1、第10讲 带电粒子在组合场、复合场中的运动1.(2011安徽高考)如图所示,在以坐标原点O为圆心、半径为R的半圆形区域内,有相互垂直的匀强电场和匀强磁场,磁感应强度为B,磁场方向垂直于xOy平面向里。一带正电的粒子(不计重力)从O点沿y轴正方向以某一速度射入,带电粒子恰好做匀速直线运动,经t0时间从P点射出。(1)求电场强度的大小和方向。(2)若仅撤去磁场,带电粒子仍从O点以相同的速度射入,经时间恰从半圆形区域的边界射出。求粒子运动加速度的大小。(3)若仅撤去电场,带电粒子仍从O点射入,且速度为原来的4倍,求粒子在磁场中运动的时间。【解析】(1)设带电粒子质量为m,电荷量为q,初速度为v,电场
2、强度为E,可判断出粒子受到的洛伦兹力方向沿x轴负方向,由于粒子的重力不计且粒子受力平衡,故粒子受到的电场力和洛伦兹力大小相等方向相反,即电场强度沿x轴正方向,且qE=qvB R=vt0 解得(2)仅有电场时,带电粒子在匀强电场中做类平抛运动,在y轴方向做匀速直线运动,位移为y=v 由式得y=设在水平方向位移为x,因射出位置在半圆形区域边界上,于是又因为粒子在水平方向上做匀加速直线运动,则 解得 (3)仅有磁场时入射速度v=4v,带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动,设轨道半径为r,由牛顿第二定律有qvB=m 又有qE=qvB=ma 由得r=带电粒子偏转情况如图,由几何知识则带电粒子在磁场中的运动
3、时间t磁=答案:(1)沿x轴正方向(2)(3)2.(2012新课标全国卷)如图,一半径为R的圆表示一柱形区域的横截面(纸面)。在柱形区域内加一方向垂直于纸面的匀强磁场,一质量为m、电荷量为q的粒子沿图中直线在圆上的a点射入柱形区域,在圆上的b点离开该区域,离开时速度方向与直线垂直。圆心O到直线的距离为R。现将磁场换为平行于纸面且垂直于直线的匀强电场,同一粒子以同样速度沿直线在a点射入柱形区域,也在b点离开该区域。若磁感应强度大小为B,不计重力,求电场强度的大小。【解析】带电粒子在磁场中做匀速圆周运动。设圆周的半径为r,由牛顿第二定律和洛伦兹力公式得qvB=式中v为粒子在a点的速度。过b点和O点
4、作直线的垂线,分别与直线交于c点和d点,过O点再作bc的垂线交bc于e点。由几何关系知,线段和过a、b两点的轨迹圆弧的两条半径围成一正方形。因此 设由几何关系得 联立式得r=R 再考虑粒子在电场中的运动。设电场强度的大小为E,粒子在电场中做类平抛运动。设其加速度大小为a,由牛顿第二定律和带电粒子在电场中的受力公式得qE=ma 粒子在电场方向和直线方向所走的距离均为r,由运动学公式得r=at2 r=vt 式中t是粒子在电场中运动的时间。联立式得答案:热点考向1带电粒子在组合场中的运动【典例1】(13分)(2013安徽高考)如图所示的平面直角坐标系xOy,在第象限内有平行于y轴的匀强电场,方向沿y
5、轴正方向;在第象限的正三角形abc区域内有匀强磁场,方向垂直于xOy平面向里,正三角形边长为L,且ab边与y轴平行。一质量为m、电荷量为q的粒子,从y轴上的P(0,h)点,以大小为v0的速度沿x轴正方向射入电场,通过电场后从x轴上的a(2h,0)点进入第象限,又经过磁场从y轴上的某点进入第象限,且速度与y轴负方向成45角,不计粒子所受的重力。求:(1)电场强度E的大小;(2)粒子到达a点时速度的大小和方向;(3)abc区域内磁场的磁感应强度B的最小值。【解题探究】(1)匀强电场E的求解思路:x方向上的位移关系式:_;y方向上的位移关系式:_。(2)如何求粒子到达a点时的速度大小和方向?提示:粒
6、子到达a点时的速度大小和方向,也就是粒子在第象限内做类平抛运动的末速度大小和方向,根据速度的合成求出。2h=v0t(3)请在题图中画出粒子的运动轨迹,并说明粒子由何处出磁场所对应的B值最小。提示:运动轨迹如图所示:当粒子从b点射出磁场时,B值最小。【解析】(1)设粒子在电场中的运动时间为t,则有2h=v0t (1分)h=at2 (1分)qE=ma (1分)联立以上三式可得E=(1分)(2)粒子到达a点时,沿y轴负方向的分速度vy=at=v0 (1分)粒子到达a点时速度的大小方向指向第象限,与x轴正方向成45角。(2分)(3)粒子在磁场中运动时,洛伦兹力提供向心力,运动轨迹如图所示qvB=(2分
