1、江苏省沭阳如东中学2021届高三数学上学期第一次月考试题（含解析）一、选择题（本大题共8小题，共40分）1. 设集合2，3，4，5，6，集合且，则A. B. C. 6，D. 4，5，6，【答案】C【解析】【分析】本题主要考查元素与集合的关系，考查集合的新定义与运算，考查学生推理能力，属于基础题直接利用已知且，依次验证元素，即可得到答案【解答】解：因为集合且，所以M中的元素在B集合中，但是该元素不在A集合中，因为4，5，6，依次检验元素，可得元素5，6，7满足题意，所以6， ；故选C2. 函数的图象大致是 A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】本题考查函数的性质及图象的应用，属于基础
2、题由函数的定义域为即可求解【解答】解：由，得，则该函数的定义域为，结合选项，只有A项符合故选A3. 在平面直角坐标系xOy中，点，将向量绕点O按逆时针方向旋转后得到向量，则点Q的坐标是 A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】本题重点考查平面向量数量积与垂直，考查推理能力和计算能力，属于基础题由，得，又，联立即可求解【解答】解：设，由题意，得，则，又，联立，解得，即，故选D4. 已知函数，若，那么实数a的值是 A. 0B. 1C. 2D. 3【答案】C【解析】【分析】本题主要考查了分段函数及求值、指数运算，属于基础题先求得，再根据求得结果【解答】解：，由，得到，故选C5. 已知点在幂
3、函数的图象上，设，则a，b，c的大小关系为 A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】本题主要考查幂函数的性质，考查学生的思维能力，属中档题由幂函数的性质，点在幂函数的图象上，可解出m，得到原函数，利用其单调性，即可比较大小【解答】解：点在幂函数的图象上，点在幂函数上，解得在R上单调递增，又，又，则a，b，c的大小关系为 故选C6. 正三角形ABC中，D是线段BC上的点，则 A. 12B. 18C. 24D. 30【答案】D【解析】【分析】本题主要考查向量的加法、减法、数乘运算，平面向量数量积的计算，向量的几何运用，属于一般题以作为基底表示出所求向量，再利用向量的加法、减法、数乘运算即
4、可得结果【解答】解：如图，正三角形ABC中，D是线段BC上的点，则故选D7. 已知定义在R上的函数满足，当时，若方程在上恰好有两个实数根，则正实数a的值为A. B. C. D. 2【答案】C【解析】【分析】本题考查函数零点与方程根的关系，考查了导数的几何意义，考查数学转化思想方法与数形结合的解题思想方法，是中档题由已知等式可得函数是偶函数且是周期为2的周期函数，并得到函数的一条对称轴方程，作出的图象，再求出与相切时的切点坐标得答案【解答】解：由，可知为偶函数，且一条对称轴为，再由，可得，即函数的周期为2根据时，作出函数的草图，如图所示：方程在上恰好有两个实数根，函数与的图象在y轴右侧有两个交点
5、，设与相切时，切点坐标为，由，得，解得由图象可知，当直线过点时，方程在上恰好有两个实数根，故选C8. 设的内角所对的边分别为，且，则的最大值为A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】本题考查了正弦定理和三角恒等变换以及函数最值的求解，考查学生的计算能力和推理能力，属于中档题根据题意利用正弦定理化简可得，从而化简构建函数，进而即可求得最大值【解答】解：，由正弦定理可得，展开并整理得，化简得，故，令，当时，取得最大值，代入可得，故选A二、不定项选择题（本大题共4小题，共20分）9. 已知不等式对任意的恒成立，则满足条件的整数a的可能值为A. B. C. D. 【答案】AB【解析】【分析】
6、本题主要考查不等式恒成立问题，属中档题令，利用导数求出函数的最小值，从而得到a的取值范围，进而得到正确选项【解答】解：令，当时，当时，在上是减函数，在上是增函数，所以的最小值是，因为不等式对任意的恒成立，所以整数a的可能值为，故选AB10. 已知函数，则下列说法中正确的是A. 函数的图象关于点对称B. 函数图象的一条对称轴是C. 若，则函数的最小值为D. 若，则【答案】BC【解析】【分析】本题主要考查了三角函数图象的性质，属于中档题结合三角函数图象的性质对每个选项逐一判断即可求解【解答】解：由函数，则对称中心的纵坐标为1，故A错误；令，则，当时，故B正确；当时，则，即此时函数的最小值为，故C正
