1、第三章、统计案例31回归分析的基本思想及其初步应用一、教学内容与教学对象分析学生将在必修课程学习统计的基础上，通过对典型案例的讨论，了解和使用一些常用的统计方法，进一步体会运用统计方法解决实际问题的基本思想，认识统计方法在决策中的作用。二、学习目标1、知识与技能通过本节的学习，了解回归分析的基本思想，会对两个变量进行回归分析，明确建立回归模型的基本步骤，并对具体问题进行回归分析，解决实际应用问题。2、过程与方法本节的学习，应该让学生通过实际问题去理解回归分析的必要性，明确回归分析的基本思想，从散点图中点的分布上我们发现直接求回归直线方程存在明显的不足，从中引导学生去发现解决问题的新思路进行回归
2、分析，进而介绍残差分析的方法和利用R的平方来表示解释变量对于预报变量变化的贡献率，从中选择较为合理的回归方程，最后是建立回归模型基本步骤。3、情感、态度与价值观通过本节课的学习，首先让显示了解回归分析的必要性和回归分析的基本思想，明确回归分析的基本方法和基本步骤，培养我们利用整体的观点和互相联系的观点，来分析问题，进一步加强数学的应用意识，培养学生学好数学、用好数学的信心。加强与现实生活的联系，以科学的态度评价两个变量的相关系。教学中适当地增加学生合作与交流的机会，多从实际生活中找出例子，使学生在学习的同时。体会与他人合作的重要性，理解处理问题的方法与结论的联系，形成实事求是的严谨的治学态度和
3、锲而不舍的求学精神。培养学生运用所学知识，解决实际问题的能力。三、教学重点、难点教学重点：熟练掌握回归分析的步骤；各相关指数、建立回归模型的步骤；通过探究使学生体会有些非线性模型通过变换可以转化为线性回归模型，了解在解决实际问题的过程中寻找更好的模型的方法。教学难点：求回归系数 a , b ；相关指数的计算、残差分析；了解常用函数的图象特点，选择不同的模型建模，并通过比较相关指数对不同的模型进行比较。四、教学策略：教学方法：诱思探究教学法 学习方法：自主探究、观察发现、合作交流、归纳总结。教学手段：多媒体辅助教学五、教学过程：（一）、复习引入：回归分析是对具有相关关系的两个变量进行统计分析的一
4、种常用方法。（二）、新课:探究：对于一组具有线性相关关系的数据：（) , () ， ()， 我们知道其回归方程的截距和斜率的最小二乘估计公式分别为： （1） （2）其中，（）成为样本点的中心.注：回归直线过样本中心.你能推导出这两个计算公式吗？来源: 从我们已经学过的知识知道，截距和斜率分别是使 取到最小值时的值. 由于 注意到. 在上式中，后两项和无关，而前两项为非负数，因此要使Q取得最小值，当且仅当前两项的值均为0，即有这正是我们所要推导的公式下面我们从另一个角度来推导的公式人教A版选修2-2P37习题1.4A组第4题:用测量工具测量某物体的长度，由于工具的精度以及测量技术的原因，测得n个
5、数据 .证明：用这个数据的平均值 表示这个物体的长度，能使这n个数据的方差最小思考：这个结果说明了什么？通过这个问题，你能说明最小二乘法的基本原理吗？证明：由于，所以，令, 得。可以得到， 是函数的极小值点，也是最小值点这个结果说明，用n个数据的平均值表示这个物体的长度是合理的，这就是最小二乘法的基本原理由最小二乘法的基本原理即得 定理 设,则 (*)当且仅当时取等号. (*)式说明, 是任何一个实数与的差的平方的平均数中最小的数.从而说明了方差具有最小性,也即定义标准差的合理性.下面借助(*)式求的最小值.,由(*)式知, 当且仅当,且时, 达到最小值.由此得到,其中是回归直线的斜率,是截距
6、.借助和配方法,我们给出了人教A版必修3的第二章统计第三节变量间的相关关系中回归直线方程的一个合理的解释.1、回归分析的基本步骤：(1)画出两个变量的散点图. (2) 求回归直线方程.(3) 用回归直线方程进行预报.下面我们通过案例，进一步学习回归分析的基本思想及其应用2、举例：例1. 从某大学中随机选取 8 名女大学生，其身高和体重数据如表 编号12345678身高/cm165165157170175165155170体重/kg4857505464614359求根据女大学生的身高预报体重的回归方程，并预报一名身高为 172 cm 的女大学生的体重解：由于问题中要求根据身高预报体重，因此选取身
7、高为自变量 x ，体重为因变量 y .作散点图(图3 . 1 一 1)从图3. 1一1 中可以看出，样本点呈条状分布，身高和体重有比较好的线性相关关系，因此可以用线性回归方程来近似刻画它们之间的关系根据探究中的公式（1）和（2 ) ，可以得到. 于是得到回归方程.因此，对于身高172 cm 的女大学生，由回归方程可以预报其体重为 ( kg ) . 是斜率的估计值，说明身高 x 每增加1个单位时，体重y就增加0.849 位，这表明体重与身高具有正的线性相关关系如何描述它们之间线性相关关系的强弱？在必修 3 中，我们介绍了用相关系数；来衡量两个变量之间线性相关关系的方法本相关系数的具体计算公式为当
8、r0时，表明两个变量正相关；当r0 正相关. R0 负相关 R绝对值接近于1相关性强接 r绝对值 近于0 相关性几乎无 5、回忆建立模型的基本步骤 例2 问题背景分析 画散点图。 观察散点图，分析解释变量与预报变量更可能是什么函数关系。 学生讨论后建立自己的模型 引导学生探究如果不是线性回归模型如何估计参数。能否利用回归模型 通过探究体会有些不是线性的模型通过变换可以转化为线性模型 对数据进行变换后，对数据（新）建立线性模型 转化为原来的变量模型，并通过计算相关指数比较几个不同模型的拟合效果 总结建模的思想。鼓励学生大胆创新。 布置课后作业： 习题1.1 1、6、复习与巩固：练习1：某班5名学
9、生的数学和化学成绩如下表所示，对x与y进行回归分析，并预报某学生数学成绩为75分时，他的化学成绩。ABCDE数学x8876736663化学y7865716461解略。练习2：某医院用光电比色计检验尿汞时，得尿汞含量 (mg/l) 与消光系数的结果如下：尿汞含量x246810消光系数y64138205285360（1）求回归方程。（2）求相关指数R2。解：略。（三） 课堂小结1.知识梳理：2规律小结：（1）回归直线方程；（2）样本相关系数；（3）样本残差分析；（4）样本指数；（5）建立回归模型的基本步骤。（四） 作业：见一日一练（五） 课后反思：本节内容对回归分析的探讨过程很精彩，学生讨论很热烈，激发了学生的学习热情。但对残差分析学生只能欣赏它的过程，计算量太大，思维的跳跃性太强！