7、)当粒子从b点射出时,磁场的磁感应强度为最小值,此时有r=L,(2分)所以磁感应强度B的最小值(2分)答案:(1)(2)v0 方向指向第象限,与x轴正方向成45角(3)【总结提升】带电粒子在组合场中运动的处理方法不论带电粒子是先后在匀强电场和匀强磁场中运动,还是先后在匀强磁场和匀强电场中运动。解决方法如下:(1)分别研究带电粒子在不同场中的运动规律,在匀强磁场中做匀速圆周运动,在匀强电场中,若速度方向与电场方向在同一直线上,则做匀变速直线运动,若进入电场时的速度方向与电场方向垂直,则做类平抛运动。根据不同的运动规律分别求解。(2)带电粒子经过磁场区域时利用圆周运动规律结合几何关系来处理。(3)
8、注意分析磁场和电场边界处或交接点位置粒子速度的大小和方向,把粒子在两种不同场中的运动规律有机地联系起来。【变式训练】(2013潍坊一模)如图所示,在xOy坐标系中,x轴上N点到O点的距离是12cm,虚线NP与x轴负向的夹角是30。第象限内NP的上方有匀强磁场,磁感应强度B=1T,第象限有匀强电场,方向沿y轴正向。一质量m=810-10kg,电荷量q=110-4C带正电粒子,从电场中M(12,-8)点由静止释放,经电场加速后从N点进入磁场,又从y轴上P点穿出磁场。不计粒子重力,取=3,求:(1)粒子在磁场中运动的速度v;(2)粒子在磁场中运动的时间t;(3)匀强电场的电场强度E。【解析】(1)粒
9、子在磁场中的轨迹如图,由几何关系得,粒子做圆周运动的轨道半径R=12cm=0.08m由qvB=得v=104m/s(2)粒子在磁场中运动轨迹所对圆心角为120,则有(3)由qEd=mv2得E=5103V/m答案:(1)104m/s(2)1.610-5s(3)5103V/m热点考向2带电粒子在复合场中的运动【典例2】(16分)(2013信阳一模)如图所示,MN是一段在竖直平面内半径为1m的光滑的圆弧轨道,轨道上存在水平向右的匀强电场。轨道的右侧有一垂直纸面向里的匀强磁场,磁感应强度为B1=0.1T。现有一带电荷量为1C、质量为100 g的带正电小球从M点由静止开始自由下滑,恰能沿NP方向做直线运动
10、,并进入右侧的复合场(NP沿复合场的中心线)。已知AB板间的电压为UBA=2V,板间距离d=2m,板的长度L=3m,若小球恰能从板的边沿飞出,g取10m/s2。求:(1)小球运动到N点时的速度v。(2)水平向右的匀强电场的电场强度E。(3)复合场中的匀强磁场的磁感应强度B2。【解题探究】(1)分别画出小球在MN上、NP间、AB间的受力分析图。(2)带电小球恰能沿NP方向做直线运动,满足的力学关系式为_。(3)试分析小球在AB间做什么运动,并画出恰能从板边沿飞出时的轨迹示意图。提示:在AB间,电场力与重力mg=1N相等,故小球在AB间相当于仅受洛伦兹力,从而小球做匀速圆周运动,轨迹如图所示。mg
11、=qvB1【解析】(1)小球沿NP做直线运动,由平衡条件可得:mg=qvB1(2分)得v=10m/s (1分)(2)小球从M点到N点的过程中,由动能定理得:mgR+qER=mv2(2分)代入数据解得:E=4N/C (1分)(3)在板间复合场中小球受电场力与重力平衡,故小球做匀速圆周运动。(4分)设运动半径为R,由几何知识得:R2=L2+(R-)2(2分)解得:R=5m (1分)由qvB2=解得:B2=0.2T。(3分)答案:(1)10m/s(2)4 N/C(3)0.2 T【拓展延伸】该题中(1)若AB间没有磁场,小球做什么运动?若没有电场,小球又做什么运动?提示:(1)AB间没有磁场时,由于q
