考点梳理1对于某些与自然数n有关的命题常常采用下面的方法来证明它的正确性：先证明当n取第一个值n0时命题成立；然后假设当nk(kN*，kn0)时命题成立，证明当n_时命题也成立这种证明方法就叫做数学归纳法2数学归纳法的基本形式：设P(n)是关于自然数n的命题，若P(n0)成立(奠基)，假设P(k)成立(kn0)，可以推出P(k1)成立(归纳)，则P(n)对一切大于等于n0的自然数n都成立k1抓住2个考点突破3个考向揭秘3年高考一个命题趋势预计在2014年高考中，数学归纳法可能会与数列、不等式等内容相结合考
2、查与数列相结合的题目，一般会采取“归纳猜想证明”的命题思路，以解答题的形式出现，难度较大，为中高档题【助学微博】抓住2个考点突破3个考向揭秘3年高考解析 边数最少的凸n边形是三角形答案3考点自测答案2k抓住2个考点突破3个考向揭秘3年高考答案1aa2抓住2个考点突破3个考向揭秘3年高考4某个命题与自然数n有关，若nk(kN*)时命题成立，那么可推得当nk1时该命题也成立，现已知n5时，该命题不成立，那么可以推得下列成立的说法是_n6时该命题不成立；n6时该命题成立；n4时该命题不成立；n4时该命题成立解析法一 由nk(kN*)成立，可推得当nk1时该命题也成立因而若n4成立，必有n5成立现知n
3、5不成立，所以n4一定不成立法二 其逆否命题“若当nk1时该命题不成立，则当nk时也不成立”为真，故“n5时不成立”“n4时不成立”答案抓住2个考点突破3个考向揭秘3年高考抓住2个考点突破3个考向揭秘3年高考考向一 数学归纳法的原理抓住2个考点突破3个考向揭秘3年高考抓住2个考点突破3个考向揭秘3年高考抓住2个考点突破3个考向揭秘3年高考方法总结 数学归纳法证题的两个步骤缺一不可，证明nk1成立时，必须用nk成立的结论用数学归纳法证题的过程可以总结为“两个步骤一个结论”用数学归纳法证明等式时其过程也是“两个步骤一个结论”抓住2个考点突破3个考向揭秘3年高考【训练1】(2011南通调研)用数学归
4、纳法证明：抓住2个考点突破3个考向揭秘3年高考抓住2个考点突破3个考向揭秘3年高考【例2】(2010江苏卷)已知ABC的三边是有理数(1)求证：cos A是有理数；(2)求证：对任意正整数n，cos nA是有理数(nN*)考向二 数学归纳法的应用抓住2个考点突破3个考向揭秘3年高考假设当nk(k1)时，cos kA和sin Asin kA都是有理数当nk1时，由cos(k1)Acos Acos kAsin Asin kA，sin Asin(k1)Asin A(sin Acos kAcos Asin kA)，(sin Asin A)cos kA(sin Asin kA)cos A，及和归纳假设，
5、知cos(k1)A与sin Asin(k1)A都是有理数，即当nk1时，结论成立综合可知，对任意正整数n，cos nA是有理数抓住2个考点突破3个考向揭秘3年高考方法总结 数学归纳法适用于证明与正整数有关命题的一种常见方法常用数学归纳法可以证明：恒等式，不等式，数的整除性，几何中计算问题，数列的通项与求和等证明过程可以用综合法，也可以用分析法或其他方法用数学归纳法证明不等式的关键是由nk时成立得nk1时成立，主要方法有：放缩法；基本不等式法；作差比较法等抓住2个考点突破3个考向揭秘3年高考抓住2个考点突破3个考向揭秘3年高考抓住2个考点突破3个考向揭秘3年高考【例3】设数列an的前n项和为Sn
6、，且方程x2anxan0有一根为Sn1，n1,2,3，.(1)求a1，a2；(2)猜想数列Sn的通项公式，并给出严格的证明考向三 归纳、猜想与证明抓住2个考点突破3个考向揭秘3年高考抓住2个考点突破3个考向揭秘3年高考抓住2个考点突破3个考向揭秘3年高考方法总结 归纳、猜想、证明属于探索性问题的一种，一般经过计算、观察、归纳，然后猜想出结论，再利用数学归纳法证明由于“猜想”是“证明”的前提和“对象”，因此要务必保持猜想的正确性，同时要注意数学归纳法步骤的书写抓住2个考点突破3个考向揭秘3年高考【训练3】在数列an、bn中，a12，b14，且an，bn，an1成等差数列，bn，an1，bn1成等
7、比数列(nN*)(1)求a2，a3，a4及b2，b3，b4，由此猜测an，bn的通项公式，并证明你的结论；抓住2个考点突破3个考向揭秘3年高考抓住2个考点突破3个考向揭秘3年高考抓住2个考点突破3个考向揭秘3年高考用数学归纳法证明与自然数n有关的不等式问题时，常以数列与不等式的综合为主线，同时考查数列递推关系、不等式证明、不等式性质等在证明时，比较法、放缩法、分析法、反证法等证明不等式的方法在此都可使用，有时还要考虑与原不等式等价的命题热点突破36 数学归纳法证明不等式问题抓住2个考点突破3个考向揭秘3年高考【示例】(2012大纲全国卷改编)函数f(x)x22x3，定义数列xn如下：x12，xn1是过两点P(4,5)，Qn(xn，f(xn)的直线PQn与x轴交点的横坐标(1)证明：2xnxn1an，求a1的取值范围高考经典题组训练抓住2个考点突破3个考向揭秘3年高考抓住2个考点突破3个考向揭秘3年高考抓住2个考点突破3个考向揭秘3年高考抓住2个考点突破3个考向揭秘3年高考抓住2个考点突破3个考向揭秘3年高考