7、确；由B选项知，函数的对称轴为，当时，函数在该区间内有两条对称轴和，可得在上不是单调函数，则若，则不一定成立，故D错误故选BC11. 数学的对称美在中国传统文化中多有体现，譬如如图所示的太极图是由黑白两个鱼形纹组成的圆形图案，充分展现了相互转化、对称统一的和谐美如果能够将圆的周长和面积同时平分的函数称为这个圆的“优美函数“，下列说法正确的的是A. 对于任意一个圆，其“优美函数“有无数个B. 可以是某个圆的“优美函数”C. 正弦函数可以同时是无数个圆的“优美函数”D. 函数是“优美函数”的充要条件为函数的图象是中心对称图形【答案】ABC【解析】【分析】本题考查函数图象的对称性，只要函数图象的对称
8、中心在圆心，该函数就是“优美函数”，由此判定选项即可【解答】解：当函数图象为中心对称图形，且对称中心在圆心时，该图象能够将圆的周长和面积同时平分，函数即为“优美函数”对A，对于任意一个圆，存在无数个函数，图象为中心对称图形，只要平移，使其对称中心平移到圆心，对应的函数都是“优美函数”，A正确；对B，的图象关于点对称，所以它是以原点为圆心的某个圆的“优美函数”，B正确；对C，正弦函数有无数个对称中心，所以它是以这些对称中心为圆心的圆的“优美函数”，C正确；对D，函数的图象将圆的周长和面积同时平分时，该函数图象不一定是中心对称图形，D错误，故选ABC12. 已知函数的定义域为，图像关于y轴对称，导
9、函数为，且当时，设，则下列大小关系正确的是A. B. C. D. 【答案】AD【解析】【分析】本题考查比较大小，函数奇偶性，不等式性质，利用导数研究函数的单调性，属于中档题由题意，当时，构造函数，则，所以时，单调递减，再由是偶函数，可得是奇函数，所以当时，单调递减，根据选项可得结论【解答】解：由题意，当时，构造函数，则，所以时，单调递减，又由题意可得是偶函数，所以是奇函数，则当时，也单调递减对于A，即，故A正确；对于B，即，可得，故B错误；对于C，即，即，故C错误；对于D，即，故D正确故选AD三、填空题（本大题共4小题，共20分）13. 在平面直角坐标系xOy中，角的顶点为O，其始边与x轴的非
10、负半轴重合，终边过点，则_【答案】；【解析】【分析】本题主要考查任意角的三角函数的定义，诱导公式，二倍角公式在三角函数化简求值中的应用，考查了转化思想，属于基础题由题意利用任意角的三角函数的定义求得的值，再利用诱导公式，二倍角公式化简所求即可求解【解答】解：平面直角坐标系xOy中，角的顶点为O，其始边与x轴的非负半轴重合，终边过点，故答案为：14. 已知命题p：“，关于x的方程有实数解”若命题p为真命题，则实数m的取值范围是_【答案】【解析】【分析】本题考查了基本不等式的性质、指数的运算性质、基本不等式的性质，简易逻辑的有关知识，考查了推理能力与计算能力，属于中档题由题意可知，根据基本不等式的
11、性质，即可求得m的取值范围【解答】解：因为p为真命题，即方程有实数解，当且仅当时等号成立，故m的取值范围是故答案为15. 已知函数，则_；关于x的不等式的解集为_【答案】；【解析】【分析】本题考查函数的单调性与奇偶性的判断以及应用，属于中档题，由函数的解析式可求，设，分析函数的单调性与奇偶性，将原不等式转化为，即可得解【解答】解：因为函数，则；设，易知函数在R上为增函数，且，所以函数为奇函数，因为等价于，即，则，解得，所以关于x的不等式的解集为故答案为；16. 已知函数，若存在，使得，则实数a的值为_【答案】【解析】【分析】本题考查导数中的存在性问题，考查推理能力和计算能力，属于较难题将函数可
12、以看作是动点与动点之间距离的平方，则问题转化为求直线上的动点到曲线的最小距离，然后借助导数的几何意义即可求解【解答】解：函数，函数可以看作是动点与动点之间距离的平方，动点M在函数的图象上，N在直线的图象上，问题转化为求直线上的动点到曲线的最小距离，由得，解得，所以曲线上点到直线的距离最小，最小距离，则，根据题意，要使，则，此时N恰好为垂足，由，解得故答案为：四、解答题（本大题共6小题，共70分）17. 在，这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解决该问题已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，_，求角B；求的面积【答案】解：若选，由余弦定理可得，因为，故B若选，由正弦定理可得，因为，