12、E=mg,则小球将做匀速直线运动。AB间没有电场时,由于qvB2=1100.2N=2 Nmg=1N,小球将向上做非匀变速曲线运动。(2)若AB间没有电场时,如何求小球恰好离开AB板间的速度大小?提示:由动能定理求出,只有重力做负功,即即【总结提升】带电粒子在复合场中运动的处理方法(1)弄清复合场的组成特点。(2)正确分析带电粒子的受力及运动特点。(3)画出粒子的运动轨迹,灵活选择不同的运动规律。若只有两个场且正交。例如,电场与磁场中满足qE=qvB或重力场与磁场中满足mg=qvB或重力场与电场中满足mg=qE,都表现为匀速直线运动或静止,根据受力平衡列方程求解。三场共存时,合力为零,受力平衡,
13、粒子做匀速直线运动。其中洛伦兹力F=qvB的方向与速度v垂直。三场共存时,粒子在复合场中做匀速圆周运动。mg与qE相平衡,有mg=qE,由此可计算粒子比荷,判定粒子电性。粒子在洛伦兹力作用下做匀速圆周运动,应用受力平衡和牛顿运动定律结合圆周运动规律求解,有当带电粒子做复杂的曲线运动或有约束的变速直线运动时,一般用动能定理或能量守恒定律求解。【变式训练】(2013苏州一模)如图所示,在MN、PQ间同时存在匀强磁场和匀强电场,磁场方向垂直纸面水平向外,电场在图中没有标出。一带电小球从a点射入场区,并在竖直面内沿直线运动至b点,则小球()A.一定带正电B.受到电场力的方向一定水平向右C.从a到b过程
14、,克服电场力做功D.从a到b过程中可能做匀加速运动【解析】选C。无论电场方向沿什么方向,小球带正电还是负电,电场力与重力的合力是一定的,且与洛伦兹力等大反向,故要使小球做直线运动,洛伦兹力恒定不变,其速度大小也恒定不变,故D错误;只要保证三个力的合力为零,因电场方向没确定,故小球电性也不确定,A、B均错误;由WG+W电=0可知,重力做功WG0,故W电0,小球一定克服电场力做功,C正确。【变式备选】(2013安庆二模)在如图甲所示的空间内,存在垂直纸面向里的匀强磁场,磁感应强度一倾角为、长度足够长的光滑绝缘斜面放置在此空间,斜面上有一质量为m,带电量为-q的小球,从t=0时刻由静止开始沿斜面下滑
15、,设在5s内小球不会离开斜面。在竖直方向上存在交替变化的匀强电场(取竖直向上为正),如图乙所示,电场大小重力加速度为g。求:(1)在5s内合外力对小球做的功及小球电势能变化量;(2)若第19s内小球没有离开斜面,角应满足什么条件?【解析】(1)带电粒子在磁场中运动的周期 由题意得 由解得T=1s当电场方向为正时,小球所受到的电场力竖直向下,由牛顿第二定律得(mg+E0q)sin=ma 当电场方向为负时,小球所受到的电场力竖直向上,其大小F=E0q=q=mg故小球所受到的电场力与其重力平衡,洛伦兹力全部提供向心力,小球在不同时间内的运动如图所示,它在5s末的速度大小v=a3T 由动能定理得W=m
16、v2 由解得W=18mg2sin2由于洛伦兹力不做功,故小球在5s内沿斜面通过的位移x=a(3T)2 电场力做功W电=E0qxsin 联立解得:W电=9mg2sin2,即电场力做正功,电势能减小,减小量为9mg2sin2(2)小球在斜面上的运动如图所示,由此可得,小球在奇数秒时间内做匀加速直线运动,故在19s末小球的速度v19=a10T 小球不离开斜面,则qv19B(mg+E0q)cos 联立解得tan答案:(1)做功18mg2sin2 电势能减小9mg2sin2(2)tan热点考向3电磁场技术的应用【典例3】(2013巴中一模)质谱仪是测量带电粒子的质量和分析同位素的重要工具。如图所示为质谱
17、仪的原理示意图。现利用这种质谱仪对氢元素进行测量。氢元素的各种同位素从容器A下方的小孔S,无初速度飘入电势差为U的加速电场。加速后垂直进入磁感应强度为B的匀强磁场中。氢的三种同位素最后打在照相底片D上,形成a、b、c三条“质谱线”。关于三种同位素进入磁场时速度的排列顺序和a、b、c三条“质谱线”的排列顺序,下列判断正确的是()A.进入磁场时速度从大到小排列的顺序是氚、氘、氕B.进入磁场时速度从大到小排列的顺序是氘、氚、氕C.a、b、c三条“质谱线”依次排列的顺序是氘、氚、氕D.a、b、c三条“质谱线”依次排列的顺序是氚、氘、氕【解题探究】(1)同位素的特点是相同的_,不同的_。(2)同位素在加