13、所以，即，因为，故B由可得，所以，因为，故B；由正弦定理可得，所以所以【解析】本题考查了正弦定理、余弦定理、两角和与差的三角函数公式、三角形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题选由余弦定理可得，进而解得B；选由正弦定理得，所以；选由和角公式得，可得；再由正弦定理可得a，再用和角公式求得sinC，最后利用三角形的面积公式计算即可得出18. 已知函数求的单调递增区间；求在上的最小值及取最小值时的x的集合【答案】解：，令，解可得，故函数的单调递增区间为，当，即时，函数取得最小值故在上的最小值为，取最小值时x的集合【解析】本题考查三角函数的恒等变换以及正弦函数的图象与性质，比较基础利用二
14、倍角公式以及辅助角公式把化为一个角的正弦函数，再令，解得x的范围即得的单调递增区间；由x的范围得到的范围，再结合正弦函数的图象与性质，求得在上的最小值及取最小值时的x的集合19. 某景区为提高经济效益，现对某一景点进行改造升级，从而扩大内需，提高旅游增加值，经过市场调查，旅游增加值y万元与投入万元之间满足：，a，b为常数当万元时，万元；当万元时，万元求的解析式；求该景点改造升级后旅游利润的最大值精确到，参考数据：，【答案】解：旅游增加值y万元与投入万元之间满足：，a，b为常数当万元时，万元；当万元时，万元，解得，由题意知：，令，则舍，或，当时，在上是增函数，当时，在上是减函数，为的极大值点，又
15、，该景点改造升级后旅游利润的最大值为万元【解析】本小题主要考查函数模型的选择与应用、应用所学导数的知识、思想和方法解决实际问题的能力，建立函数式、解方程、不等式、最大值等基础知识解决实际问题通常有四个步联：阅读理解，认真审题引进数学符号，建立数学模型利用数学的方法，得到数学结果转译成具体问题作出解答，其中关键是建立数学模型由条件：“当万元时，万元当万元时，万元”列出关于a，b的方程，解得a，b的值即得则求的解析式先写出函数的解析式，再利用导数研究其单调性，进而得出其最大值，从而解决问题20. 设，是函数的图象上任意两点，点满足若，求证：为定值；若，且，求的取值范围，并比较与的大小【答案】证明：
16、由可知，即，故为定值，即得证；解：由，可得，则，即，解得此时由，可得，故，即【解析】本题考查对数的运算以及对数不等式的求解问题，考查比较大小的问题，属于中档题由条件可得，继而可推算出，即可得证结论；由条件可得，解对数不等式即可求得的取值范围根据得，进而有21. 已知椭圆两焦点、在y轴上，短轴长为，离心率为，P是椭圆在第一象限弧上一点，且，过P作关于直线对称的两条直线PA、PB分别交椭圆于A、B两点求P点坐标；求证直线AB的斜率为定值【答案】解：设椭圆的方程为，由题意可得，即，椭圆方程为，焦点坐标为，设，则，点P在曲线上，则，从而，得，则点P的坐标为；由知轴，直线PA，PB斜率互为相反数，设PB
17、的斜率为，则PB的直线方程为，由，得，设，则，同理可得，则，所以AB的斜率为定值【解析】本题考查了椭圆的方程和性质，考查椭圆和直线的位置关系，属于较难题由已知可解出椭圆方程，然后设出，结合，即可解出点P的坐标；由知轴，直线PA，PB斜率互为相反数，设PB的直线方程为，与椭圆方程联立，即可解出，同理可得，然后解出，即可算出AB的斜率22. 已知函数，设函数与有相同的极值点求实数a的值；若对，不等式恒成立，求实数k的取值范围；时，设函数，试判断在上零点的个数【答案】解：，当时，函数单调递增，函数单调递减，故时，函数取得唯一的极大值，故也是的极值点，由可得，经检验是的极小值点，故，由知，由于，显然，
18、故时，又，故，所以当时，当时，问题等价于，所以恒成立，即，故符合题意；当即时，问题等价于，即恒成立，即，因为，综上或，当时，令，则，当时，函数单调递减，当，函数单调递增，又，所以在上只有1个零点，即方程在上只有一个根，即方程在上只有一个根，即函数在上只有1个零点【解析】本题考查了利用导数研究函数的单调性、极值，考查了零点的判断，以及导数中的恒成立问题，是难题求出函数的极值点1，令函数，求出a的值，再检验1是函数的极值点；当时，问题等价于，当时，问题等价于，即恒成立，将恒成立问题转化成求函数的最值问题即可得解；令，用导数可证时，函数单调递减，当，函数单调递增，可证在上只有1个零点，故在上只有1个零点