18、速电场中,动能定理的表达式是_。(3)同位素在偏转磁场中,_提供向心力,表达式为_。质子数中子数洛伦兹力【解析】选D。根据qU=mv2得,比荷最大的是氕,最小的是氚,所以进入磁场时速度从大到小排列的顺序是氕、氘、氚,故A、B错误。进入偏转磁场有氕比荷最大,轨道半径最小,c对应的是氕,氚比荷最小,则轨道半径最大,a对应的是氚,故C错误,D正确。【总结提升】几种常见的电磁场应用实例1.质谱仪:(1)用途:测量带电粒子的质量和分析同位素。(2)原理:由粒子源S发出的速度几乎为零的粒子经过加速电场U加速后,以速度进入偏转磁场中做匀速圆周运动,运动半径为粒子经过半个圆周运动后打到照相底片D上,通过测量D
19、与入口间的距离d,进而求出粒子的比荷或粒子的质量2.速度选择器:带电粒子束射入正交的匀强电场和匀强磁场组成的区域中,满足平衡条件qE=qvB的带电粒子可以沿直线通过速度选择器。速度选择器只对粒子的速度大小和方向做出选择,而对粒子的电性、电荷量不能进行选择性通过。3.回旋加速器:(1)用途:加速带电粒子。(2)原理:带电粒子在电场中加速,在磁场中偏转,交变电压的周期与带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的周期相同。(3)粒子获得的最大动能其中rn表示D形盒的最大半径。【变式训练】如图所示,回旋加速器是加速带电粒子的装置,其核心部分是分别与高频交流电源两极相连接的两个D形盒,两盒间构成一狭缝,两D形盒处
20、于垂直于盒面的匀强磁场中。下列有关回旋加速器的描述正确的是()A.粒子由加速器的边缘进入加速器B.粒子由加速器的中心附近进入加速器C.粒子在狭缝和D形盒中运动时都能获得加速D.交流电源的周期必须等于粒子在D形盒中运动周期的2倍【解析】选B。由当r越大时,v越大。粒子由加速器中心附近进入加速器才可使粒子加速到最大,故A错、B对;狭缝中电场可加速粒子,在D形盒中运动时,由左手定则知,洛伦兹力总与速度方向垂直,不对粒子加速,故C错误;交流电源的周期必须等于粒子运动周期,才可以进行周期性的加速,故D错误。1.质谱仪是一种测定带电粒子质量或分析同位素的重要设备,它的构造原理如图所示。离子源S产生的各种不
21、同正离子束(速度可视为零),经MN间的加速电压U加速后从小孔S1垂直于磁感线进入匀强磁场,运转半周后到达照相底片上的P点。设P到S1的距离为x,则()A.若离子束是同位素,则x越大对应的离子质量越小B.若离子束是同位素,则x越大对应的离子质量越大C.只要x相同,对应的离子质量一定相同D.只要x相同,对应的离子电荷量一定相同【解析】选B。根据动能定理得,qU=mv2,解得根据所以若离子束是同位素,则x越大对应的离子质量越大,故A错误,B正确。根据x=2R=可知,x相同,则离子的值相同,故C、D错误。2.(2013安庆一模)如图所示,水平面内的正方形ABCD的边长为2R,质量为m、电荷量为+q的粒
22、子(重力不计)从AD边的中点以某一初速度进入正方形区域。若正方形区域内加方向与AD平行,大小为E的匀强电场,粒子恰好从CD边的中点离开正方形区域;若在正方形区域内加上方向垂直纸面向里、大小为B的匀强磁场,粒子恰好从AB边的中点离开正方形区域,则该粒子的质荷比为()【解析】选A。设粒子速度大小为v,加磁场时粒子做匀速圆周运动,由几何知识知轨道半径为R,而加电场时,粒子做类平抛运动,R=vt,联立以上各式解得:3.(2013合肥一模)如图,在xOy平面第一象限内有平行于y轴的匀强电场和垂直于xOy平面的匀强磁场,匀强电场电场强度为E。一带电量为+q的小球从y轴上离坐标原点距离为L的A点处,以沿x轴
23、正向的初速度进入第一象限,如果电场和磁场同时存在,小球将做匀速圆周运动,并从x轴上距坐标原点的C点离开第一象限。如果只撤去磁场,并且将电场反向,带电小球以相同的初速度从A点进入第一象限,仍然从x轴上距坐标原点的C点离开电场。求:(1)小球从A点进入第一象限时的初速度大小;(2)磁感应强度B的大小和方向;(3)如果在第一象限内存在的磁场范围是一个矩形,求这一范围的最小面积。【解析】(1)由带电小球做匀速圆周运动知mg=Eq所以电场反向后竖直方向受力Eq+mg=ma,a=2g由小球做类平抛运动有=v0t,L=2gt2解得v0=(2)带电小球做匀速圆周运动时,洛伦兹力提供向心力,设轨道半径为R,则q
24、v0B=B=由圆周运动轨迹分析得(L-R)2+()2=R2R=代入得方向垂直于xOy平面向外(3)设最小矩形磁场的长、宽分别为a、b,由小球运动轨迹的范围知a2=(L)2+()2a=面积答案:(1)(2)方向垂直于xOy平面向外(3)九 带电粒子在交变电磁场中的运动【案例剖析】(18分)(2013潍坊二模)如图甲所示,在坐标系xOy中,y轴左侧有沿x轴正向的匀强电场,场强大小为E;y轴右侧有如图乙所示,大小和方向周期性变化的匀强磁场,磁感应强度大小B0已知。磁场方向垂直纸面向里为正。t=0时刻,从x轴上的P点无初速释放一带正电的粒子,质量为m,电量为q(粒子重力不计),粒子第一次在电场中运动的
25、时间与第一次在磁场中运动的时间相等。求:(1)P点到O点的距离;(2)粒子经一个周期沿y轴发生的位移大小;(3)粒子能否再次经过O点,若不能,说明理由。若能,求粒子再次经过O点的时刻;(4)粒子第4n(n=1,2,3)次经过y轴时的纵坐标。【审题】抓住信息,准确推断关键信息信息挖掘题干大小和方向周期性变化的匀强磁场,磁感应强度大小B0已知两个磁感应强度的大小分别是B0、磁场方向垂直纸面向里为正磁场为负时表示方向垂直纸面向外释放一带正电的粒子根据电性判断电场力、洛伦兹力的方向(粒子重力不计)只分析电场力或洛伦兹力粒子第一次在电场中运动的时间与第一次在磁场中运动的时间相等电场中的运动时间关键信息信
26、息挖掘问题粒子第4n(n=1,2,3)次经过y轴时的纵坐标每个周期4次经过y轴,4n次经过y轴,即n个周期经过y轴【破题】精准分析,无破不立(1)P点到O点距离的求解。带电粒子在电场中,根据牛顿第二定律方程有_,由此可求出加速度a。求OP间距时的位移方程为_,式中t0=_。(2)粒子经过一个周期沿y轴发生位移的求解。磁感应强度为B0时的轨迹半径公式为R1=_。磁感应强度为B0时的轨迹半径公式为R2=_。磁感应强度为B0时,粒子运动半个圆周用时t2=_。qE=ma(3)有哪些方法可求带电粒子由电场进入磁场时的速度v0?提示:用动能定理,即用运动学公式,即(4)粒子再次过O点的条件是什么?提示:当
27、粒子在磁场中向上偏转时可能过O点,需再满足N次沿y轴下移的距离等于2R1。【解题】规范步骤,水到渠成(1)粒子在电场中匀加速运动时间为t0,t0=(1分)qE=ma(1分)OP间距离为x,(1分)联立解得:(1分)(2)磁感应强度大小分别为B0、B0时,粒子做圆周运动的半径分别为R1和R2,R1=R2=(1分)在电场中由动能定理qEx=(1分)粒子每经一个周期沿y轴向下移动x,x=2R2-2R1=R1(2分)联立解得x=(1分)(3)当粒子从左侧射入向上偏转时可能再次经过O点,故从O点下方2R1处入射时,2R1=Nx(2分)解得:N=2,粒子能再次经过O点。t=2T+2t0(2分)(1分)(1
28、分)(4)经分析知粒子每个周期4次经过y轴,每个周期沿y轴移动距离为x,故y=-nx=-nR1=(n=1,2,3)(3分)答案:(1)(2)(3)能(4)(n=1,2,3,)【点题】突破瓶颈,稳拿满分(1)常见的思维障碍:在分析粒子能否再次经过O点时,误认为粒子每周期沿y轴下移x,不可能再过O点。而实际上,当粒子向上偏转,且Nx=2R1时粒子可以再过O点。第(4)问求粒子第4n次过y轴的坐标,由于不理解其意义,分析不出是第n个周期沿y轴移动距离,从而求不出该问题。(2)因解答不规范导致的失分:在第(2)问中,以x=R1=为最终结果,导致失分,因为v0是未知量。第(4)问求坐标y时,不加“-”号,写成导致失分。
